D35反常积分1ppt课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 第五节常义积分积分区间有限被积函数有界推广反常积分 (无限区间或无界函数的积分)反常积分 第五章 目录 上页 下页 返回 结束 本节内容：本节内容：5.1 无穷区间上的积分无穷区间上的积分5.2 无界函数的积分无界函数的积分5.3 无穷区间上积分的审敛准则无穷区间上积分的审敛准则5.4 无界函数积分的审敛准则无界函数积分的审敛准则5.5函数函数目录 上页 下页 返回 结束 5.1 无穷区间上的积分无穷区间上的积分aVQQ例例5.1 在一个由带电量为在一个由带电量为Q的点电荷形成的电场中，求与该点电荷相距为a处的电位。 分析：根据物理学知识，该点处的电位等于位于该点

2、处的单位正电荷移至无穷远处电场力所做的功。解.以点电荷所在处为原点建坐标轴如图oxadxxx)(xF单位正电荷位于坐标轴上距原点a处。目录 上页 下页 返回 结束 处，电场力)(xF所做功为,)(2dxxQkdxxFdW其中b为常数.该电荷从移到处电场力所做功为a).11(2bakQdxxQkWbak处移至dxx则当单位正电荷由xQoxadxxx)(xF目录 上页 下页 返回 结束 即.)(limakQdxxFVbabaax 令则电场在,b处的电位为,)11(limlimakQbakQWVbba目录 上页 下页 返回 结束 定义定义5.1无穷积分）无穷积分） 设设)(xf在), a无穷积分，记

3、作在无穷区间, ab f在Riemann上,ba可积,则称xxfbabd)(lim若对任何f为), a上有定义.上的积分,简称xxfxxfbabad)(limd)(若极限xxfbabd)(lim存在, 则称积分收敛，称该极限为在), a上积分的值.ff在), a上的f若极限不存在，则称收敛与发散统称为敛散性.), a在上的积分发散.目录 上页 下页 返回 结束 xxfd)(xxfbcbd)(lim(其中c 为任一常数 )xxfcaad)(lim类似地 , 假设, ,()(bCxf则定义xxfxxfbaabd)(limd)(, ),()(Cxf若则定义只要有一个极限不存在 , 就称xxfd)(发

4、散 .无穷限的反常积分也称为第一类反常积分. 说明说明: 上述定义中若出现上述定义中若出现 ,并非不定型 ,它表明该反常积分发散 .目录 上页 下页 返回 结束 当 p 1 时有 bapbxxdlimbapbpx1lim1,11pap, 1p. 1p因而, 当 p 1 时, 反常积分收敛 , 其值为;11pap当 p1 时, 反常积分发散 . apxxdaxxdbabxxdlimbabxlnlim,证证: 当当 p =1 时有时有 例例5.2 证明第一类证明第一类 p 积分积分apxxd当 p 1 时收敛 ; p1 时发散 .目录 上页 下页 返回 结束 例例5.3 计算反常积分计算反常积分.

5、 )0(de0ptttp解解:tpbptelim0bbtpbtp0delim1tpbpelim120b21pdttebptb0lim原式目录 上页 下页 返回 结束 ,)()(的原函数是若xfxF引入记号; )(lim)(xFFx)(lim)(xFFx则有类似牛 莱公式的计算表达式 :xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF目录 上页 下页 返回 结束 例例5.4 计算反常积分计算反常积分.1d2 xx解解:21dxxarctanx)2(2xy211xyO考虑考虑: ?01d2对吗xxx分析分析:)1ln(211d22xxxx

6、原积分发散 !注意注意: 对反常积分对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .目录 上页 下页 返回 结束 5.2 无界函数的积分无界函数的积分引例引例:曲线曲线xy1所围成的1x与 x 轴, y 轴和直线开口曲边梯形的面积可记作10dxxA其含义可理解为 10dlimxxA12lim0 x)1 (2lim02xy1A1xyO目录 上页 下页 返回 结束 定义定义5.2无界函数的积分）无界函数的积分） 设设)(xfa定义在而在点 a 的右邻域内无界(称baxxfd)(lim0存在 , 则称此极限为函 数 f (x) 在 a ,

7、b 上的反常积分, 记作xxfxxfbabad)(limd)(0这时称反常积分xxfbad)(收敛 ;如果上述极限不存在,就称反常积分xxfbad)(发散 .,0取为奇点),(ba若极限目录 上页 下页 返回 结束 类似地 , 假设假设)(xf , )( , a cc b上有定义,b为奇点, 则定义.d)(limd)(0 xxfxxfbaba在)(xf定义在),ba上,为奇点,c(acb)则定义xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(xxfcad)(lim110 xxfbcd)(lim220目录 上页 下页 返回 结束 xxxd11112若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 间断点

8、, 则本质上是常义积分, 而不是反常积分. 注意：xxd) 1(11例如,无界函数的积分又称作第二类反常积分.无界点(奇点)常称为瑕点.目录 上页 下页 返回 结束 注意注意: 若奇点若奇点,)()(的原函数是设xfxF计算表达式 : xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF则也有类似牛 莱公式的假设 b 为奇点, 那么假设 a 为奇点, 那么假设 a , b 都为奇点, 那么, ),(bac那么xxfbad)()()(cFbF)()(aFcF可相消吗可相消吗?目录 上页 下页 返回 结束 112dxx211111x下述解法是否正确: ,

9、 积分收敛例例5.5 计算反常积分计算反常积分. )0(d022axaxa解解: 显然奇点为显然奇点为 a , 所以所以原式0arcsinaax1arcsin2例例5.6 讨论反常积分讨论反常积分112dxx的收敛性 . 解解:112dxx012dxx102dxx101x011x所以反常积分112dxx发散 .目录 上页 下页 返回 结束 例例5.7 证明反常积分证明反常积分)()(dbaaxxbap证证: 当当 p = 1 时时,当 p 1 时时发散 .baaxxdbaax ln当 p1 时bapaxx)(dabppax1)(1, 1p,1)(1pabp. 1p,所以当 p 1 时, 该广义

10、积分收敛 , 其值为;1)(1pabp当 p 1 时, 该广义积分发散 .收敛 ; p1 目录 上页 下页 返回 结束 5.3 无穷区间上积分的审敛准则无穷区间上积分的审敛准则这一部分我们寻求通过被积函数的性态来判定无穷区间上积分敛散性的方法。定理定理5.1 (比较准则比较准则）, ),设aCgf且)()(0 xgxf, 那么收敛xxgad)(收敛xxfad)(发散xxfad)(发散xxgad)(),(ax目录 上页 下页 返回 结束 证证:, at )()(0 xgxf由知,d)(收敛若xxgaxxftad)(xxgtad)(xxgad)(则由知xxftad)(的t是单调递增有上界函数 ,

11、因而 xxfxxfatatd)(d)(lim极限存在 ,.d)(收敛即反常积分xxfa,d)(发散若xxfa利用上述结论及反证法可证.目录 上页 下页 返回 结束 例例5.9 证明无穷积分xxxd1sin1342的收敛.证证:3421sin0 xx341x341x, 33131134xdxx又由比较准则 1 可知原积分收敛 .目录 上页 下页 返回 结束 定理定理5.2 (比较准则比较准则)设函数, ( ,)f gxa连续非负，并有( )( )0, lim( )xf xg xg x那么：1 0:( )( )aag x dxf x dx当与同敛散；2 0:( )ag x dx当若收敛( ).af

12、 x dx也收敛在用比较准则2时，经常用pxxg)(来判定( )daf xx的敛散性.3 :( )ag x dx 当若发散( ).af x dx也发散目录 上页 下页 返回 结束 例例5.10 判别反常积分判别反常积分121dxxx的敛散性 . 解解:2211limxxxx11lim21xx1根据比较准则2 , 该积分收敛 . 例例5.11 判别反常积分判别反常积分xxxd11223的敛散性 . 解解:21lim2321xxxx221limxxx1根据比较准则2 , 该积分发散 . 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理5.3,d, ),)(收敛）（且若axxfaCxf.d)(收敛则反常积分a

13、xxf证：证：, )()()(21xfxfx令那么)()(0 xfx ,d 收敛）（axxf,d)(也收敛axx)()(2)(xfxxfxxfxxxxfaaad)(d)(2d)(而.d)(收敛可见反常积分xxfa绝对收敛.)xxfad)(目录 上页 下页 返回 结束 定义定义. 设反常积分设反常积分,d)(收敛xxfaxxfad)(,d)(收敛若axxf则称绝对收敛绝对收敛 ; xxfad)(,d)(发散若axxf则称条件收敛条件收敛 . 例例5.12 判断积分判断积分)0,(dsine0abaxbxxa为常数的敛散性 .解解:,esinexaxaxb因,de0收敛而xxa根据比较审敛原理知,

14、dsine收敛axaxbx故由定理5知所给积分收敛 (绝对收敛) .目录 上页 下页 返回 结束 5.4 无界函数积分的审敛准则无界函数积分的审敛准则定理定理5.4 (比较准则比较准则） 设函数( ), ( ) ( , )f x g xxa b连续,并有0( )( )f xg x，那么1 ( )bag x dx当收 敛 时( )bafx dx收敛；2 ( )baf x dx当发散时( ).bag x dx发散定理定理5.5 (比较准则比较准则) 设函数, ( , )f gxa b非负连续,并有( )( )0, lim( )xaf xg xg x，那么目录 上页 下页 返回 结束 1 0:( )

15、( )bbaag x dxf x dx当与同敛散；2 0:( )bag x dx当若收敛( ).baf x dx也收敛定理定理5.6绝对收敛准则）绝对收敛准则）,)(d)(baaxxf收敛为瑕点若反常积分） ,d)(baxxf收敛(称为绝对收敛 ). ( )( )bbaaf x dxf x dx但为收敛未必收敛则积分 （ 注：在用比较准则时,经常取.)()(paxxg目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 13判定椭圆积分判定椭圆积分定理4 ) 1()1)(1 (d210222kxkxx散性 . 解解:,1为瑕点此处x由于 1limx的敛21) 1( x)1)(1 (1222xkx)1)(1

16、(1lim221xkxx)1 (212k根据比较准则 2 , 椭圆积分收敛 . 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.14 判别反常积分判别反常积分xxxdln10的敛散性 .解解:,0为瑕点此处x,0lnlim410 xxx因故对充分小, 1ln,41xxx 有的从而 4341lnlnxxxxx431x据比较准则1, 所给积分绝对收敛 .目录 上页 下页 返回 结束 5.5 函数函数1. 定义定义:函数可以证明这个特殊函数在0s内收敛 . )0(de)(01sxxsxs)(的反常积分含参变量s目录 上页 下页 返回 结束 2. 性质性质(1) 递推公式证证: 0de) 1(xxsxs)0()

17、() 1(ssss(分部积分)0dexsx01dee0 xxsxxsxs)(ss注意到:0de) 1 (xx1有,Nn)() 1(nnn) 1() 1(nnn) 1 (!n!n目录 上页 下页 返回 结束 (2)证证: ,) 1()(sss.)(,0ss时当1) 1 (,0)(连续在且可证明ss)(,0ss时(3) 余元公式: ) 10()sin()1 ()(ssss有时当,21s)(21(证明略)目录 上页 下页 返回 结束 (4)得令,2ux 的其他形式)(s)0(de)(01sxxsxs)0(de2)(0122suussu,12ts再令,21 ts即得应用中常见的积分) 1(2121de02ttuuut这表明左端的积分可用 函数来计算. 例如,0de2uu21212目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结 1. 反常积分反常积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限 2. 两个重要的反常积分两个重要的反常积分apxxdbaqaxx)(d1p1p)0( abaqxbx)(d1q,1)(1qabq1q,) 1(11pap目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: (1) 有时通过换元有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以反常积分和常义积分可以互互相转化 .例如 ,1