D4-4有理函数积分ppt课件

1、第四节有理函数的积分举例第四节有理函数的积分举例 一、有理函数的积分一、有理函数的积分有理函数：两个多项式的商所表示的函数有理函数：两个多项式的商所表示的函数101101( )( )nnnmmma xa xaP xQ xb xb xb 当当 时，真分式；时，真分式； nm 当当 时，假分式时，假分式 nm 例例1 将将 分解为简单分式之和分解为简单分式之和2123xx2123xx解解1(3)(1)xx 31ABxx1(1)(3)A xB x 求求 A A、B B 的方法一比较系数法）的方法一比较系数法）: :上式化为：上式化为：1()(3 )AB xAB 比较系数：比较系数：0AB31AB 所

2、以：所以：14A 14B 1.1.有理函数真分式分解成部分因式有理函数真分式分解成部分因式 1(1)(3)A xB x 求求 A A、B B 的方法二特殊值代入法）的方法二特殊值代入法）: :在上式中，在上式中，令令3x 41A 得得14A 在上式中，在上式中，令令1x 得得41B 14B 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 所以：所以：2123xx114431xx 例例2 将将 分解为简单分式之和分解为简单分式之和34xx 4 4解：解： 34xx 4 424(4)x x 24(4)()A xx BxC 由此得，由此得， 0044ABCA ，解之得，解之得， 110ABC 24ABxCxx

3、另解凑系数法另解凑系数法 34xx 4 424(4)x x 222(4)(4)xxx x 214xxx 2.2.有理函数真分式的积分步骤：有理函数真分式的积分步骤：（1 1分母在实数范围内因式分解；分母在实数范围内因式分解；（2 2分解成几个部分因式之和；分解成几个部分因式之和；（3 3各部分因式分别积分。各部分因式分别积分。机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例1 251d253xxxx 51d(21)(3)xxxx 12()d213xxx 解解 原式原式1ln|21| 2ln|3|2xxC例例2 求求2d1)xxx （211()d1xxxx 解解 原式原式1ln|ln|1|xxCx 3.

4、3.有理函数假分式的积分的步骤：有理函数假分式的积分的步骤：xxxd121(1) d1xxx （1 1先把假分式化为真分式用多项式除法）先把假分式化为真分式用多项式除法）; ;（2 2按真分式的积分方法求积分。按真分式的积分方法求积分。机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2d1xxx 例例1 1 求求211d1xxx 解解21ln|1|2xxxc 例例22221d2xxxxx 2221d2xxxxx 235(2)d2xxxx 35(2)d(2)(1)xxxx 11233(2)d21xxx 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 解解二、特殊有理函数的特殊积分重要）二、特殊有理函数的特殊积分重要）例

5、例1223d34xxxx 分子凑微分分子凑微分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 解解223d34xxxx 221d(34)34xxxx 2ln|34|xxC例例234d41xxx 解解34d41xxx 4411d()441xx 41ln|41|16xC 61d(2)xx x 解法解法1 1 分子分母同乘以分子分母同乘以5x原式原式566d(2)xxxx 66611d()6(2)xxx 611d6(2)xuuu u 111() d122uuu 1ln|ln|2|12uuC 例例361d(2)xx x 解法解法2 2 分子加、减同一项分子加、减同一项例例3原式原式61d(2)xx x 612d2

6、(2)xx x 6661(2)d2(2)xxxx x5611()d22xxxx 611ln|ln|2|26xxC 三、三角函数有理式的积分三、三角函数有理式的积分1.1.三角函数有理式的概念三角函数有理式的概念 由常数与三角函数经过有限次四则运算构成由常数与三角函数经过有限次四则运算构成的函数称为三角函数的有理式，例如的函数称为三角函数的有理式，例如1,2sincosxx 22cotsinsin3tan2xxxx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 2.2.三角函数有理式积分的方法三角函数有理式积分的方法 (1) (1) 一般方法一般方法用万能代换用万能代换 tan2x

7、t 令令，把三角函数有理式化为有理函数，把三角函数有理式化为有理函数此时：此时：22sin1txt 221cos1txt 22dd1xtt 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例1 求求tan2xt dsintanxxx 22sin1txt 221cos1txt 22dd1xtt ， ，11()d2ttt 令令解：解：原式原式22212d22111tttttt 211(ln| |)22ttc 例例2cosdsincos1xxxx 21td(1)ttt 211t()d1ttt tan2xt 令令解：解：22sin1txt 221cos1txt 22dd1xtt 原式原式222222121d21

8、1111tttttttt (2) (2) 特殊情况的特殊方法更重要）特殊情况的特殊方法更重要） 3dsincosxxx 解解: : 原式223sincosdsincosxxxxx dsincosxxx 3cosdsinxxx 2 csc(2 )dxx 3d(sin )sinxx ln csc2cot2xx 2112 sinCx例例1 求求例例2. 求求21d(sincos )xxx 解法解法 1 原式原式d x 2(tan1)x 2cos x2d tan1)(tan1)xx （1tan1Cx 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例2. 求求21d(sincos )xxx 解法解法 2 原式原式241d2sin ()xx 1cot()24xC 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 sincos2sin()4xxx 241csc ()d2xx 例例34sin7cosxx ()2sincos2sinco)s(xxABxx 4sin7cosd2sincosxxxxx 解解 令令练习册练习册P29,三三(5)4sin7cosxx (2)sin(2)cosBAxABx 即即2(2sincos)3 d2sincosxxxxx 注：形如注：形如sincosdsincospx