奥赛题库相对论1

1、 奥赛题库-相对论1 郑育坤52001.早在1941年，罗西和霍尔就观测了在大气上层产生的速度为0.97c左右的宇宙线中的粒子。实验测得粒子的固有寿命约为2.2×10-6s。计算在地球上观察到的粒子的平均飞行距离。解：先计算，再计算粒子的平均寿命，最后计算出平均距离为。52002.如图52-1所示，地面上的观察者认为在地面上同时发生的两个事件A和B，在相对地面以速度（平行于x轴，且与正方向同向）运动的火箭上图52-1的观察者的判断正确的是（ ）A、A早于B B、B早于A C、A、B同时发生 D、无法判断解：在地面（S系）上，在火箭（系）中， 因，故。即从火箭上观察，B事件在前，A事件

2、在后，选B。52003.下面给出一个原子核很粗糙的模型：假定原子核是一个立方体，有n×n×n个核子，每个核子被其他核子的核力所吸引（强相互作用），由于这种力的作用距离很小，我们假定每个粒子只与其相邻的核子之间有相互作用，每个核子一核子对由于这种结合而对核的总结合能的贡献是一个常数。原子核内有核电荷Ze，它的原子核内产生斥力。根据量纲分析，核的总静电势能正比于Z2/d，其中d为原子核的线度。并且我们假定在这个模型中，Z正比于原子核中的核子数A。已知元素周期表中元素Fe(A=56)附近的原子核是非常稳定的，它们的核子具有的平均结合能最大，都约为8.78MeV/核子。试根据上述模

3、型和已知的事实，求出任一原子核内核子的平均结合能。分析：想象在一个广阔的空间内有很多核子均匀规则地排列着，与一个核子在前后左右上下相邻的核子共有6个，所以这个核子参与6个核子一核子对的强相互作用。对于题给的n3个核子，我们可以想象将期置于上述的广阔空间之内则如上计算共有6n3个核子一核子对强相互作用。但实际上这个“核立方体”外并无核子，这个核立方体有6个外侧面，每个外侧面内有n2个核子，由于这个侧面以外再无核子，故对应于此侧面内的每个核子均应减去朝外的一个核子一核子对强相互作用，即减去n2个，对于6个外侧面而言，总共应减去6n2个。由于计算则尚有6n3-6n2个核子一核子对强相互作用。又由于这

4、种成对的作用是在两个核子之间存在的，上面的计算按一个一个核子独立计算后累加的，因此上述的累加中已把每对作用都计算了2次，可见核内的这种强相互作用的实际对数应为3n3-3n2。设每个核子一核子对强相互作用结合时释放出的能量为a，则此核形成时，由于强相互作用应放出的总能量为。另一方面，核的总静电势能正比于，而Z正比于核子数A，即正比于n3，d为核的线度，显然正比于n，由此，核的总静电势能正比于n5。设其比例系数为b，则核的总静电势能为bn5。解：此核形成时释放的总结合能 由于每个核子的平均结合能为 上式中a、b为与n无关的常数。下面我们求a、b之值。根据元素Fe附近的原子核的核子的平均结合能差不多

5、都相等这一事实，应有：当n有微小变化时，平均结合能之值不变，即 由于很小，故近似地有 项可略，则有 又根据元素Fe的核子平均结合能为8.7MeV这一事实，有 另有 解得 由此得到题给模型中，核子的平均结合能是52004. 质量为m的粒子被限制在x=-L/2到x=L/2的区域内运动，在它朝x轴正方向运动时，试解下面两个问题：（1）其动量测量值的最小不确定范围；（2）；取P范围内的动量中间值为动量的平均测量值，试求这一平均测量值的最小值pmin，并计算粒子动量pmin时的经典动能EK。解：1)由测不准原理得 2)粒子朝x轴正方向运动，最小值为零，因此。动能EK与动量p之间的关系为，故对应的粒子动能

6、为。52005. 一电子以0.99c的速率运动，问：（1）电子的总能量是多少？（2）电子的经典力学的动能与相对论动能之比是多大？电子静止质量为9.1×10-31千克。解：（1）电子的总能量是，所以 焦耳（2）按经典力学，电子的动能为 焦耳而按相对论，电子的动能是 焦耳所以 即按经典力学计算电子的动能仅仅是按相对论计算的电子动能百分之八点多。52006.宇宙射线中快速运动的介子的能量几乎为3000MeV,而这种介子在静止时的能量为100MeV，已知这种介子的本征寿命是0=2×10-6s，试问若用实验室参照系的时钟进行记录，则该介子在它的平均寿命的时间内在大气中运动的距离为多大

7、？分析：从实验参照系看快速运动系统中的时钟要变慢，故实验室参照系中的时钟所计得的介子寿命与在运动参照系中测出的介子本征寿命不同。解： 按相对论理论，运动介子能量其中为介子静止能量，而动量 故 故 而 从实验室检测器中可检测到在此时间内介子所越过的距离为 52007.设法使边长为L的正方形环在任何情况下均以匀速度v沿着它的AB边方向运动，在其运动的空间区域内有一匀强电场，场强E垂图52-2直于环的运动速度。运动期间，环始终在同一平面上，电场E相对于环平面的倾角为。设环上串有大量小球，这些小球象珠子串在项链上那样被串在环上。小球的大小可忽略，各球都带有电量q。今在相对于环不动的参照系中设法让这些小

8、球均以匀速u沿环边运动，各边上相邻两球的间距均为a，且L远大于a（参见图52-2），环是用不导电的线制作的，在相对于环不动的参照系中它有均匀的电荷线密度，正好把全部小球的电荷完全抵消掉。考虑相对论效应，在一个从其上看环的运动速度为v的惯性参照系上计算以下各量：1、环路各边上相邻两个小球之间的距离aAB,aBC,aCD和aDA；2、环路各边净电量（各边上线电荷与小球电荷之和）QAB,QBC,QCD和QDA；3、使环与小球系统受到转动作用的电力矩模量M；4、环与小球系统和电场之间相互作用的电势能W。所有解答均需用题中给定的量来描述。注意：物体的电荷量与测量参照系的选择无关。图52-2只画出了各矢量

9、之间的相对方向。略去电磁辐射。有关的相对论公式如下：（1）设惯性参照系以匀速度v相对另一参照系S运动。两参照系对应的坐标轴彼此平行，t=0时坐标原点重合，速度v沿x轴正方向。若在系测得一个质点以速度沿轴运动，那么在S系测得该质点的速度应为其方向沿x轴正方向（相对论速度求和公式）。（2）如果一个物体的静止长度为，当它以速度v沿其长度方向相对某观察者运动时，那么该观察者测得此物体长度L为解：1、令S为观察到环路以速度v运动的实验室参照系，为环路参照系（系的x轴与v同向，沿着DA边的方向，轴则垂直于环路所在平面）。S系各轴平行于系各对应轴，S与系的坐标原点在t=0时重合。（1）AB边建立与AB边上的

10、小球一起运动的参照系，它的各坐标轴与S，系的坐标轴平行。相对具有速度u。据洛仑兹收缩，测得的AB边上相邻两个小球之间的距离为 ， （1）（只要是在相对小球静止的参照系中测得的相邻两球间距，上式对任何一条边均成立。）据相对论速度求和公式，S系中的观察者认为AB边上诸球具有的速度为 （2）再据洛仑兹收缩，此观察者将测得AB边上相邻两球的间距为 ， （3）将（1），（2）式代入到（3）式，可得： 。 （4）（2）CD边对S系中的观察者而言，CD边上小球的速度为 ， （5）再据洛仑兹收缩有 ， （6）将（1），（5）式代入到（6）式，便得 （7）（3）DA边在系中，令DA边上的某一小球在时刻位于处。在

11、同一时刻邻近的一个小球应位于，处。各球相对于S系的空时坐标可由洛仑兹变换式给出， ， （8）。据此，第一个小球在S系中有， ， （9）。第二个小球则为， ， （10）。由于，S系中这两个小球之间的距离便为 ， （11）即得 。 （12）（4）BC边重复上述相似的讨论，可得 （13）（其实，由于DA，BC边与v垂直，无洛仑兹收缩，故。）2、在环路参照系中，每一条边线上的电荷量为 （14）在此已考虑到L/a为各边上的小球数。由于电荷是运动不变量，在实验室参照系S中测得的各边线电荷量也为此值。（1）AB边在实验室参照系中，AB边上各球电荷量之和为 （15）此式系由AB边上小球数乘以每一小球电荷量（运

12、动不变量）来获得。（15）式右边第一项中的分子为S系中观察者测得的运动收缩边长，分母则为相邻小球的间距。将（4）式代入到（15）式中，可得： （16）将（14）式和（16）式相加，便得AB边上总电荷量 。 （17）（2）CD边用相同的方法可得 （18）将（14）和（18）式相加，可得 （19）（3）BC边和DA边S系中观察者测得这两条边的边长均为L，相邻两球的间距也均为a，因此 ， （20）将（14）和（20）式相加，可得 ， （21.1）图52-3图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图 。 （21.2）3、作用在AB边上的电场力为 ， （22）作用在CD边上的电场力为 ，