D6_3二阶常系数非齐次线性微分方程ppt课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 定理定理:)(),(21xyxy若是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解, )()(2211xyCxyCy数) 是该方程的通解.为任意常21,(CC那么二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构 (1)0 xyx yy例例复复 习习(二阶线性微分方程)()()(xfyxqyxpy 时, 称为非齐次方程 ; 0)(xf时, 称为齐次方程.0)(xf一、二阶线性微分方程概念一、二阶线性微分方程概念 目录 上页 下页 返回 结束 三、常系数二阶线性齐次微分方程的通解三、常系数二阶线性齐次微分方程的通解:),(0为常数qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxrC

2、Cy21ee2121,:rr特征根21rr 实根 221prrxrxCCy1e)(21i21,r)sincos(e21xCxCyx特 征 根通 解目录 上页 下页 返回 结束 1. 求方程求方程的通解.方程的通解为课堂练习2. 求方程求方程0 yy的通解.方程的通解为xCxCysincos2122420250d xdxxdtdt5212()txCC t e目录 上页 下页 返回 结束 四、二阶线性微分方程举例四、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 例例4. 质量为质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,xxO

3、解解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t).(1) 自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)xcf成正比, 方向相反.建立位移满足的微分方程.目录 上页 下页 返回 结束 据牛顿第二定律得txxctxmdddd22,2mck,2mn令则得有阻尼自由振动方程:0dd2dd222xktxntx阻力txRdd00ddvtxt,00 xxt22ddtx02xktxndd2位移满足定解问题:目录 上页 下页 返回 结束 方程:22ddtx02xk特征方程:, 022 krkr

4、i2,1特征根:tkCtkCxsincos21利用初始条件得:,01xC 故所求特解:tkkvtkxxsincos00A)sin(tkA0 xkv0方程通解:1) 无阻尼自由振动情况无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )kvC020022020tan,vxkkvxA目录 上页 下页 返回 结束 解的特征解的特征:)sin(tkAx0 xAAxtO简谐振动 A: 振幅, : 初相,周期: kT2:mck 固有频率 T0dd00vtxt, 000 xxt下图中假设(仅由系统特性确定)目录 上页 下页 返回 结束 方程:特征方程:0222krnr222,1knnr特征根:小阻尼: n k临界阻尼:

5、n = k 22ddtx02xktxndd2)sincos(e21tCtCxtn)(22nk trtrCCx21ee21tntCCxe)(21目录 上页 下页 返回 结束 小阻尼自由振动解的特征小阻尼自由振动解的特征 : )sincos(e21tCtCxtn)(22nk 由初始条件确定任意常数后变形)sin(etAxtntxOT0 x运动周期:;2T振幅: tnAe衰减很快,)0, 0(00vx此图随时间 t 的增大物体趋于平衡位置.目录 上页 下页 返回 结束 大阻尼解的特征大阻尼解的特征: ( n k )1) 无振荡现象; trtrCCx21ee21222,1knnr其中22knn0.0)

6、(limtxtOtx0 x此图参数: 1, 5 . 1kn5 . 10 x073. 50v2) 对任何初始条件即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.目录 上页 下页 返回 结束 临界阻尼解的特征临界阻尼解的特征 :( n = k )任意常数由初始条件定, tntCCxe)(21)() 1tx最多只与 t 轴交于一点; :,21取何值都有无论CC)(lim)3txt即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.0e)(lim21tnttCC2) 无振荡现象 ;此图参数: 2n1 . 00 x10v0 xOxy目录 上页 下页 返回 结束 二阶常系数非齐次线性微分方程 第六节型)(e)(xPxfmxx

7、xPxflxcos)(e)(型sin)(xxPn一、一、 第六章 （略）目录 上页 下页 返回 结束 一、线性非齐次方程解的结构一、线性非齐次方程解的结构 )(* xy设是二阶非齐次方程的一个特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相应齐次方程的通解,定理定理 1.)()()(xfyxQyxPy 那么是非齐次方程的通解 .证证: 将将)(*)(xyxYy代入方程左端, 得)*( yY)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYxPY )(0)(xfxf)*( )(yYxQ目录 上页 下页 返回 结束 )(*)(xyxYy故是非齐次方程的解, 又Y 中含有两个独立任意

8、常数,例如例如, 方程方程xyy 有特解xy *xCxCYsincos21对应齐次方程0 yy有通解因此该方程的通解为xxCxCysincos21证毕因此 也是通解 .目录 上页 下页 返回 结束 )(xfyqypy ),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为Yy *y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 ,*y给出特解的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法目录 上页 下页 返回 结束 )(exQx )()2(xQp )()(2xQqp)(exPmx一、一、 型)(e)(xPxfmx 为实数 ,)(x

9、Pm设特解为, )(e*xQyx其中 为待定多项式 , )(xQ )()(e*xQxQyx )()(2)(e*2xQxQxQyx 代入原方程 , 得 )(xQ )()2(xQp)()(2xQqp)(xPm为 m 次多项式 .)(xfyqypy (1) 假设 不是特征方程的根, , 02qp即则取),(xQm从而得到特解形式为. )(e*xQymxQ (x) 为 m 次待定系数多项式目录 上页 下页 返回 结束 (2) 假设 是特征方程的单根 , , 02qp,02 p)(xQ则为m 次多项式, 故特解形式为xmxQxye)(*(3) 假设 是特征方程的重根 , , 02qp,02 p)(xQ

10、则是 m 次多项式,故特解形式为xmxQxye)(*2小结小结 对方程,)2, 1, 0(e)(*kxQxyxmk此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .)(xQ )()2(xQp)(xPm)()(2xQqp即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解目录 上页 下页 返回 结束 例例1.1332 xyyy求方程的一个特解.解解: 此题此题而特征方程为,0322rr不是特征方程的根 .设所求特解为,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比较系数, 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解为.31*xy0,0目录 上页 下页 返回 结束 例例2. xxyyy2e65

11、 求方程的通解. 解解: 此题此题特征方程为,0652 rr其根为对应齐次方程的通解为xxCCY3221ee设非齐次方程特解为xbxbxy210e)(*比较系数, 得120 b0210bb1,2110bb因此特解为.e)1(*221xxxy3, 221rr代入方程得xbbxb01022所求通解为xxCCy3221ee.e)(2221xxx ,2目录 上页 下页 返回 结束 xmxPyqypye)(. 1 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,xmkxQxye)(*则设特解为sin)(cos)(e. 2xxPxxPyqypynlx （略）3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.常系数二阶线性非齐次微分方程的特解常系数二阶线性非齐次微分方程的特解:目录 上页 下页 返回 结束 1. 求方程求方程 y a2 y ex的通解. （P365, 1(2)） 课堂练习3. 写出方程写出方程369xy