2.3.2抛物线的简单几何性质1

1、1.抛物线的定义:我们把平面内与一个定点F和一条定直线/的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线.你SB谢恸貓獄起抛物线y2=2px的焦点坐标是：会准线方程为：X = V2、抛物线的标准方程:抛物线有许多重要性质，我们根据抛物线的标准方程：= 2pX(/? >0)研究它的一些简单几何性质1范围：x>0,y e R2对称性：关于x轴对称，对称轴又叫抛物线的轴.3 顶点： 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点它的顶点就是坐标原点.4 离心率:抛物线上的点M到焦点的距 离和它到准线的距离之比， 叫做抛物线的离心率.用e表示：e=l5 焦半径:IPFI=x

2、0+p/2X6 通径:通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物的通径。通径的长度：2Py2 = 2px(p>0)y2 = -2px(p>0)x2 = 2py(p>0)x2 =-2py(p>0)图形<|7,y7I范围x>0 jeRx<0 jeRXGR j>0xeR y<0对称性关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)焦半径三+先2P2焦点弦p+x+旳1 抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无 限延伸，但它没有渐近线；2 抛物线只有一条对称轴，没有对称中心;3

3、抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4 抛物线的离心率是确定的e=l;5 抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.例1已知抛物线关于兀轴对称，它的顶点 在坐标原点，并且过点M2,-2迈),求它的标准 方程.解：因为抛物线关于兀轴对称，它的顶点在原 点，并且经过点M (2,-2血)，所以，可设它的方程 为y1 = 2pj(p > 0),因为点M在抛犁线上，所以(-2V2)2 =2p2I 1J此,0 = 2所求抛物线的标准方程是:y2 =4x练习：一种卫星接收天线的轴截面是抛物线 的一部分卫星波束呈近似平行状态射入轴 截面为抛物线的接受天线，经反射聚集到焦 点处已知接收天线的口径（直径）

4、为4.8m,深 度为05m，求抛物线的标准方程.(1)图 825例2.斜率为1的直线/经过抛物线b =4x的焦点，且与抛物线相交于A、B两点,求线段A 的长.法一:直接求两点坐标，计算弦长(运算量一般较大);法二:设而不求，运用韦达定理，计算弦长(运算量一般);法三：设而不求数形结合活用定义运用韦达定理计算弦长.:纯几何计算.这也是一种较女子的思维AB = 8练习点M与点F(4,0)的距离比它到直线I:x+5=0的距离小1, 求点M的轨迹方程.解：由已知条件可知，点M 与点F的距禽等于它到直线 x+4=0的距*，根据拋肠线的 走义，点M的轨迹是以A F (4,0) 为怎点的抛肠线p/2=4,/

5、.p=8.久因为*、点盛柚的正半轴, 所以点M的轨迹方程为y2=16x.例3.已知抛物线的方程为y2=4x9直线2过定点P(-2J),斜率为R , k为何值时，直线Z与抛物线j2=4x :只有一个公共点；有两个公 共点;没有公共点？分析：用坐标法解决这个问题，只要讨论直线 的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况, 由方程组的解的个数判断直线与抛物线的公共点个数.解:依题意直线I的方程为y-l = k(x + 2)-1二加+ 2)® 消去工可得他 2-4y+4(2P+l)=0(I) j2=4x当k二0时，方程(的劇綃直鹦钢嬲萌吟公共点.当心0时,方程仃)的根的判别式 =-W2 +k

6、 -1)当二o时，氐=一1或*这时，直线I与抛物线只有一个公共点.由>(),即2k2+k-l<0.解得1VEV丄.2于是，当-<k<个解，从而，方程组一 2(且心0 时，方程（I ）有2 ）有两个解，这时，直线z与抛物线有2个公共点.由A<0,BP2F+k l>0,解得“1或上> 牛于是，当kv ,或心舟 时，方程没有实数解， 从而方程组（I ）没有解，弦时，直线Z与抛物线没有公共点.综上口J得：当k = -1,或£ =丄,或£ = 0时有一个公共点；2直线Z与抛物线只牛lvRvO或0<kv如寸，直线 公共点；2占当kv-1,或时，直线IZ与抛物线査两个你能通过作图 验证这些结论 吗？ ，>总结:判断直线与抛物线位置关系的操作程序: 把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的对称轴平行计算判别式相交（一个交点）>o A=o A<0相交相切 相离1）过抛物线V2 =8%的焦点，作倾斜角为45 的直线，则被抛物线截得的弦长为_L_；2）设