全等中的动点

1、全等三角形之动点问题典型例题：如图 1，点P、 Q 分别是等边ABC边 AB、 BC上的动点（端点除外），点 P 从顶点A、点Q从顶点 B 同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、 CP交于点 M（ 1 ）求证：ABQCAP；（ 2）当点P、 Q 分别在AB、 BC边上运动时，QMC 变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数（ 3）如图2，若点P、 Q 在运动到终点后继续在射线AB、 BC上运动，直线AQ、 CP交点为M ，则 QMC 变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数练习题：1. （ 2016·山东省济宁市· 3分）如图， ABC 中，AD BC

2、， CE AB，垂足分别为D、 E，AD 、 CE 交于点 H ，请你添加一个适当的条件：，使 AEHCEB2. 如图，已知ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为 AB的中点（ 1 ） 如果点 P 在线段BC上以3 厘米 / 秒得速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1 秒钟时，BPD与CQP是否全等，请说明理由；若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPDCQP？（2） 若点Q以 （1） 中的运动速度从点C出发， 点 P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC三边运动，求经过多长

3、时间点P 与点Q第一次在ABC的哪条边上相遇？3. 如图，边长为6 的等边三角形ABC中， D是 AB 边上的一动点，由A向 B运动（A、 B 不重合） ， F 是 BC延长线上的一动点，与D 同时以相同的速度由C向 BC延长线方向运动（与C不重合），过点 D 作 DE AC，连接DF交 AC于 G（ 1 ）当点 D 运动到 AB 的中点时，直接写出AE 的长；（ 2）当DF AB 时，求AD 的长；（ 3）在运动过程中线段GE的长是否发生变化？如果不变，求出线段GE 的长；如果发生改变请说明理由课后作业：1.如图，在Rt ABC 中， BAC 900 ， AB=4， AC=10， PQ=BC

4、， P、 Q 分别在 AC 和 AB的反向延长线上移动，当PC 等于多少时，ABC APQ。2如图，在RtABC 中， B900，AB=6，BC=8，过点 C 作CFBC，点D、E 分别在BC、 CF 上移动，且始终保持DE=AC ，当 CD 等于多少时，ABC 与 DCE 全等。3 .如图，AB=2 ， BC=5， AB BC 于点 B， QC BC 于点 C,点 P 从点 B 开始沿射线BC 移动，过点 P作PQPA，交直线 L 于点Q。求证： A=QPC 当点P运动到何处时，PA=PQ，并说明理由。4 .（ 2015 秋 ?龙海市期末）如图，在ABC中，AB=AC=2，B=40°

5、;，点D 在线段 BC上运动（不与B、 C 重合） ，连接AD，作ADE=40° ， DE 交线段 AC于点E（ 1）当ADB=11°5 时，BAD= °， DEC= °；（ 2）线段DC的值为多少时，ABD与DCE全等？请说明理由；（ 3） 在点 D 的运动过程中， ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出ADB的度数；若不可以，请说明理由参考答案：例题： 【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质【分析】 （ 1 ）根据等边三角形的性质，利用SAS证明ABQCAP；（2）由ABQCAP根据全等三角形的性质可得BAQ=ACP，从而得到

6、QMC=6° 0 ；（3）由ABQCAP根据全等三角形的性质可得BAQ=ACP，从而得到QMC=12° 0 【解答】 （ 1 ）证明：ABC是等边三角形，ABQ= CAP， AB=CA，又点P、 Q 运动速度相同，AP=BQ，在ABQ与CAP中，ABQCAP（ SAS） ；（ 2）解：点P、 Q 在运动的过程中，QMC 不变理由：ABQCAP，BAQ= ACP，QMC= ACP+ MAC，QMC= BAQ+ MAC= BAC=60° （ 6 分）（ 3）解：点P、 Q在运动到终点后继续在射线AB、 BC上运动时，QMC不变（ 7 分）理由：ABQCAP，BAQ=

7、ACP，QMC= BAQ+ APM，QMC= ACP+ APM=18°0 PAC=18°0 60°=120°【点评】主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识当堂巩固：1. AH=CB 或 EH=EB 或 AE=CE （只要符合要求即可）2. 【考点】全等三角形的判定【专题】动点型【分析】 （ 1 ）先求得BP=CQ=3， PC=BD=6，然后根据等边对等角求得B= C，最后根据SAS即可证明；因为VP VQ，所以BP CQ，又B= C，要使BPD与 CQP全等，只能BP=CP=4.5，根据全等得出CQ=BD=6，然后根据运动速度求得运动时间

8、，根据时间和CQ 的长即可求得Q 的运动速度；（2） 因为VQ>VP，只能是点Q 追上点P，即点 Q比点 P多走AB+AC的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得【解答】解：（ 1）t=1 （秒），BP=CQ=3（厘米） AB=12， D为 AB 中点，BD=6（厘米）又PC=BC BP=9 3=6（厘米）PC=BD。AB=AC，B= C，在BPD与CQP中，BPDCQP（ SAS） ，VPVQ，BPCQ，又B=C，要使BPDCPQ，只能BP=CP=4.5，BPDCPQ，CQ=BD=6点P 的运动时间t= =1.5（秒），此时VQ= =4（厘米/秒） （ 2）因为VQ> VP，只能

9、是点Q 追上点P，即点Q 比点 P 多走 AB+AC 的路程设经过 x 秒后 P 与 Q 第一次相遇，依题意得4x=3x+2× 12，解得x=24（秒）此时P 运动了24 × 3=72（厘米）又ABC的周长为33 厘米， 72=33× 2+6，点P、 Q 在 BC边上相遇，即经过了24 秒，点 P与点 Q第一次在BC边上相遇【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，以及数形结合思想的运用，解题的根据是熟练掌握三角形全等的判定和性质3. 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质【分析】 （ 1 ）由点 D 运动到 AB 的中点时，于是得到A

10、D= AB=3，根据等边三角形的性质得到A=60°，求得ADE=30° ，根据直角三角形的性质即可得到结论；（ 2）由点D、 F 同时运动且速度相同，得到AD=CF，求出AGD= CGF=3°0，F=30°，于是得到CF=CG=AD，设AD=CG=CF=，则xAG=2x，列方程即可得到结论；（ 3）当点D、 F同时运动且速度相同时，线段GE的长度不会改变理由如下：作FQ AC，交直线 AC的延长线于点Q，连接FE， DQ，由点D、 F速度相同，得到AD=CF，根据等边三角形的性质得到A= ABC= QCF=6°0，推出ADECFQ（ AAS）

11、，根据全等三角形的性质得到AE=CQ， DE=QF且 DE QF，证得四边形DEFQ是平行四边形，根据平行四边形的性质得到 GE= EQ，推出GE= AC，即可得到结论【解答】解：（ 1）点 D 运动到AB 的中点时， AD= AB=3，A=60° ，DE AC，ADE=30° ，AE= AD= ；（ 2）点D、 F同时运动且速度相同，AD=CF， DF AB，A=60° ，AGD= CGF=3°0，B=60°，F=30°，CGF= F，CF=CG=AD，设 AD=CG=CF=，则xAG=2x，AG+CG=2x+x=3x=6，x=2，

12、AD=2；（ 3）当点D、 F同时运动且速度相同时，线段GE的长度不会改变理由如下：作 FQ AC，交直线AC 的延长线于点Q，连接FE， DQ，又DE AB 于 E，GQF= AED=9°0 ，点D、 F 速度相同，AD=CF，ABC是等边三角形，A=ABC= QCF=6°0，在ADE和CFQ中，AED=CQF=9°0， AED=CQF，在 ADE和CQF中，ADECFQ（ AAS） ， AE=CQ， DE=QF且 DE QF，四边形DEFQ是平行四边形，GE= EQ， EC+AE=CE+CQ=AC，GE= AC，又等边ABC的边长为6，GE=3，点D、 F 同

13、时运动且速度相同时，线段GE的长度不会改变【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质， 直角三角形的性质的应用，能推出两三角形全等是解此题的关键课后作业参考答案：1. 三角形ABC与三角形APQ全等， （1）ABCAPQ时,AP=AB=4,则CP=AC+AP=14。（ 2）ABCAQP 时 ,AP=AC=10则, CP=AC+AP=2。02. 解：ABC与DCF全等，DE=AC，分两种情况： AB 与 CD 是对应边时，CD=AB=6； AM 与 AC是对应边时，CD=BC=8；综上所述：当CD=6或 8 时，ABC与DCF全等；故答案为：6或 8【点评】本

14、题考查了全等三角形的性质，勾股定理，主要利用了全等三角形对应边相等的性质，难点在于要分情况讨论3. 解： （ 1）证明：PQ AP，ABP=90°，APB+ QPC=90°， AB BC于点B，A+ APB=90° ，A= QPC；（ 2）当P运动到离C处距离为2 时，PA=PQ，证明：当PC=2时，PC=AB，在ABP与 PCQ中，ABPPCQ（ ASA） ，PA=PQ；同理， BP=7时，PC=2也符合，所以，点P运动到与点C距离为 2时，PA=PQ【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及余角的性质：同角的余角相等，正确证明 A= QPC是关键4.【考点】

15、全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定【分析】 （ 1 ）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；（ 2）当DC=2时，利用DEC+ EDC=14°0，ADB+ EDC=14°0，求出ADB= DEC，再利用 AB=DC=2，即可得出ABDDCE（ 3）当BDA的度数为110°或 80°时，ADE的形状是等腰三角形【解答】解：（ 1）B=40°，ADB=11°5 ，BAD=18°0 BADB=18°0 115° 40° =25°， AB=AC，C= B=40°，EDC=18°0ADBADE=2°5，DEC=18°0EDC C=115°，故答案为：25°，115°；（ 2）当DC=2时，ABDDCE，理由：C=40° ，DEC+ EDC=14°0，又ADE=40° ，ADB+ EDC=14°0，ADB= DEC，又AB=DC=2，在ABD 和DCE中，ABDDCE（ AAS） ；（ 3）当BDA的度数为110