几何模型一线三等角模型

1、一线三等角模型.一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型,指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角,也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，K形图”，“三垂直”，等，以下称为“一线三等角”。.一线三等角的分类全等篇锐角DAP异侧锐角相似篇直角钝角同侧异侧“一线三等角”的性质1 .一般情况下，如图3-1 ,由/ 1=/2=/3,2 .当等角所对的边相等时，则两个三角形全等易得 AECs BDE.如图 3-1 ,若 CE=ED,贝UAEC0BDE.3.中点型“一线三等角如图 3-2 ,当 / 1= / 2= / 3,且 D 是 BC 中点时， BDEsCF

2、Ds DFE.4. “中点型一线三等角 "的变式（了解）一，一1八，口，一 一一一如图3-3,当/1=/2且 BOC 90 BAC时，点 O是4ABC的内心.可以考虑2通常与三角形的内心或旁心相关,1BOC 90 BAC这是内心的性质，反之未必是内心2在图3-4 （右图）中，如果延长BE与CF,交于点P,则点D是4PEF的旁心.5.“一线三等角”的各种变式（图3-5,以等腰三角形为例进行说明 ）图3-5其实这个第4图，延长DC反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题 四、“一线三等角”的应用1 .“一线三等

3、角”应用的三种情况.a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；耳卜不上“一等角'造模型解题；、,不、“二等角：/构小,型解题.较多尤其是从轴题-中，入经常空作个特殊角或心"指导该角的三角函数值时，我经常构造 “一线三等角”来解题.2 .在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在x轴或y轴（也可以是平行于x轴或y轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.3 .构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似4CBD在DC的延长践上截取CE= , 5 CD的蔻长陆上慈取DF- 1 tanctana则 tsnZAEP- nm/PFR=

4、tma则NAEP= ZPFB= a= NAPE所以APAJs ABPF.荏CP上截取CE二二二，在DP截取DF=, tanatanaRIJ tanZ AEC= tmZlBFD= tana iRIJZ AEC= ZBFD= a=乙PB ,所以APAEsZiBPF .坐标系中，要讲究“线”的特殊性如图3-6,线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过C、D两点作直线l的垂线是必不可少的。两条垂线通常情况下是为了“量化”的需上面就是作辅助线的一般程序，看起来线条比较多，很多老师都认为一下子不容 易掌握.解题示范例1如图所示，一次函数 y

5、 x 4与坐标轴分别交于 A、B两点，点 P是线段AB上一个动点（不包括 A、B两端点），C是线段OB上一点，/ OPC=45 °,若AOPC是等腰 三角形，求点P的坐标.例 2 如图所示，四边形 ABCD 中，/ C=90°,/ABD= / DBC=22.5 °, AEXBC 于 E, / ADE=67.5 °, AB=6,则 CE=.例 3 如图，四边形 ABCD 中，/ABC= / BAD=90 °，/ACD=45 ° ,AB=3 , AD=5.求 BC 的 长.x-5例 4 如图， ABC 中,/BAC=45 ° ,

6、AD ±BC, BD=2 , CD=3,求 AD 的长.一线三等角，补形最重要，内构勤思考，外构更精妙.找出相似形，比例不能少.巧设未知数，妙解方程好还是可以纵横斜三个方向构造，坐标系中一般考虑纵横两个方向构造H14n例 5 如图，在 AABC 中，/ BAC=135°,AC= J2AB, ADXAC 交 BC 于点 D,若 AD =J2,求“BC的面积fl当然有45。或135。等特殊角，据此也可以构造不同的一线三等角 一线三等角所有的构造都是把分居定角两侧的数据集中在一起，是相似集中条件的一种大练身手:L 如国，tan 48 =以= 90°, 3 = 21以匚=

7、4.求 ED 的长.2 如图.?C 中，/庄9/ , /。=45“，二3, CD=5,求 ND 的长.工如图，在四边形中, ZBAD= ZACB=ZACD=4Sw . J04,求E8 的周乩W5求AD的长在此中. ZACR-30",AM平分口, 若/CDS-小6.如图，在等腰直角三角形EC中,/皿CW,门为T8上一点，连接 S,尸为8上一点 /WYT45.，若CFF, &18的面积为】8,则线做DE的长为.Ni.点口在BC边上DE±&C U则”的反为花平而立的坐林系中点C的坐标为.（4,0工点佃24）.点C花箕一象限内，若越。为等边 涌形乱如图，“月（？中，

8、/fiWCFO曲矩形/TD在直角坐标系的位且如图所示，点d（2而4）点仁（0,5）.反比例函数3-E的图像交必H品11.如图4交坐标轴与.4点广在点C中交咫曲线y r（黛 0）丁点C.££宣=行,则CD的匕为.如图r直角神亡中, ZC=90u - AC=, BC=8t D是斜边的中点.占为口匚上动点rZZF_LA£干点F 连揍D凡 若CE尸是等腰直角三角形.求口F的长度，的右恻的双曲线匕ZPBC-455 ,则点P的坐标为.14.在 "BC1中 ZA=45" , /C=30 ",点D是EC上一点,连接由1 过点乂作/G，X 在片<

9、_1_取 点F 旌修门孔 延长门.4至E*使4打=.4尸，连接EG. DG.且GE=£>F*U)若司? = 2壶加?一2,求8的长；(2)如图1.当点仃花KC上时，求证J SD-CGt2例7:在平面直角坐标系中，已知点 A (1, 0), B (0, 3), C (-3, 0), D是线段AB上一 点，CD交y轴于E,且S>abce = 2S AOB .(1)求直线AB的解析式；(2)求点D的坐标，猜想线段 CE与线段AB的数量关系和位置关系，并说明理由；(3)若F为射线CD上一点，且/ DBF= 45。，求点F的坐标.例8:如图，直线y=x+2与y轴交于点C,与抛物线y

10、=ax2交于A、B两点(A在B的左侧)，BC= 2AC,点P是抛物线上一点.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P在直线AB的下方，求点P到直线AB的距离的最大值；(3)若点P在直线AB的上方，且ZBPC= 45。，求所有满足条件的点 P的坐标.练1:.如图，抛物线的顶点为 C(-1, -1),且经过点A、点B和坐标原点O,点B的横 坐标为-3.(1)求抛物线的解析式；(2)若点D为抛物线上的一点，且 BOD的面积等于 BOC的面积，请直接写出点 D的 坐标；(3)若点E的坐标为(0, 2),点P是线段BC上的一个动点，是否存在点P,使彳导/ OPE= 45 ?若存在，求出点 P的坐标；若不

11、存在，请说明理由.BAOE课后作业：如图，点 A(0,-1),B(3,0),P 为直线y= -x+5 上一点，若/ APB=45。，求点P的坐标在四边形 ABCD 中，/ ABC= /BAD=90 ° , ZACD=45 ° ,AB=3,AD=4,求 AC 的长.如图，正方形 ABCD中，点E,F,G分别在AB,BC,CD上， EFG为等边三角形，求证:BE+GC= . 3 BC如图， ABC： ADBA,且 AC= V2BC,求证:CD=2AB.如图，在四边形 ABCD 中，/ABC=90°, AB=3, BC= 4, CD= 10, DA= 5V5 ,求 BD

12、 的长如图，点A是反比例（X>0）图形上一点，点 B是X轴正半轴上一点，点 C的坐标为（0, 2）,点 ABC是等边三角形时，求点 A的坐标.推桁缝尸=/厉坐标轴交于R、C三点.点尸在抛物畿上.PELBC于点E,若PB2CE.求P点坐标.如图，抛物线y=ax2+bx + 4与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,17直线l： y=-x+m经过点A,与抛物线交于另一点 D (5,-万)，点P是直线l上方的抛物线上的动点，连接 PC、PD.(1)求抛物线的解析式；(2)当 PCD为直角三角形时，求点 P的坐标；(3)设 PCD的面积为S,请你探究：使 S的值为整数的点 P共有几个，说明理由.4 2221.如图1,已知直线y=kx与抛物线y 另x V 交于点A (3, 6). 2 73(1)求直线y=kx的解析式和线段 OA的长度；(2)点P为抛物线第一象限内的动点 ，过点P作直线PM,交x轴于点M (点M、O不重 合)，交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N试探究：线段 QM与线段 QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值，如果不是，说明理由；(3)如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上(与点O、A不重 合)，点D (m, 0)是