基于matlab的切比雪夫及巴特沃斯低通、高通滤波器的设计

1、巴特沃斯低通、切比雪夫低通、高通IIR滤波器设计059414011120141454 焦奥一、设计思路IIR滤波器可以分为低通、高通、带通、带阻等不同类型的滤波器，而以系统 函数类型又有巴特沃斯、切比雪夫等滤波器。其中巴特沃斯较为简单，切比雪夫 较为复杂；低阶比高阶简单，但却有着不够良好的滤波特性。 在满足特定的指标 最低要求下，低阶、巴特沃斯滤波器能更大程度地节省运算量以及复杂程度。滤波器在不同域内分为数字域和模拟域。其中数字域运用最广泛。在设计过 程中，一般是导出模拟域的滤波器，之后通过频率转换变为数字域滤波器， 实现 模拟域到数字域的传递。在针对高通、带通、带阻的滤波器上，可以又低通到他

2、 们的变换公式来进行较为方便的转换。综上，IIR滤波器的设计思路是，先得到一个满足指标的尽可能简单的低通模 拟滤波器，之后用频域变换转换到数字域。转换方法有双线性变换法、冲激响应不变法等。虽然方法不同，但具体过程 有很多相似之处。首先将数字滤波器的指标转换为模拟滤波器的指标，之后根据 指标设计模拟滤波器，再通过变换，将模拟滤波器变换为数字滤波器，是设计IIR 滤波器的最基本框架。以下先讨论较为简单的巴特沃斯低通滤波器。二、巴特沃斯低通滤波假设需要一个指标为04hz内衰减小于3db、大于60hz时衰减不小于30db 的滤波器。其中抽样频率为400hz。以双线性变换方法来设计。首先将滤波器转换到模

3、拟指标1?= 400Q?= 2?= 8?= 0?' ?0.02?0? = 2?= 120?= Q? ?0.3?根据双线性变换2 ?Q= ?an ?(2)得到0?= 25.146?= 407.62这就得到了模拟域的指标。由巴特沃斯的方程A( 6)= |?乂?)摻=1 + (1_ 2?2?620?4 ?6 = -10?1 + (6) 20?陶？6 > -3 20?(?期 < -30?得到6? 2?-10?H + (6) > -36? 2?-10?H+( 6? < -30当N取大于最小值的整数时，解出 N=2,因此为二阶巴特沃斯低通滤波器。查表，可知二阶巴特沃斯低通滤

4、波器的系统函数为Q?为?？ 一 ?+ 迈 Q?* 6?2?1 + ?代入求得数值632.02? ='?+ 32.45?打 632.02这样便得到了模拟滤波器的函数，利用双线性变换的公式转换到数字域2 1-?s =?得到数字域滤波器? =0.00095 + 0.0019? + 0.00095?1- 1.91? +0.91?至此，设计完成。接下来用matlab实现上述变换设计。b=0 0 632.02;a=1 35.45 632.02;b z, az=bili near(b,a,400)w=0:500*pi/500;H,w=freqz(b z, az);f=400*w/(2*pi);sub

5、plot(121);plot(f,abs(H),'k');xlabel( '频率');ylabel('幅值');axis(0 50 0 1); subplot(122);plot(f,20*log10(abs(H),'k');xlabel('频率');ylabel('DB 值');axis(0 100 -70 2);hold onplot(0 4,-3 -3,'r');hold onplot(4 4,-180 -3,'r');hold onplot(60 60,-18

6、0 -48.5,'b');hold onplot(0 60,-48.5 -48.5,'b');plot(0 200,-30 -30,'g');text(6,-3,'6hz,3db');text(60,-45,'60hz,大于 30db');text(60,-30,'30db');得到结果bz =0.00090.00190.0009az =1.0000-1.91140.9152bz为分母，az为分子，从左到右分别为1、负一次方、负二次方验证表示结果正确。A-10D6hz, 3db-2030db-30-

7、4060hz,大于 30db-50-60-7050频率100因为N取了 2,取为整数，大于计算的值，所以在 60hz时，衰减超出指 标。以下讨论切比雪夫滤波器。三、切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器是另一种滤波器，使用较为广泛的是低通滤波器，也能够 通过变换转化为其他滤波类型的滤波器。以下设计切比雪夫低通滤波器，仍用双线性变换法。频率脉冲响应法与双 线性变换法的区别仅仅在于两个域的转换方面，在设计模拟滤波器的方面，是 没有影响的。频率脉冲法计算更加复杂，而且有混叠效应；双线性法通过预畸 减小了误差，并且没有混叠。给出指标：030hz内衰减小于3db、大于90hz时衰减不小于40db的滤波 器。其中抽

8、样频率为200hz。. 1T= 1?= 200Q? = 2?= 60?=加=?0.3?Q? = 2?= 180?= Q? ?0.9? 根据双线性变换2 ?Q= ?an ?$)得到Q?= 203.81Q?= 2525.50得到模拟域指标。求£?4 - “10?£= V100.1?1 - 1 = ,0°.3 -1 = 11.66?99.993?1=.392N=2查表,得到N=2的归一化系统函数_0.50H?%?- ?+ 0.64?$ 0.71代入， s ? ?= =Q? 203.81并令新的2 1-? s =?1 + ?得到0.5 + ? + 0.5?0.086 +

9、0.17? + 0.086?H?6?P=5.82 - 6.26? + 3.30?字1 - 1.08? + 0.57?字Matlab仿真Wc=203.81;b=0 0 0.5*WcA2;a=1 0.64*Wc 0.71*WcA2;b z, az=bili near(b,a,200)w=0:500*pi/500;H,w=freqz(b z, az); f=200*w/(2*pi);subplot(121);plot(f,abs(H),'k');xlabel( '频率');ylabel('幅值');axis(0 50 0 1);subplot(122)

10、;plot(f,20*log10(abs(H),'k');xlabel('频率');ylabel('DB 值');axis(0 95 -50 1);hold onplot(0 30,-3 -3,'r');hold onplot(30 30,-180 -3,'r');hold ontext(30,-3,'30hz £ ?3db');text(40,-48,'90hz, ' oou 40db');频率01I%30hz , 3db-5-10 -15 - -20-25 -3

11、0-35-40-45-90hz,大于 40db-50020406080频率满足指标要求。bz =0.08590.17190.0859az =1.0000 -1.08010.5682?贝U N=2,系统函数（因为6?为1,故系统函数即原型函数）数值正确。以下设计切比雪夫高通滤波器四、切比雪夫高通滤波器求高通滤波器的常用方法是模拟低通转化为数字高通。指标：通带截止频率3khz,衰减不大于3db;阻带上限截止频率2khz,衰减不小于14db。抽样频率10khz。1 1T= %?=而？6? = 2?= 6?=?0.6?6? = 2?= 4?=?' ?0.4?根据双线性变换，并令6?= 1? =

12、 6?tan ()=1.38求低通原型?6?= ?cot(2) = 1.89求阶次N£= “00.1?1 - 1 = ,0°.3 - 1 = 1?-?i?100.1.? - 1?4 9127e=1 97?1.89250.50H?= ?+ 0.64?h 0.71代入变换式1 + ? ?+ 1H? =得到0.5 - ? + 0.5?-23.50 + 2.39? + 1.73? ?Matlab仿真程序f=1.38/2;b=0 0 0.5;a=1 0.64 0.71;bz=0.5 -1 0.5;az=3.5 2.39 1.73;w=0:500*pi/500;H,w=freqz(b

13、z, az);f=10000*w/(2*pi);subplot(121);plot(f,abs(H),'k');xlabel( '频率');ylabel('幅值');subplot(122);plot(f,20*log10(abs(H),'k');xlabel('频率');ylabel('DB 值');hold onplot(0 3000,-3 -3,'r');hold onplot(3000 3000,-180 -3,'r');hold onplot(2000 20

14、00,-180 -15.9,'b');hold onplot(0 2000,-15.9 -15.9,'b');plot(0 5000,-14 -14,'g');text(3000,-3,'3000hz,3db');text(2100,-21,'2000h z,大于 14db');text(1000,-10,'14db');- 2003000hz ， 3db*14db-202000hz,大于 14db 亠1 -40 fr-60-hr11X.1值-80L-100'If*-120-140Hl*J-160vdJ *1- -180土1i1.4020004000频率值 幅1.20.80.60.40.2200040006000频率6000完成指标。五、总结本次作业分别设计了巴特沃斯低通、切比雪夫低通和高通滤波器，所用 到的方法是双线性变换法，模拟域