品管七大手法之直方图

1、直方图 (Histogram)一、前言现场工作人员经常都要面对许多的数据， 这些数据均来自于生产过程中抽样或检查所得的某项产品的质量特性。 如果我们应用统计绘图的方法，将这些数据加以整理， 则生产过程中的质量散布的情形及问题点所在及过程、能力等，均可呈现在我们的眼前；我们即可利用这些信息来掌握问题点以采取改善对策。 通常在生产现场最常利用的图表即为直方图。二、直方图的定义什么是直方图：即使诸如长度、重量、硬度、时间等计量值的数值分配情形能容易地看出的图形。直方图是将所收集的测定值特性值或结果值，分为几个相等的区间作为横轴， 并将各区间内所测定值依所出现的次数累积而成的面积，用柱子排起来的图形。

2、因此，也叫做柱状图。使用直方图的目的：了解分配的形态。研究制程能力或计算制程能力。过程分析与控制。观察数据的真伪。计算产品的不合格率。求分配的平均值与标准差。用以制定规格界限。与规格或标准值比较。调查是否混入两个以上的不同群体。了解设计控制是否合乎过程控制。116 品管七大手法3. 解释名词：次数分配将许多的复杂数据按其差异的大小分成若干组，在各组内填入测定值的出现次数，即为次数分配。相对次数在各组出现的次数除以全部的次数，即为相对次数。累积次数 (f)自次数分配的测定值较小的一端将其次数累积计算，即为累积次数。极差 (R)在所有数据中最大值和最小值的差，即为极差。组距 (h)极差 / 组数

3、=组距算数平均数 (X)数据的总和除以数据总数，通常一X（X-bar ）表示。nX 1+X 2+XnXii 1X=nn fX= X 0+h n中位数 (X)将数据由大至小按顺序排列，居于中央的数据为中位数。若遇偶位数时，则取中间两数据的平均值。各组中点的简化值 ( )X i - X 0, X 0=次数最多一组的组中点=组距 (h)X i=各组组中点众数 (M)次数分配中出现次数最多组的值。第八章直方图 117例：不合格数35791011次数111518241316次数最多为 24，不合格数是 9，故众数为 9。组中点 (m)一组数据中最大值与最小值的平均值，（上组界 +下组界）÷ 2

4、= 组中点标准差（ ）( f )2= 0 = h×2 fnn错误！未指定书签。样本标准差 (S)2 f( f )2s= n-1= h ×nn1三、直方图的制作直方图的制作方法步骤 1：收集数据并记录收集数据时，对于抽样分布必须特别注意，不可取部分样品，应全部均匀地加以随机抽样。 所收集的数据个数应大于 50 以上。118 品管七大手法例: 某厂成品尺寸规格为 130 至 160mm，今按随机抽样方式抽取 60个样本，其测定值如附表，试制作直方图。13814214814514014113914014113813813914413813913613713713112713813

5、7137133140130136128138132145141135131136131134136137133134132135134132134121129137132130135135134136131131139136135步骤 2：找出数据中的最大值 (L) 与最小值 (S)先从各行（或列）求出最大值，最小值，再予比较。最大值用“”框起来，最小值用“”框起来EX: No.1No.2No.3No.4No.5No.61381421481451401411391401411381381391441381391361371371311271381371371331401301361281381

6、32145141135131136131134136137133134132135134132134121129137132130135135134136131131139136135得知：No.1L1=145S1=131No.2L2=142S2=127No.3L3=148S3=130No.4L4=145S4=128No.5L5=140S5=121No.6L6=141S6=129求得 L=148S=121第八章直方图 119步骤 3：求极差 (R)数据最大值 (L) 减最小值 (S)= 极差 (R)例： R=148-121=27步骤 4：决定组数组数过少，虽然可得到相当简单的表格， 却失去次数

7、分配的本质与意义； 组数过多，虽然表格详尽， 但无法达到简化的目的。通常，应先将异常值剔除再进行分组。一般可用数学家史特吉斯 (Sturges) 提出的公式，根据测定次数 n 来计算组数 k，公式为：k=1+3.32 log n例： n=60 则 k=1+3.32 log 60=1+3.32(1.78)=6.9 即约可分为 6 组或 7 组 一般对数据的分组可参照下表：数据数组数 5057511006101012507122501020例：取 7组步骤 5：求组距 (h)R组距 =极差÷组数 (h= )k为便于计算平均数及标准差，组距常取为2，5 或 10 的倍数。27例： h= =

8、3.86，组距取 47步骤 6：求各组上限，下限 ( 由小而大顺序 )最小测量单位120 品第管一七组大下手限法 =最小值2第一组上限 =第一组下限 +组界第二组下限 =第一组上限 最小测定单位整数位的最小测量单位为0.1小数点 1 位的最小测量单位为0.1小数点 2 位的最小测量单位为0.01最小数应在最小一组内，最大数应在最大一组内；若有数字小于最小一组下限或大于最大一组上限值时，应自动加一组。例：1第一组 =121- / 2=120.6 124.5第二组 =124.5 128.5第三组 =128.5 132.5第四组 =132.5 136.5第五组 =136.5 140.5第六组 =14

9、0.5 144.5步骤 7：求组中点组中点 ( 值)=该组上限 +该组下限2例：第一组 =(120.5+124.5) ÷2=122.5第二组 =(124.5+128.5)÷2=126.5第三组 =(128.5+132.5)÷2=130.5第四组 =(132.5+136.5)÷2=134.5第五组 =(136.5+140.5)÷2=138.5第六组 =(140.5+144.5)÷2=142.5第七组 =(144.5+148.5)÷2=146.5 第八章直方图 121步骤 8：作次数分配表将所有数据，按其数值大小记在各组的组界内

10、，并计算其次数。将次数相加，并与测定值的个数相比较；表示的次数总和应与测定值的总数相同。次数分配表组组号1120.52124.53128.54132.55136.56140.57144.5合计 2f（ f ） 2 / n117（-41）2/ 60 = h *-= 4 *- = 4.871n60 2f（ f ） 2 / n117（-41）2/ 60S = h *-= 4 *- = 4.91n 160 1步骤 9：制作直方图将次数分配表图表化，以横轴表示数值的变化，纵轴表示次数。横轴与纵轴各取适当的单位长度。再将各组的组界分别标在横轴上，各组界应为等距分布。以各组内的次数为高，组距为宽；在每一组上

11、画成矩形，则完成直方图。在图的右上角记入相关数据履历（数据总数n，平均值 x，标准差 ），并划出规格的上、下限。填入必要事项：产品名称、工序名称、时间、制作日期、制作者。122 品管七大手法n=60S =160SL20x =135.8=13015105=4.87s = n-1=4.91120.5124.5128.5132.5136.5140.5144.5148.5说明： 1. 分组后再计算的 ，s 为近似值2. 如直接以原始数据 60 个，依公式计算，可得真值。n=60x =135.8=4.87s =4.722. 用计算机计算统计量若手边有函数型计算机， 可使用次数分配表中， 输入组中点与次数

12、，迅速求得各统计量 n, x ,与 s。如目前使用最普遍的CASIO fx-3600PV, 其计算步骤如下：按键功能说明荧幕显示MODE3进入统计计算系统SDSHIFTKAC清除记忆0122.5× 1DATA输入组中点及次数数据122.5136.5× 2DATA"126.5130.5× 12DATA"130.5134.5× 18DATA"134.5138.5× 19DATA"138.5142.5× 5DATA"142.5146.5× 3DATA"146.5KOUT

13、3输出统计量 n60SHIFTx"X135.766SHIFTxn"4.871SHIFT x n-1"s4.912KONT 2" X8146KNOT 1"21107379 X第八章直方图 1233. 常见的直方图形态正常型说明：中间高，两边低，有集中趋势。结论：左右对称分布（正态分配） ，显示过程运转正常。缺齿型（凸凹不平型）说明：高低不一，有缺齿情形。不正常的分配，由于测定值或换算方法有偏差，次数分配不妥当所形成。结论：检验员对测定值有偏好现象，如对 5，10 之数字偏好；或是假造数据。测量仪器不精密或组数的宽度不是倍数时，也有此情况。切边型（

14、断裂型）说明：有一端被切断。结论：原因为数据经过全检，或过程本身经过全检，会出现的形状。若剔除某规格以上时，则切边在靠近右边形成。124 品管七大手法离岛型说明：在右端或左端形成小岛。结论：测量有错误，工序调节错误或使用不同原料所引起。一定有异常原因存在，只要去除，就可满足过程要求，生产出符合规格的产品。高原型说明 : 形状似高原状。结论 : 不同平均值的分配混在一起，应分层后再做直方图比较。双峰型说明：有两个高峰出现。结论：有两种分配相混合，例如两台机器或两家不同供应商，第八章 直方图 125有差异时，会出现这种形状，因测量值不同的原因影响，应先分层后再作直方图。偏态型（偏态分配）说明：高处

15、偏向一边，另一边低，拖长尾巴。可分偏右型、偏左型。偏右型：例如，微量成分的含有率等，不能取到某值以下的值时，所出现的形状。偏左型：例如，成分含有高纯度的含有率等，不能取到某值以上的值时，就会出现的形状。结论：尾巴拖长时，应检查是否在技术上能够接受，工具磨损或松动时，也有此种现象发生。4. 直方图使用的注意事项异常值应去除后再分组。从样本测量值推测群体形态，直方图是最简单有效的方法。应取得详细的数据资料（例如：时间、原料、测量者、设备、环境条件等）。126 品管七大手法进行过程管理及分析改善时，可利用层别方法，将更容易找出问题的症结点，对于质量的改善，有事半功倍的效果。四、直方图的应用计算过程能

16、力，作为改善制程的依据从过程中所收集的数据，经整理成为次数分配表，再绘成直方图后，就可由其集中或分散的情形来看出过程的好坏。直方图的重点在于平均值（ X），经整理后的分配如为正态分配，则自拐点中引起一横轴的平行线，可得到表现差异性的标准差（ ）。良好的过程，平均数应接近规格中心，标准差则越小越好。计算产品不合格率质量改善循环活动中， 常需计算改善活动前、 中、后的不合格率，用以比较有无改善效果。其不合格率可直接从次数分配表中求得；也可从直方图中计算出来。例如，某产品的重量直方图如图图示，其规格为35±3(g) 。SL50SU50404038303030 282020152012101

17、0862930313233343536373839404142由图与规格界限比较, 可知在规格下限以下的有35 件, 超出规格上限的有 64 件, 合计有 99 件, 占总数 307 件的 32.25%, 即不合格率为 32.25%.观察分配形态 ( 参阅第三 .3 节)由直方图的形状，得知过程是否异常。用以制定规格界限在未订出规格界限之前，可依据所收集编成的次第数八分章配表直，方计图算127次数分配是否为正态分配； 如为正态分配时， 则可根据计算得到的平均数与标准差来订出规格界限。一般而言，平均数减去 3 个标准差得规格下限，平均数加上 3 个标准差则得规格上限；或按实际需要而制定。与规格或

18、标准值比较要了解过程能力的好坏，必须与规格或标准值比较；一般而言，我们希望过程能力（直方图）在规格界限内，且最好过程的平均值与规格的中心相一致。满足规格(a) 理想型过程能力在规格界限内，且平均值与规格中心一致，平均数加减 4 倍标准差为规格界限。过程稍有变大或变小都不会超过规格值，是一种最理想的直方图。表示产品良好，能力足够。下限规格上限制品范围(b) 一侧无余地产品偏一边，则另一边还有很多余地，若过程再变大（或变小）很可能会有不合格发生，必需设法使产品中心值与规格中心值吻合才好。规格下限上限制品范围128 品管七大手法(c) 两侧无余地产品的最大值与最小值均在规格内， 但都在规格上下限两端

19、，也表示其中心值与规格中心值吻合，虽没有不合格品发生，但若过程稍有变动，就会有不合格品产生的危险，要设法提高产品的精度才好。下限规格上限制品范围(d) 余地太多实际制程在规格界限内，但两边距规格界限太远。亦即产品质量均匀，变异小。如果此种情形是因增加成本而得到，对公司而言并非好现象，故可考虑缩小规格界限或放松质量变异，以降低成本、减少浪费。下限规格上限制品范围不满足规格(a) 平均值偏左（或偏右）如果平均值偏向规格下限并伸展至规格下限左边， 或偏向规格上限并伸展至规格上限的右边， 但产品呈正态分配，即表示平均位置有偏差，应针对固定的设备、机器、原料等方向去追查。第八章直方图 129SLSUSL

20、SU(b) 离散度过大实际产品的最大值与最小值均超过规格值，有不合格品发生（斜线部分），表示标准太大，过程能力不足，应针对变动的人员、方法等方向去追查，要设法使产品的变异缩小；或是规格订得太严，应放宽规格。下限规格上限制品范围(c) 完全在规格外表示产品的生产完全没有依照规格去考虑；或规格订得不合理, 根本无法达到规格。规格制品范围调查是否混入两个以上不同群体如果直方图呈现双峰形态，可能混合了两种不同群体，亦即过程为两种不同群体，比如两个不同班级、不同生产线、不同材料、不同操作人员、 不同机台等。生产出来的产品混合在一起。 此时，130 品管七大手法需将其分层，将不同班级、生产线、材料、操作人

21、员、机台、制造出来的产品分开堆放，以便趁早找出造成不合格的原因。研判设计时的控制界限可否用于过程控制计量值控制图如XR 控制图，当 未知，以 X 作为中心线， X+ A2R 作为控制上限， X-A 2R 作为控制下限，做为设计的控制界限。当每天计算的结果（ X，R）点绘在设计控制界限内，若未呈现任何规则， 一般即可将此设计控制界限延伸为实际的过程控制界限。但是，如果产品本身有规格界限时， 应将所收集的数据，作次数分配表，并绘成直方图；此直方图如在规格界限内，才可将此控制界限作为控制过程用。五、过程能力过程精密度CP(Capability of Precision)的求法：(a) 双边规格TSU

22、-SL（上限规格 )（下限规格）CP= =T=S U-SL6S6S6X （标准偏差）标准差X第八章直方图 131(b) 单边规格（i ）上限规格SU-X（上限规格 )（平均值）3S3X（标准偏差）CP= =（ii ）X- S L（平均值 )（下限规格）CP= =3S3X（标准偏差）No.CP分布与规格的关系过程能力判断1SLSUsCP 1.67太佳SLSU21.67>CP1.33s合格SLSU31.33>CP1.00s警告SLSU41.00>CP0.67s不足SLSU5P非常不足0.67>Cs处置过程能力太好， 可酌情缩小规格， 或考虑简化管理与降低成本。理想状态，继续

23、维持。使过程保持于控制状态，否则产品随时有发生不合格品的危险，需注意。产品有不合格品产生，需作全数检验，过程有妥善管理及改善的必要。应采取紧急措施， 改善质量并追究原因，必要时规格再作检验。132 品管七大手法2. 制程精密度 (CP 值) 与不合格率的关系制程精密度（ CP值）与不合格率的关系CP规格公差（ T）不合格率（规格以外比率）单边规格双边规格-2( ±1)15.87%+0.3331.74%0.574( ±2 ) 0 +12.27% +44.54%-6 -5 -4 -3 -2 -1 +2 +3 +5 +6 1.006( ±3)1.338( ±4

24、)1.669.6( ±4.8 )68.26%0.14%0.27%95.46%31.5 PPM63 PPM99.73%0.81 PPM1.62 PPM1.7610.4( ±5.3 )0.06 PPM0.12 PPM99.9937%2.0012.0( ±6)1.0 PPB2.0 PPB99.999943%注： 1.Ca值等于 0 时 CP=CPk99.9999998%2.PPM Parts Per Million3. PPBParts Per Billion六、实例演练案例 1：某公司分别在两厂（A， B）生产同样的产品；最近，两地均发现有不符规格值 (200275g

25、)的异常产品产生，今公司派员分别到两厂去实地了解生产过程，并分别测定60 批产品，数据如附表；请分析并回答下列问题：作全部数据的直方图。针对两厂分别做层别直方图。计算全部数据， A厂、B 厂的平均 (X) ，标准差 ( ) 及过程精密度(CP) 。直方图上填入必要事项。叙述由直方图所得的结果。第八章直方图 133A 厂B2152382172132212372382312602312012432452492632092452502502512732432742212212472192002532312592032412562382482601982102712272512552432052602

26、04211246257243251237201238260237237233260211233234242240261223210229222245242A 厂最大值 274B 厂最大值 273最小值 198最小值 184解： (1)全部数据的最大值： 274，最小值： 184组数 (k) = 1+3.32log n = 1+3.32log120 = 1+3.32(2.08) = 7.9取 8 组组距 = (274-184)/8 = 11.2512最小一组的下限= 1841/2 = 183.5作次数分配表全体A厂B厂No.组界组中点划记次数划记次数划记次数1183.5195.5189.5262

27、2195.5207.5201.511583207.5219.5213.513584219.5231.5225.52012165231.5243.5237.52610116243.5255.5249.5221187255.5267.5261.5201238267.5279.5273.563合计1206060134 品管七大手法直方图（全数）n=12030SL =200 X SU=275 x=236.8 =20.7420s=20.8310189.5201.5213.5 237.5 249.5 261.5 273.5225.5(2)针对 A 、B 厂的层别直方图A 厂直方图B 厂直方图SL =200

28、XSU=275SL =200SU=275n=60Xn=6020x=236.320x=237.3 =19.80 =21.631515s=19.97s=21.81101055201.5 226.5 249.5 273.5189.5213.5 237.5 261.5213.5 237.5 261.5201.5 225.5 249.5 273.5(3)全数，A 厂、B 厂的平均值 (X) ，标准差 ()及过程精密度 (CP)(a)全数数据中心值 X次数 f f2f1189.52-4-8322201.511-3-33993213.513-2-26524225.520-1-20205237.5260006

29、249.522122227261.520240808273.5631854 f=120 f=-7 2f=359第八章直方图 135平均数fh237.57 12236.8on12022f27f359样本标准差shn12120n11201123590 .40831 .735920 .8311912工序能力指数(b)A 厂数据中心值 X1 189.52 201.53 213.54 225.55 237.56 249.57 261.58 273.5平均值CpSuSl2752000 .606 s620 .83次数 ff2 f0-4006-3-18548-2-16328-1-8816f0600f62 f

30、1640111111182163233927fh237 .56012 236 .3n60222ff1646shn1260n159样本标准差工序能力指数136 品管七大手法(c)B 厂数据1640 . 612163 .412595912 1 . 664219 .97Su Sl 27520075Cp619.970.6266s119 .82科建顾问中心值 X次数 ff2f1189.52-3-6182201.55-2-10203213.55-1-554225.5120005237.510110106249.511222447261.5123361088273.5341248f60f592 f253平均

31、数f225.559237.30h12n602f23481f253样本标准差 shn1260n1591225358121955959SuSl275200750.573Cp621.87130.866s工序能力指数(4)将 n， ，s，规格上下界限，平均数，记入直方图。第八章直方图 137(5)项 目全 体A 厂=236.8AB=236.3SASBSS =20.76C PAC PB=19.97CpCp=0.60=0.626形 状1.稍为偏左1.稍为偏左2.分散程度过大2.分散程度过大与规格比较分布中心与规格中心相较,稍为偏左 ,且出现不良品 ,超出规格下限。(同左 )综合评断1.A 厂、 B 厂均发

32、生超出规格下限的情形，有必要加以改善，使平均值右移至规格中心。2.两厂之过程变差甚大，均有不良品发生，需做全数检验，过程必须妥善管理与改善。138 品管七大手法案例 2:某国校五年乙班学生之身高、体重，做抽样调查。期望目标 :身高 125150体重 : 2540kg,其结果如下 :男生女生身高 (cm)体重 (kg)身高 (cm)12313113527282713112911711812513223302813012812512714414128313811914514012412413129302612213614813212714035294012513114113812914934293

33、9132134120139130121403835135128118137151123355136138119127131142125333146130120130123128129404633124123135(1) 计算直方图表达其分布。 (包含全数、男、女生 )(2) 计算平均身高、体重。 (包含全数、男、女生 )(3) 计算身高、体重之标准差。 (包含全数、男、女生 )(4) 计算评论其结果。解:身高全数数据之最大值 : 151cm,最小值为 : 117cm组数 (k)=1+3.32log n-1+3.32log60=1+3.32(1.78)=6.91取 7 组组距 =(151-117)/7=4.865cm最小一组的下限 =117-0.5=116.5cm体重全部数据最大值 : 48kg, 最小值 : 20kg组数 (k)=1+3.32 log 60=6.91 以 7 组组距 =(5