初三一元二次方程数学试题含答案

1、一.解答题(共30小题)1 . (202HXX)关于x的一元二次方程(a-6) x2-8x+9=O有实根.(1)求a的最大整数值：(2)当a取最大整数值时，求出该方程的根；求2x2-挈三二1一的值.x2-8xH12 .(2021XX)关于x的一元二次方程x? - (2k+l) x+k2+2k=0有两个实数根xi, x2.(1) XX数k的取值X囤：(2)是否存在实数k使得人x J - 成立？假设存在，请求出k的值：假设不存在，请说明理由.3. (202HXX)关于 x 的一元二次方程为(m-1) x2 - 2mx+m+l=0.(1)求出方程的根：(2) m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？

2、4. (2021荆州):关于 x 的方程 kx?- (3k- 1) x+2 (k- 1) =0(1)求证：无论k为何实数，方程总有实数根：(2)假设此方程有两个实数根XI，X2,且1X1721=2,求k的值.5.(2021庆阳)关于x的方程k?x2-2 (k+1) x+l=0有两个实数根.(1)求k的取值XI®；当k=l时,设所给方程的两个根分别为XI和X2,求¥+3的值 xl X26 .(2021XX)关于x的一元二次方程x? - x+p - 1=0有两实数根xi, X2, (1)求P的取值Xis；(2)假设2+xi 1-xi) 2+X2 (1 -X2)=9,求 p 的值

3、.7 . (XX) xi，X2是方程X，- 2x+a=0的两个实数根，且xi+2x?=3 -寸力.求XI, X2及a的值：(2)求xj - 3x/十2xi+X2的值.1.1 江津区)a、b、c分别是ABC的三边，其中a=l, c=4,且关于x的方程x? - 4x+b=0有两个相等的实数根, 试判断 ABC的形状.9 . (XX)关于x的方程kx2-2 (k+1) x+k-1=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值XIS；(2)是否存在实数匕使此方程的两个实数根的倒数和等于0?假设存在，求出k的值：假设不存在，说明理由.10 . (XX) Xi，X2是关于x的一元二次方程C-6x+k=0的两个

4、实数根，且Xi'2 - Xi - X2=U5.(1)求k的值；(2)求 xJ+X2?+8 的值.11 . (XX)关于x的一元二次方程x?+ (m-1) x-2m2+m=0 (m为实数有两个实数根x1、x2.当m为何值时,xi#X2： 假设xJ+X2?=2,求m的值.12 .关于x的一元二次方程x2+4x+m - 1=0.(1)请你为m选取一个适宜的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根:(2)设a, 0是(1)中你所得到的方程的两个实数根，求£+初十部的值.13 .关于x的方程2x2 - kx+l=O的一个解与方程组L二4的解一样. 1 - x(1)求k的值；(2)求方程2

5、x2-kx+l=0的另一个解.14 .:关于 x 的一元二次方程 x2 - 2m+l) x+m2+m - 2=0.(1)求证：不管m取何值，方程总有两个不相等的实数根:(2)假设方程的两个实数根xi，X2 满 /i.14-，叼町 "2求m的值.15 .关于x的一元二次方程x2+kx - 1=0,(1)求证：方程有两个不相等的实数根：(2)设方程的两根分别为XI, X2,且满足Xl+X2=XlX2,求k的值.16 .关于X的一元二次方程kx2-2 (k+1) x+k-1=0有两个不相等的实数根Xi，X2. (1)求k的取值X围；(2)是否存在实数匕 使=1成立?假设存在，请求出k的值；

6、假设不存在，请说明理由. 町町17 .： aABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2 - (2k+3) 乂+1？+31<+2=0的两个实数根，第三边BC 的长为5.试问：k取何值时， ABC是以BC为斜边的直角三角形？18 . a, B是关于x的一元二次方程(m- 1) x2-x+l=0的两个实数根，且满足(a+1) (p+1) =m+L XX数m的 值.19 .关于x的方程 5-1) x2-2mx+m=O有两个不相等的实数根Xi、x2： (1)求m的取值XIS；假设(X1-X2)2=8,求m的值.20 .：关于x的方程X? - (k+1) x+lk2+l=0的两根是一个矩形

7、两邻边的长.4(1) k取何值时，方程有两个实数根：(2)当矩形的对角线长为遍时，求k的值.word 版21.设关于X的一元二次方程x2-4x-2 (k- 1) =0有两个实数根XI、X2,问是否存在X|+X2X1X2的情况?22.关于x的方程x?+ (2k+l) x+k2-1=0有两个实数根.(1) XX数k的取值X囤：(2)是否存在实数k,使方程的两个实数根的平方和与两个实数根的枳相等？假设存在，求出k的值：假设不存在, 说明理由.23 .关于 x 的方程”+2 (2 - m) x+3 - 6m=0.(1)求证：无论m取什么实数，方程总有实数根；(2)如果方程的两个实数根XI、X2满足XI

8、=3X2, XX数m的值.24 .对关于x的一元二次方程ax、bx+c=0 (a*0).(1)当a、c异号时，试证明该方程必有两个不相等的实数根：(2)当a、c同号时，该方程要有实数根，还须满足什么条件？请你找出一个a、c同号且有实数根的一元二次方程, 然后解这个方程.25 .关于x的一元二次方程29十工/一2二0，2(1)求证：不管k取何值，方程总有两个不相等的实数根：(2)设XI、X2是方程的两个根,且x-2kxi+2x】X2=5,求k的值.26 .关于 x 的方程(-2 (m+1) x+nr - 3=0.(1)当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)设XI、X2是方程的两根，且(X

9、1+X2)2-(X1+X2)- 12=0,求m的值.-2Gx=O (n>0)有两个实数根，求27 .设a, b, c是 ABC三边的长，且关于x的方程c (x2+n) +b (x2 - n) 证： ABC是直角三角形.28 . (2021XX模拟)选做题：题乙：关于X的一元二次方程X? - 2kx+k?+2=2 (1 -X)有两个实数根XI、X2.(1) XX数k的取值X囤：(2)假设方程的两实数根XI、X2满足IXl+X2l=XlX2- 1,求k的值.29 . (2021X家港市模拟)假设关于x的方程x2+4x-a+3=0有实数根.(1)求a的取值X围；(2)当a=2021时,设方程的

10、两根为xi、X2,求x+3xi - X2的值.30 . (2021金堂县一模)用适当的方法解以下方程(x+4) 2=5 (x+4)x2-6x+5=O(x+3) 2= (1 -2x) 22x2 - 10x=3.解答题(共30小题)1. (202HXX)关于x的一元二次方程(a-6) x?-8x+9=0有实根.(1)求a的最大整数值：(2)当a取最大整数值时，求出该方程的根：求2乂2-的值.x2-8x+11 考点：根的判别式：解一元二次方程-公式法.分析：(1)根据一元二次方程的定义和根的判别式得到 =64 -4x (a- 6) x9>0且a - 6。0,解得a2当且a%,然 后在次X围内找

11、出最大的整数：(2)把a的值代入方程得到x? - 8x+9=O,然后利用求根公式法求解：由于x2 - 8x+9=0那么x2 - 8x=- 9,然后把x2 - 8x= - 9整体代入所求的代数式中得到原式=2x?-物二工2x2 76X+工 再变形得到2 (x2-8x)再利用整体思想计算即可.-9+1122解答：解：(1)根据题意仆=64-4x (a-6) x9>0且a - 6。0,解得a且a#6,所以a的最大整数值为7；(2)当a=7时，原方程变形为X? - 8x+9=0, =64 - 4x9=28,.x 8±V282xi=4十五,X2=4 - W：: X2 - 8x+9=0,

12、x2-8x=-9,所以原式=2x2-连?-9+11=2x2 - 16xQ2=2 (x2- 8x)/2=2x ( -9)/2一 29 - ' 2点评：此题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0 (aM)的根的判别式 =b? - 4ac：当 >0,方程有两个不相等的实 数根：当=(),方程有两个相等的实数根：当<(),方程没有实数根.也考察了一元二次方程的定义和 解法以及整体思想.2.(2021XX)关于x的一元二次方程x2 - (2k+l) x+k2+2k=0有两个实数根xi, x2.(1) XX数k的取值X围：(2)是否存在实数k使得人X- xJnO成立？假设存在，请求出k

13、的值：假设不存在，请说明理由.考点：根与系数的关系；根的判别式.专题：压轴题.分析：(1)根据一元二次方程的根的情况，得到根的判别式 20,据此列出关于k的不等式-(2k+l) 2-4 (k2+2k) >0,通过解该不等式即可求得k的取值X围：(2)假设存在实数k使得叼2 - x J -立0成立.利用根与系数的关系可以求得X1 + x2=2kH, X1-x2=k2+2k«然后利用完全平方公式可以把不等式转化为含有两根之和、两根之积 的形式3丫叼一 (口 +也)0,通过解不等式可以求得k的值解答：解：(1) 原方程有两个实数根, (2k+l)产-4 (k2+2k) >0,

14、4k2+4k+l - 4k2 - 8k>01 - 4k>0,.当寸，原方程有两个实数根.12)假设存在实数k使得hx 2 - x/20成立.X, X2是原方程的两根, x1 + x2=2k+l, x j x2=k2+2k-由 *1 . *2 - x J - x22-0,得3父叼-(x1 + x2).-.3 (k2+2k) - (2k+l) 2>0,整理得：-(k-1) Ao, 只有当k=l时，上式才能成立.又：由(1)知k<l.4不存在实数k使得叼9- xj 一米2?0成立点评：此题综合考察了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关

15、系.3. (202HXX)关于 x 的一元二次方程为(m-1) x2 - 2mx+m+l=0.(1)求出方程的根：(2) m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？考点：解一元二次方程-公式法：一元二次方程的解.分析:专题：压轴题.(1)利用求根根式X-二b±、b七4上解方程; 2a(2)利用(1)中x的值来确定m的值.解答：解：(1)根据题意，得im 1. = ( - 2m) 2 - 4 (m - 1) (m+1) =4,那么 x,iriL>2 (m- 1) w- 1X2=l：(2)由(1)知，m - 1 卬-1方程的两个根都为正整数，上;是正整数，m - 1m - 1=1 或

16、 m - 1=2,解得，m=2或3.即m为2或3时，此方程的两个根都为正整数.点评：此题考察了公式法解一元二次方程.要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解.4. 12021 荆州)：关于 x 的方程 kx?- (3k- 1) x+2 (k- 1) =0(1)求证：无论k为何实数，方程总有实数根：(2)假设此方程有两个实数根XI，X2,且lxi-x#2,求k的值.考点：根的判别式：根与系数的关系.分析：(1)确定判别式的X围即可得出结论：12)根据根与系数的关系表示出X|+X2, X1X2,继而根据题意可得出方程，解出即可.解答：11)证明：当k=O时，方程是一元一次方程，有实数根；当kxO时，

17、方程是一元二次方程，1/ = (3k- 1) 2 - 4kx2 (k- 1) = (k+1) 2>0, 无论k为何实数，方程总有实数根.(2)解：.此方程有两个实数根XI, X2，(3k-l)2 (k-nXl+X2=，X1X2=，kk'/ Ixi - X2l=2t(XI - X2)2=4,f 12 yl I fJI19k2-6k+l t 2 (k-1).(xi+x?/ - 4xiX2=4, 即4x=4,k2k解得：史工士2,k即k=l或k=-工3点评：此题考察了根的判别式及根与系数的关系，属于根底题，这些用到的知识点是需要我们熟练记忆的内容.5. (2021庆阳)关于x的方程1c

18、2-2 (k+1) x+l=0有两个实数根.(1)求k的取值X围：(2)当k=l时，设所给方程的两个根分别为XI和X2,求一的值.Xi X2考点：根的判别式；根与系数的关系.专题：计算题.分析：11)根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k2*0且 =4 (k+1) 2 - 4k2?0,然后解两个不等式, 求出它们的公共局部即可；(2)先把k=l代入方程，再根据根与系数的关系得到X+X2=4, XJX2=1,然后把所求的代数式变形得到然后利用整体思想进展计算.解答：解：(1)根据题意得k2#0且4 =4 (k+1) 2 - 4k2>0,解得kN-且k/0：(2) k=l 时方程化为

19、 x? - 4x+l=0,那么 Xi+X2=4, xi*X2=b2X2 打 (勺 + 1?2)2x1x2 16-2X1H=14.xl X2 KJ *21点评：此题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0 (awO)的根的判别式 =b? - 4ac：当 >0,方程有两个不相等的实 数根：当=(),方程有两个相等的实数根：当<(),方程没有实数根.也考察了一元二次方程的根与系 数的关系.6. (202HXX)关于x的一元二次方程W - x+p - 1=0有两实数根xi，x2,(1)求p的取值XIS： 假设2+xi (1 -xi) 2+X2 (1 -X2)=9,求 p 的值.考点：根与系数

20、的关系：根的判别式.分析：(1) 一元二次方程有实根， K),根据判别式的公式代入可求p的取值X围；将等式变形，结合四个等式：Xl+X2=l> Xl*X2=p - 1» XI2 - X|+p - 1=0, X2? - X2+P - 1=0,代入求 p, 结果要根据p的取值X围进展检验.解答：解：(1)由题意得： = ( - 1) 2-4 (p- 1) >0解得，p号 由2+X1 (1 -Xl) 2+X2 (1 -X2)=9 得，(2+xi - xi2) (2+xi - X22) =9X, X2是方程X?-X+p- 1=0的两实数根,'. Xl2 - Xi+p -

21、1=0, X22 - X2+P - 1=0， XI - Xl2=p - 1, X2 - X22=p - 1(2+p - 1) (2+p - 1) =9,即(p+1) 2=9p=2 或 p= - 4,1/ p<-|，所求p的值为-4.点评：此题考察了一元二次方程的根的判别式运用，根与系数关系的运用以及等式变形的能力.7. (202PXX) xi，X2 是方程 x2-2x+a=0 的两个实数根，且 xi+2x?=3-6.(1)求xi, X2及a的值： 求 xj - 3x/+2xi+X2 的值.考点：根与系数的关系：解二元一次方程组；一元二次方程的解.分析：(1)将X|+2X2=3-e与两根之

22、和公式、两根之积公式联立组成方程组即可求出X, X2及a的值；(2)欲求xi3 - 3xi2+2xi+X2的值，先把代此数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值即可求出xi3 -3xi2+2xi+x2 的值.解答：x. + xo=2解：(1)由题意，得L町+2叼=3-企解得 Xl = l+U2，X2=l - V2.所以 a=xjX2= (I-h/2)f 1 - V2)=-1：(2)由题意，得 xr - 2xi - 1=0,即 xj - 2xi=lxr - 3xr+2xi+X2=xr - 2xr - xr+2xi+X2=xi (xr - 2X1) - I xr - 2X1)+X2=XI -

23、1+X2=(X1+X2) -1 =2- 1=1.点评：假设一元二次方程有实数根，那么根与系数的关系为：X1+X2=-1 X|X2=W，将根与系数的关系与代数式 a 变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.8. (2021 江津区)a、b、c分别是 ABC的三边，其中a=l, c=4,且关于x的方程x? - 4x+b=0有两个相等的实数 根，试判断 ABC的形状.考点：等腰三角形的判定；根的判别式.专题：压轴题.分析：先根据关于x的方程x2 - 4x+b=0有两个相等的实数根，可知 = ( - 4) 2 - 4b=o,求出b的值为4,再根据 a, c的值来判断 ABC的形状.解答：解：.方程x2

24、-4x+b=0有两个相等的实数根 A = ( -4) 2 - 4b=0 (3 分)/. b=4 (4 分)1/ c=4b=c=4 (5 分) ABC为等腰三角形.16分)点评：此题考察了一元二次方程根的判别式的应用和利用边与边之间的关系判断三角形的形状.总结：一元二次 方程根的情况与判别式4的关系：(1) 方程有两个不相等的实数根；(2) =0=方程有两个相等的实数根：(3) <0=方程没有实数根.9. (2021XX)关于x的方程kx2-2 (k+1) x+k-1=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值X围：(2)是否存在实数匕使此方程的两个实数根的倒数和等于0?假设存在，求出k的值

25、：假设不存在，说明理由.考点：根与系数的关系；一元二次方程的定义：根的判别式.分析：(1)根据方程有两个不相等的实数根可知=-2 k+1) 4k (k-1) >0,求得k的取值X困； (2)可假设存在实数k,使得方程的两个实数根Xi，X2的倒数和为0,列出方程即可求得k的值，然后把 求得的k值代入原式中看看与是否矛盾，如果矛盾那么不存在，如果不矛盾那么存在.解答：解：(1)二方程有两个不相等的实数根， = - 2 (k+1) 2-4k (k- 1) =12k+4>0,且 kM,解得k>-1，且hO,3即k的取值X围是kA-1，且kN)；3(2)假设存在实数k,使得方程的两个实

26、数根XI, X2的倒数和为0，那么X, X2不为0，旦L二Q, X1 x22 (k+1)It 1It即3且三二=°'k解得k=- 1,而k= - 1与方程有两个不相等实根的条件k>-l,且Q0矛盾，3故使方程的两个实数根的倒数和为0的实数k不存在.点评：此题主要考察了根的判别式的运用和给定一个条件判断是否存在关于字母系数的值令条件成立.解决此类 问题，要先假设存在，然后根据条件列出关于字母系数的方程解出字母系数的值，再把求得的字母系数值 代入原式中看看与是否矛盾，如果矛盾那么不存在，如果不矛盾那么存在.10. (2021*XX) XB X2是关于x的一元二次方程1-6x

27、+k=0的两个实数根，且x Jx? - xi - X2=115.(1)求k的值；求xJ+X2?+8的值.考点：根与系数的关系：解一元二次方程-直接开平方法；根的判别式.专题：压轴题.分析：(1)方程有两个实数根，必须满足=b2-4ac?0,从而求出实数k的取值X围，再利用根与系数的关系，X1X2 - XI - X2=115.即X1X2 - (X1+X2)=115,即可得到关于k的方程,求出k的值. 根据 即可求得XI+X2与X1X2的值,而x/+X22+8= (x1+x2) ? - 2x的+8即可求得式子的值.解答：解：(1);XI, X2是方程x2-6x+k=0的两个根， Xl+X2=6&g

28、t; XlX2=k>X12X22 - Xi - X2=115, 一 -6=115,解得 ki=l 1,卜2= -11,当 ki=l 1 时， =36 - 4k=36 - 44VO, ki=ll不合题意当 k2= - 11 时， =36 - 4k=36+44>0,. k2=- 11符合题意，.k的值为-11：(2) V Xl+X2=6, X1X2= - 11xi2+X22+8=(X1+X2)2 - 2x1X2+8=36+2x11+8=66.点评：总结：(1) 一元二次方程根的情况与判别式的关系：© >00方程有两个不相等的实数根：© =0=方程有两个相等的实

29、数根：®A <0=方程没有实数根.12)根与系数的关系是:Xl+X2= - » X1X2=-. a a根据根与系数的关系把xi2X22 -xi-X2=115转化为关于k的方程，解得k的值是解决此题的关键.11. (2007.XX)关于x的一元二次方程x?+ (m- 1) x - 2m2+m=0 (m为实数)有两个实数根xi、x2.当m为何值时,X1HX2： 假设X+X22=2,求m的值.考点：根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式.分析：(1)当m为何值时XIHX2,即方程有两个不同的根，那么根的判别式>().(2)依据根与系数关系，可以设方程的

30、两根是XI、X2,那么可以表示出两根的和与两根的积，依据X+X22=(X1+X2)2-2xlX2,即可得到关于m的方程，即可求得m的值.解答：解：(1) x2+ (m - 1) x - 2nr+m=0 (m为实数有两个实数根xi、X2.a=h b=m - 1, c= - 2nr+m> =b2 - 4ac= (m - 1) 2 - 4 ( - 2nr+m) =nr - 2m+l+8m2 _ 4m=9m2 - 6m+l= (3m - 1) 2>要使 xX2,那么应有4 >0,即/k = (3m - 1) 2>0, mJ； 3(2)根据题意得：Xi+X2=-且 1 - m,

31、xi”21= - 2nr+m aaXi2+X22=2t 即 xJ+X2J(X1+X2)2 - 2xiX2，即(1 - m) 2 - 2 ( - 2nr+m) =2,解得nii= t n】2=l. 5点评：此题是常见的根的判别式与根与系数关系的结合试题.把求未知系数m的问题转化为解方程问题是解决此 题的关键.12. (2006*XX)关于 x 的一元二次方程 x2+4x+m - 1=0.(1)请你为m选取一个适宜的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根：(2)设a, B是(1)中你所得到的方程的两个实数根，求1+82+印的值.考点：根的判别式：根与系数的关系.专题：计算题：开放型：判别式法.分析

32、：(1)根据 >0求得m的取值X围，再进一步在X围之内确定m的一个整数值;(2)根据根与系数的关系，对。2+俨+印进展变形求解.解答：解：(1)根据题意，Wa =b2 - 4ac=16 - 4 (m- 1) >0,解得 mV5.只要是mV5的整数即可.如：令m=l.(2)当m=l时,那么得方程x2+4x=0,a，B是方程x2+4x=0的两个实数根，a+p= - 4,邓=0,a2+p2+ap= (a+P J 2 - ap= ( - 4； 2 - 0=16.点评：(1) 一元二次方程根的情况与判别式的关系：© >00方程有两个不相等的实数根：© =0=方程有两

33、个相等的实数根：V0=方程没有实数根.(2) 一元二次方程的两根之和等于-上，两个之积等于£. aa13. (2006旅顺口区)关于x的方程2x2-kx+l=0的一个解与方程件L=4的解一样. 1 - x(1)求k的值；(2)求方程2x2-kx+1=0的另一个解.考点：根与系数的关系；一元二次方程的解；解分式方程.分析：(1)分式方程较完整，可先求出分式方程的解，代入整式方程即可求得k的值.(2)根据两根之和=-上即可求得另一根的解.a解答：解：(1)解方程：盟支二4,得1 - X2x+l=4 - 4x., 1. "一2经检验，是原方程的解.K 2把X代入方程2x? - k

34、x+l=0.x 2解得k=3.(2)当k=3时，方程为2x?-3x+l=0.由根与系数关系得方程另一个解为：x=3-Ll.2 2点评：此题主要考察方程解的意义，及同解方程、解方程等知识.注意运用根与系数的关系使运算简便.14. (2006XX)：关于 x 的一元二次方程 X? - (2m+l) x+nr+m - 2=0.(1)求证：不管m取何值，方程总有两个不相等的实数根：(2)假设方程的两个实数根xi, X2满足工 J=1+工，求m的值.Xj x2 nr+2考点专题分析解答:根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式；解分式方程.计算题；证明题.(1)方程总有两个不相等的实数根的

35、条件是 >0,由 >0可推出m的取值X闱.(2)欲求m的值，先把代数式工 J变形为两根之积或两根之和的形式，然后与两根之和公式、两根之 町x2积公式联立组成方程组，解方程组即可求m的值.解：(1) 4-n+1) 2 - 4 (nr+m - 2).=4nr+4m+l - 4nr - 4m+8=9>0.不管m取何值，方程总有两个不相等实数根.(2)解法一:根据根与系数的关系有X+X2=2m+1, xi>X2=nr+m - 2.又。+工二止21+.2时1ir2+m- 2x-j x2 x j x2 irr+2整理得nr=4解得 mi=2, m2= - 2经检验m=-2是增根，舍

36、去.m的值为2. 解法二：由原方程可得x- (m - 1) x - m+2) =O xi=m+2, X2=m - 1 文:二二1+ x 2 nrrzirrl-2 m - 1m=2经检验：m=2符合题意.m的值为2.点评:此题考察了一元二次方程根的判别方法，根与系数关系的灵活运用等知识.根据一元二次方程的根与系数 的关系把求m的问题转化为解方程的问题，是解决此题的关键.15. (2006-XX)关于 x 的一元二次方程 x'kx - 1=0,(1)求证：方程有两个不相等的实数根：考点专题分析解答:(2)设方程的两根分别为XI, X2,且满足Xl+X2=XlX2,求k的值.根与系数的关系；

37、根的判别式.计算题；证明题.当4 >0时方程有两个不相等的实数根，此题中=k?-4xlx ( - l)=k2+4>0.利用两根之和公式、两根之积公式与X1+X2=X1*X2联立组成方程组，解方程组即可求出k的值.证明：(1) =k2 - 4xlx ( - 1)=k2+4>0.,原方程有两个不相等的实数根.解：(2)由根与系数的关系，得Xl+X2= - k, X1*X2= - 1.X1+X2=XPX2>-k= - 1, 解得k=l.点评：命题立意：考察一元二次方程根的判别式与根与系数的关系及推理论证能力.16. (2006.XX)关于x的一元二次方程kx?-2 (k+1)

38、 x+k- 1=0有两个不相等的实数根xi, x2. (1)求k的取值X围；(2)是否存在实数k,使乂上=1成立？假设存在，请求出k的值；假设不存在，请说明理由. X1叼考点：根的判别式：一元二次方程的定义；根与系数的关系.专题：开放型.分析：(1)根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求得k的取值X围.11 X1 +x 9(2)利用根与系数的关系，根据- 二1即可求出k的值，看是否满足(1)中k的取值X围,X x2 X1 x 2从而确定k的值是否存在.解答：解：(1)由题意知，kwO且 =b2-4ac>0b2 - 4ac= - 2 (k+1) 2-4k (k- 1) >

39、;0,即 4k2+8k+4 - 4k2+4k>0,12k> -4解得：(2)不存在. 2 (k+1)k-1Xl+X2=，XPX2=，kk1 1 Xi + X 9又有L i 1 =>町 x2 x 1 x2可求得k=-3,而-3-工 3满足条件的k值不存在.点评：总结：1、一元二次方程根的情况与判别式的关系：© >00方程有两个不相等的实数根：© =0=方程有两个相等的实数根：© <00方程没有实数根.2、一元二次方程的根与系数的关系为：Xl+X2=-» X1X2=£ a a3、一元二次方程的二次项系数不为017. (

40、2006eXX)： ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x? - (2k+3) x+k2+3k+2=O的两个实数根, 第三边BC的长为5.试问：k取何值时， ABC是以BC为斜边的直角三角形？考点：根与系数的关系：解一元二次方程-因式分解法：勾股定理.分析： ABC是以BC为斜边的直角三角形，即AB, AC的平方和是25,那么一元二次方程X? - (2k+3) x+k2+3k+2=O的两个实数根的平方和是25,根据韦达定理和勾股定理解出k的值，再把k的值代入原方 程，检查k是哪个值时， ABC是以BC为斜边的直角三角形那么可.解答：解：设边AB=a, AC=b:a、b 是方程 x2

41、 - (2k+3) x+k2+3k+2=O 的两根a+b=2k+3, a>b=k2+3k+2又 ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC=5 a2+b2=52,即(a+b) 2 - 2ab=52,(2k+3) 2-2 (k2+3k+2) =25k2+3k - 10=0ki= - 5 或 k2=2当 k=-5 时，方程为：x2+7x+I2=0解得：X|= - 3, X2= - 4 舍去)当k=2时,方程为:x2 - 7x+12=0解得：Xi=3, X2=4.当k=2时， ABC是以BC为斜边的直角三角形.点评：此题主要考察一元二次方程的根与系数的关系及勾股定理的应用.求出k的值后，一定要代

42、入原方程进展 检验.18. (2005*XX) ct, B是关于x的一元二次方程1) X? - x+l=O的两个实数根,且满足(a+1) (p+1) =m+l, XX数m的值.考点：根与系数的关系：一元二次方程的定义：解分式方程.分析：a，B是关于x的一元二次方程(m-1) x2-x+l=0的两个实数根，有a十B一7, ap；,且(a+1) (p+1) = (a+p) +aB+l代入可得(a+1) (p+1) =m+l.即可得到关于m的方程，从而求解. 解答：解：二一元二次方程(m-1) x2-x+l=0有两个实数根a,did- 170.一= (T ) 2-4 (m-1)0解之得1烬3且mwl

43、,而 a+p=_> ap=-, w - 1 卬- 1又(a+1) (p+1) = (a+p) +ap+l=m+h-=nB m - 1 m - 1解之得mi=-l, m2=2,经检验m2=2都是原方程的根.m2=2不合题意，舍去，m的值为-1.注：如果没有求出m的取值X围，但在求出m值后代入原方程检验，舍去m=2也正确.点评：此题考察一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数关系即韦达定理，两根之和是-上，两根之积是士利用根 aa与系数的关系把求m的问题转化为方程的问题，是解决此题的关键.19. (2005>XX)关于x的方程(m - 1) x? - 2mx+n】=0有两个不相等的实

44、数根xi、X2：(1)求m的取值X3;(2假设(xiX2)2=8,求m的值.考点：根与系数的关系；根的判别式：解分式方程.分析：(1)根据一元二次方程的根的判别式 >0时，方程有两个不相等的实数根，建立关于m的不等式，然后求出m的取值X围：把根与系数的关系式代入(XLX2)2=8即(X1-X2)2=(XI+X2)2-4xiX2=8,代入即可得到一个关于 m的方程，求得m的值.解答：解：(1) a=m - 1» b= - 2m, c=m,而方程有两个不相等的实数根，a =b2 - 4ac=4m2 - 4 (m - 1) m=4m>0, m>0 (m* 1)；r c),

45、 一 _ b 21rlc ID-二又1乂2二一二712 a m _ 11 £ a rn - 1(XI - X2)2=(X1+X2)2 - 4X1X2= ( 21n ) 2 - 41rl =&, m - 1 in T解得：mi=2, 012=1.2经检验2和4都是方程的解.2点评：总结：1、一元二次方程根的情况与判别式的关系：(1) 方程有两个不相等的实数根：(2) =g方程有两个相等的实数根(3) Vg方程没有实数根.2、假设一元二次方程有实根，那么根与系数的关系为：xi+X2= -也，X|X2J. a a20. (2OO5XX)：关于x的方程x? - 1k+l) x+ll?

46、+lH)的两根是一个矩形两邻边的长.4(1) k取何值时，方程有两个实数根；(2)当矩形的对角线长为J号时，求k的值.考点：根与系数的关系；根的判别式：勾股定理：矩形的性质.分析：(1)根据一元二次方程根的判别式，方程有两个实数根，那么判别式AX),得出关于k的不等式，求出k 的取值XU.(2)根据勾股定理和根与系数的关系得出关于k的方程，求出k的值并检验.解答：解：(1)设方程的两根为XI, X2那么式-(k+1) 2-4=2k-3,4V方程有两个实数根， >0,即 2k - 320,.当k>-§,方程有两个实数根. 2xj + xk+l(2)由题意得：12，X1

47、9;2寸 +1X'.' Xl2+X22=5,即(X1+X2)2 - 2X1X2=5,(k+1) 2-2 (lk2+l) =5,整理得 k2+4k - 12=0,解得k=2或k=-6 (舍去)，k的值为2.点评：解决此题的关键是利用一元二次方程根与系数的关系和勾股定理，把问题转化为解方程求得k的值.21. (2005*XX)设关于x的一元二次方程x? - 4x - 2 (k - 1) =0有两个实数根Xi、x2,问是否存在X1+X2XX2 的情况？ 考点：根与系数的关系；根的判别式.分析：此题运用一元二次方程根与系数的关系即可把X|+X2<X1X2转化为关于k的不等式，检验

48、所得值，是否能 使方程的判别式4>0.解答：解：不存在.一元二次方程X? - 4x - 2 (k- 1) =0有两个实数根xhX2.X1+X2=4, Xi*X2= - 2 (k - 1).假设存在X1+X2<X1*X2，即有 4V -2 (k- 1) , k< - 1.又；所给方程有实根，由根的判别式 = ( - 4) -4 - 2 (k- 1) >0.得kN - 1.k值不存在.即不存在X|+X2<X1*X2的情况.点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.22. 12004荆州)关于x的方程x?+ (2k+l) x+k2-1=0有两

49、个实数根.(1) XX数k的取值X囤：(2)是否存在实数k,使方程的两个实数根的平方和与两个实数根的积相等？假设存在，求出k的值：假设不存在, 说明理由.考点：根与系数的关系；根的判别式.专题：计算题.分析：(1)根据判别式 20即可求解：(2)根据根与系数的关系，得到关于K的方程即可求解.解答：解： 方程的判别式 =4k+5,依题意，A=4k+5>0, /.k>-5/4；(2)设方程的两个实数根分别为Xi、X2，X12+X22=X1*X2,得k=-2时k=-2时， <0,故不存在实数匕使方程的两个实数根的平方和与两个实数根的积相等.点评：此题考察了根与系数的关系及根的判别式

50、，属于根底题，关键是掌握根与系数的关系.23. (2OO3-XX)关于 x 的方程 x?+2 (2-m) x+3 - 6m=0.(1)求证：无论m取什么实数，方程总有实数根；(2)如果方程的两个实数根XI、X2满足X|=3X2, XX数m的值.考点：根的判别式：解一元二次方程-因式分解法：根与系数的关系.专题：计算题：证明题.分析：(1)证明一元二次方程根的判别式恒大于0,即可解答； 根据一元二次方程根与系数的关系X1+X2=4X2=-2 (2-m) =2m - 4,以及xiX2=3x?2=3 - 6m即可求 得m的值.解答：解： 证明：.,关于 x 的方程 ”+2 (2-m) x+3-6m=

51、0 中， =4 (2 - m) 2 - 4 (3 - 6m) =4 (m+1) 2>0, 无论m取什么实数，方程总有实数根. 如果方程的两个实数根XI，X2满足X1=3X2,那么X1+X2=4X2= - 2 (2-加=2m - 4.X2苫-1乙xi>X2=3x22=3 - 6m,X22=l - 2m，把代入得m (m+4) =0,即 m=0,或 m= - 4.答：实数m的值是0或-4点评：解答此题的关键是熟知一元二次方程根的情况与判别式的关系，及根与系数的关系：(1) 方程有两个不相等的实数根：(2) =g方程有两个相等的实数根；(3) Vg方程没有实数根.(4)假设一元二次方程有

52、实数根，那么X+X2=-' X1X2=. a a24. (2002XX)对关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a#0).(1)当a、c异号时，试证明该方程必有两个不相等的实数根：(2)当a、c同号时，该方程要有实数根，还须满足什么条件？请你找出一个a、c同号且有实数根的一元二次方程, 然后解这个方程.考点：根的判别式：解一元二次方程-因式分解法.专题：证明题：开放型.分析：利用一元二次方程根的情况与判别式4的关系解答.解答：解：:a、c异号，ac<0»-4ac>0,又；曲0,a =b2 - 4ac>0»方程有两个不相等的实数根.(2)

53、当a、c同号时，方程ax2+bx+c=0 (a。)有实数根还需满足b? - 4acX),如 a=l, b=-3, c=2 时， =b2 - 4ac= (-3) 2 - 4xlx2=l>0,方程为 x? - 3x+2=0,解得：Xj = l X2=3.点评：解答此题要根据一元二次方程根的情况与判别式的关系：(1) 方程有两个不相等的实数根：(2) =g方程有两个相等的实数根；(3) Vg方程没有实数根25. (200HXX)关于乂的一元二次方程/-21+11£2一2二。，2(1)求证：不管k取何值，方程总有两个不相等的实数根：(2)设XI、X2是方程的两个根，且xF - 2kxi

54、+2xiX2=5,求k的值.考点：根与系数的关系；根的判别式.专题：计算题：证明题；压轴题.分析：(1)要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使>()恒成立；(2)欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可.解答：解： 关于x的一元二次方程29十工炉一2二0，2:= ( - 2k) - - 4x k2 - 2) =2k2+8> 2/ 2k2+8>0恒成立，.不管k取何值，方程总有两个不相等的实数根.(2) XI、X2是方程的两个根，xi+x)=2k, xi>x->=-ik2 - 2, -2xr - 2kxi+2xiX9=xr - (

55、X1+X2)xi+2xiX2=xix->=-=4<- - 2=5, -2解得 k=±V14.点评：此题主要考察了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.26. (2001 *XX)关于 x 的方程 x2-2 (m+1) x+m2 - 3=0.(1)当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)设XI、X2是方程的两根，且(X1+X2)2-(X1+X2)- 12=0,求m的值.考点：根与系数的关系：解一元二次方程-因式分解法；根的判别式.专题：压轴题.分析：(1)假设一元二次方程有两不等实数根，那么根的判别式 =b2 -4ac>

56、0,建立关于m的不等式，求出m 的取值XU.(2)给出方程的两根，根据所给方程形式，可利用一元二次方程根与系数的关系得到xi+X2=2 (m+1),代入且(X1+X2)2-(X1+X2)- 12=0,即可解答.解答：解：(1)方程有两个不相等的实数根，. =b2 - 4ac= - 2 (m+1) f - 4x1 x (nr - 3) =16+8m>0,解得：m>-2：(2)根据根与系数的关系可得：xi+X2=2 (m+1),:(X1+X2)2 - (X1+X2) -12=0,2 (m+1) 2-2 (m+1) - 12=0，解得：mi=l或m2=-王(舍去) 2'/ m> - 2；m=l.点评：根据方程的根的情况即可得到关于未知系