北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题

1、实数知识点一、【平方根】如果一个数X的平方等于a,那么，这个数x就叫做a的平方根； 也即，当/=4(4之0)时，我们称X是a的平方根，记做：x = ±ya(a>0)o因此：1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；2、当a>0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常 亍己做：X = ±yfa O3、当aVO时，也即a为负数时，它不存在平方根。例1.(1) 的平方是64,所以64的平方根是；(2) 的平方根是它本身。(3)若五的平方根是±2,则x=; J而的平方根是(4)当X 时，yl3-2x有意义。(5) 一个正数的平方根

2、分别是m和m-4,则m的值是多少这个正数是多少知识点二、【算术平方根】：1、如果一个正数x的平方等于a,即/=，那么，这个正数x就叫做a的算术平方 根，记为：，读作，“根号a"，其中，a称为被开方数。特别规定：0 的算术平方根仍然为Oo2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：V>0(>0)o3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数 共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为： 无,而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：±&。例2.(1)下列说法正确的是()A. 1的立方根是±1

3、;B. V? = ±2;(C)、同的平方根是±3;( D)、0没有平方根；(2)下列各式正确的是()A、而' = ±9B、|3.14-胃=/-3.14 C、V27 =-973 D、朽-出=氏(3)户产的算术平方根是。(4)若 y/x + 4-X 有意义，则 J、+ 1 =o(5)已知AABC的三边分别是且“涉满足向与+ S-4)2=o,求c的取值范围。(7)如果x、y分别是4一，§的整数部分和小数部分。求x y的值.(8)求下列各数的平方根和算术平方根.64；;( 25此11.1211.44,0, 8,441,196,10-449(9)(府/等于

4、多少(心；)2等于多少(10)(同尸等于多少(11)对于正数耳(&T等于多少我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算，乘与除互为逆运 算，乘方与开方互为逆运算.知识点三、【开平方性质】(1) <4xM, vz4x9 =;(2) (2)屈xM-, 716x9 =知识点四、【立方根】：1、如果x的立方等于a,那么，就称x是a的立方根，或者三次方根。记做：近，读 作，3次根号a。注意：这里的3表示的是根指数。一般的，平方根可以省写根指 数，但是，当根指数在两次以上的时候，则不能省略。2、平方根与立方根：每个数都有立方根，并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每 个

5、数都有平方根，只有非负数才能有平方根。例3.(1) 64的立方根是(2)若妫=2.89,皈=28.9,则b等于()A. 1000000B. 1000C. 10D. 10000（3）下列说法中：±3都是27的立方根，犷=），,南的立方根是2,炳户=±4。其中正确的有（）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个知识点五、【无理数】：1、无限不循环小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。在 初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周 率乃以及含有乃的一些数，如：2-;r, 3不等；（2）开方开不尽的数，如：&,君,我 等；（

6、3）特殊结构的数：如:010 001 000 01-（两个1之间依次多1个0）等。 应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：次等；无理数也不一定带根 号，如:K2、有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则 是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母 为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。例4.（1）下列各数：、典-出、n、±际、,、（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有;是无理数的 有 o （填序号）（2）有五个数：，-见"，VI其中无理数有（ ）个A 2 B 3 C 4 D 5知识

7、点六、【实数】：1、有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0,最大的负整数是-1,最小的正整数是1.2、实数的性质：实数a的相反数是-a;实数a的倒数是L(a#=0);实数a的绝对值 a|a|二卜”"，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。I - a(a < 0)3、实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数 大于0, 0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝 对值大的反而小。(在数轴上，右边的数总是大于左边的数)。对于一些带根号的无 理数，我们可以通过比较它们的平方或

8、者立方的大小。4、实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一致。例5.(1)下列说法正确的是()；A、任何有理数均可用分数形式表示； B、数轴上的点与有理数一一对应；C、1和2之间的无理数只有VI ； D、不带根号的数都是有理数。(2)a, b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是()Ayci bB、JabC、yCl + /?D、b ClBACAAA .(3)如右图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数是6和7,则点C所对应的实数是()A. 1 + V3B. 2+73c. 2V3-1D. 273+1A. 2a+

9、 bB. 2a + bC . b D. 2a - h(4)实数、b在轴上的位置如图所示，且同则化简而-卜+4的结果为()(5)比较大小(填“>"或"<").3 M,-V3V20 ,7«66， t22(6 )将下列各数：2/,6,7-非,用“ V ”连接起来；O(7)若时=3,后=2,且 ab < 0 ,贝 I : a-b-。(8)计算：旦g丽二工户|(9)已知：(工一7)2 =121,(y+ 1)3 =-0.064 ,求代数式Jx + 10y+必245)，的值。6.斤2卢的化简结果是（）B. -2 或一2的算术平方根是（） A.

10、77;38. （ 一 11尸的平方根是9.下列式子中，正确的是（）A. =-y5 B. -736 =一T的算术平方根是（）A. IC. ± V3D. V3C. ±11 D.没有平方根C. 7（-13）2 =13 D. %/36=±6C. 14的平方根是（） A. ±4C. ± v12D. ±212 .一个数的算术平方根为名 比这个数大2的数是（）+2B, ya 2 C. yfa +2+213 .下列说法正确的是（）A. -2是一4的平方根是（-2）2的算术平方根C. （2）2的平方根是2的平方根是414 . V16 的平方根是（）B.

11、 4C. ±4 D. ±215 .诟的值是（ ）B. -1D. -716 .下列各数中没有平方根的数是（）A. 一（一2尸 tD. 一31）17 ."等于（）B. -aC. ±a D.以上答案都不对18 .如果a（a>0）的平方根是土历，那么（）=±/77-±mC. 4h-±m D. ±19 .若正方形的边长是石,面积为S,那么（）的平方根是a 是S的算术平方根=±ys二、填空题1 .在，T,，0,中，无理数的个数有. 3小数或 小数是有理数，小数是无理数.=8,则X 分数，整数，有理数.（填“是”

12、或“不是”）4.面积为3的正方形的边长有理数；面积为4的正方形的边长有理数.（填“是”或“不是”）5. 21的平方根是；1217 .一个正数的平方根是2石一1与一尹2,8 . V25的算术平方根是;10.、/5的值等于, R的平方根为.根是.三.判断题6.（一上）2的算术平方根是；4则彳,这个正数是;-2的算术平方根是；11. （一4尸的平方根是，算术平方1 . 一是的平方根.（）2 .5z的平方根为-5.()和负数没有平方根.()4 .因为的平方根是土L所以J工=±_L.() 164V1645 .正数的平方根有两个，它们是互为相反数.()四、解答题1.已知：在数一 L 1.42,

13、77, 1,0,42, (-1)2n,中,43(1)写出所有有理数；(2)写出所有无理数；2 .要切一块面积为36 nl2的正方形铁板，它的边长应是多少3 .已知某数有两个平方根分别是3与2a-15,求这个数分母有理化1 .分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。2 .有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说 这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：单项二次根式：利用来确定，如：yfay/a , yja + lja + b ,-b与J a - b等分别互为有理化因式。两项二次根式：利用平方差公式来确定。如4 + -Jb与4 - y/b

14、, yja + a/T与右-a ,a4x与小/7-6分别互为有理化因式。例题：找出下列各式的有理化因式(4)3V7 + 瓜(5)a + b(6)« -yjx2 a2(x > a)(1)712(2)5/5-26+M3 .分母有理化的方法与步骤：(1)先将分子、分母化成最简二次根式；(2)将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；(3)最后结果必须化成最简二次根式或有理式。例题：把下列各式分母有理化八 36、23小2)1 “百+ 1()5节一353+小例题：把下列各式分母有理化:(1)/a +b(3)【练习】1.找出下列各式的有理化因式2.把下列各式分母有理化7逐一&q

15、uot;5"-逐x/5-lV7-V23.计算(1)V2-V3 >73-2- = + =(4)后-36(5)V3-V2 + >/2->/5 + V5+>/3x-yx + y-2M4.比较大小(4)6-小15.把下列各式中根号外面的因式适当改变后移到根号里面: 2v16 ;(2) 一5、斤;0.160.0225(4)I 0,01x64 .V 0.36x324，6 .计算：（1）1 .计算(2)y3 4- (4 - 3y5 ) ;(3)(14 + 6/5) 4- (3 4- y5);(4)专题讲解：类型一.有关概念的识别1、实数的有关概念无理数即无限不循环小数，初中

16、主要学习了四类：含乃的数，如：2乃乃等，开方开 2不尽的数，如在、探等；特定结构的数，例010 001等；某些三角函数，如sin60。, cos45。等。判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如武屈是有理 数，而不是无理数。22例1.下面几个数：17 ,，-师诬，3n ,亍，君，其中，无理数的个数有（）A、 1 B、 2 C、 3 D、 4例2. （2010年浙江省东阳县）2是7A.无理数 B.有理数C.整数D.负数举一反三：21 .在实数中一金,0, 6, 一，声中无理数有（）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2、平方根、算术平方根、立方根的概念若a20,则a的平方

17、根是土右,右的算术平方根口;若a<0,则a没有平方根和算术 平方根；若a为任意实数，则a的立方根是47。【例1】麻的平方根是【例2】我的平方根是【例3】下列各式属于最简二次根式的是()A. & + 1 B.y/xR C.x/12 D.VoT【例4】(2010山东德州)下列计算正确的是(A) 2。=0(B) 3-1 = -3(C)邪=3(D)【例5】(2010年四川省眉山市)计算行了的结果是A. 3B. -3C. ±3D. 9举一反三：1 .下列说法中正确的是()A、质的平方根是±3B、1的立方根是±1 C、Vl=±1 D、-指是5的平方根的

18、相反数2 .的算术平方根是;平方根是. -27立方根是.类型二.计算类型题1.估算、比较大小正数大于0,负数小于0,正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小，常用有理 数来估计无理数的大致范围，要想正确估算需记熟020之间整数的平方和010之间 整数的立方.例1.设廊=%则下列结论正确的是（）A. 4,5 <a <5,0B. 5.0 <a <5.5C. 5,5 <a <6.0D. 60 <a解析：例2. （2010年浙江省金华）在-3, 一一 1, 0这四个实数中，最大的是（）A. -3B.一# C. - 1D. 02.二次根式的运算二次根式的加、减

19、、乘、除运算方法类似于整式的运算，如：二次根式加、减是 指将各根式化成最简二次根式后，再利用乘法的分配律合并被开方数相同的二次根式； 整式的运算性质在这里同样适用，如：单项式乘以多项式、多项式乘以多项式、乘法公 式等.实数的混合运算经常把零指数、负整数指数、绝对值、根式、三角函数等知识结 合起来.解决这类问题应明确各种运算的含义（4°=1（4工0）工厂=，（工0,是整数），运算时 注意各项的符号，灵活运用运算法则，细心计算。例1、计算好+a2c所得结果是.例2、阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题目：“先化简下式，再求值：a+后才 其中a=9时”，得出了不同的答案，小明的解答

20、：原式二a+标了二a+(1-a)=1,小 芳的解答：原式= a+(a-1)=2a-1=2X9-1=17是错误的；(2)错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：例 3、计算：(1 ) (3 x/2-2>/3)2-(3>/2+2>/3)(2)(衣垂严(应+0严例4、二次根式工高中，字母a的取值范围是()A. a<B.a<1C.a21D. a >举一反三：1,求下列各式中的x(1) ? = 25(2)("1)2 = 9(3) x3 = -64类型三.数形结合例1.点力在数轴上表示的数为女后，点8在数轴上表示的数为一石，则力，8两 点的距离为举一反三：1

21、 .如图，数轴上表示1, 加的对应点分别为A, B,点B关于点A的对称点为C, 则点C表示的数是().0BA. V2 1 B. 1血 C. 2 V2 D. V2一2 2O已知实数%办、匕在数轴上的位置如图所示:化简|2,一司+卜_叫_卜+同一,一二一耳3.如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A,则点A表示的数是（）A 2B、1.4C、短D、石类型四实数绝对值的应用例4.化简下列各式:|小|I tt|(3) 172-V3 |(4) | x-| x-31| (x3)(5) | x2+6x+101举一反三：【变式1】化简：出一2阕+

22、崔+川-田-闽类型五.实数非负性的应用若a为实数，则，°|,b3之0）均为非负数。非负数的性质：几个非负数的和等于0,则每个非负数都等于0。依-"4-49|例5.已知： 而万 =0,求实数a, b的值。举一反三：1.已知（x-2）2+|y-4| +目二0,求 xyz 的值.2、已知（x-6） ?+ J（22 +1 y+2z | =0,求（x-yT-z"的值。3、已知而石+ 1+5）2+卜+1|二0那么a+bc的值为类型六.实数应用题例6.有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm,宽为8cm的矩形，要作一 个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少c

23、m。基础训练二一、选择题1 .下列各式中正确的是（）A. 716 = ±4B, 3 厢=4D.2 .、陌的平方根是（）A. 4B. ±4C. 2D. ±23 .下列说法中无限小数都是无理数无理数都是无限小数-2是4的平方根带根号的数都是无理数。其中正确的说法有A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个4 .和数轴上的点一一对应的是（）A.整数B.有理数C.无理数D.实数5 .对于我-近来说（A.有平方根B.只有算术平方根C.没有平方根D.不能确定,0,-35；OoT,3,14,-, 0.1010010001-6.在723(两个“1”之间依次多1个“0”)中,无理数的

24、个数有（）A. 3个B. 4个C.5个D. 6个7 .面积为11的正方形边长为x,则x的范围是（）A. 1<3 B, 3</<4 c. 5cx <10 D, 10<1008 .下列各组数中，互为相反数的是（）A. -2与-马2 V-8与-'加B. | 与C.后与5D.9 . -8的立方根与4的平方根之和是（）A. 0B. 4 C. 0 或一4D. 0 或 410 .已知一个自然数的算术平方根是a ,则该自然数的下一个自然数的算术平 方根是（）A. «+1 b. J-+1 C. 口。+ 1 d. 正 +1二、填空题11 . 一灰的相反数是,绝对值等

25、于0的数是12 .屈的算术平方根是13 .的平方根等于它本身，的立方根等于它本身，的算术平方根等于它本身。14 .已知| x |的算术平方根是8,那么x的立方根是 o15 .填入两个和为6的无理数，使等式成立： +=6o16 .大于一我，小于而的整数有 个。17 .若| 2a-5 |与廊内互为相反数，则a=, b=。18 .若 | a | =6,枢=3,且 abO,则 a-b=。19 .数轴上点A,点B分别表示实数4-2,则人、B两点间的距离为20 . 一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4,则a=, x=。三、解答题21 .计算(1) +709(2) -也+廿(3) 372729(4)

26、| -V2 | + | 42-2 |(5)X TH? JxO7 xR 一道(6) 4X 9 + 2X (右-2)(结果保留3个有效数字)22.在数轴上表示下列各数和它们的相反数，并把这些数和它们 的相反数按从小到 大的顺序排列，用“V”号连接：T 5Q2,一隹-汗参考答案：一：1、B 2、D 3、B 4、D 5、C 6、A 7、B 8、C 9、C 10、D313、0; 0, +1 ; 0, 114、2 216、517、2,20、 1, 9二：11、+如±、。, n-312、3, 2±415、答案不唯一如：6-夜点18、7519、221、(1)即3(2)7 7(3)-9(4)

27、2 (5)-36(6)22、I F I也他HFl-4-2,5-l01234一汗 <一2 <-1,5 <-也 <0 <2 <1.5<2 <tt基础练习三一、选择题1 .大于一2。，且不大于3企的整数的个数是()A. 9 B. 8 C. 7 D. 52 .下列几种说法：(1)无理数都是无限小数；(2)带根号的数是无理数；(3)实数分为 正实数和负实数；(4)无理数包括正无理数、零和负无理数。其中正确的有()A. (1) (2) (3) (4) B. (2) (3) C. (1) (4)D.只有(1)3 .要使出三了二3 一 x,则x的取值范围()W3

28、23 WxW3D.任意数4 .下列四个命题中，正确的是（）A.数轴上任意一点都表示唯一的一个有理数 B.数轴上任意一点都表示唯一的一 个无理数C.两个无理数之和一定是无理数D.数轴上任意两个点之间还有无数个点5 .若a为正数，则有（）A. a> 4aB. a yju C. a VD. a与新的关系不确定6乎不是（）A.分数 B.小数C.无理数 D.实数7 .下列说法正确的是（）A.无限小数都是无理数B.无理小数是无限小数C.无理数的平方是无理数D.无理数的平方不是整数8 .下列等式正确的是（）9 .实数a在数轴上的位置如图2-6-2,则a, -a, -f J的大小关系是（）.aD.B.

29、- 67< < n<10.2- 闽+卜-闽的值是（）A. -1 B. 1 C. 5-275 D. 275-511.下列各语句中错误的个数为（）.最小的实数和最大的实数都不存在；任何实数的绝对值都是非负数；任何实数的平方根都是互为相反数；若两个非负数的和为 零，则这两个数都为零.二、填空题1、2土的算术平方根是 .（一？的算术平方根为 .质的算术平方根为9 , =后的平方根是 ；9-2是的算数平方根；5、（一工）2的算术平方根是4 ,2 .等腰三角形的两条边长分别为26和5,那么这个三角形的周长等于 o3 .负数a与近的差的绝对值是.4、若a、6都是无理数，且K£2,

30、则石、。的值可以是 （填上一个满足条件的 值即可）.5、实数a在数轴上的位置如图所示，则I。11+、府工7= J1i；=1 （J 1 26 . （V2-V3）2007 （V2-V3）2008二.畲.、01 p 27 .实数P在数轴上的位置如图1所示，化简历万+而行 =_8 . 一个负数a的倒数等于它本身，则而I= ;若一个数a的相反数等于它 本身，则43a 5 l2a +1 + 2 yja -8 = o9 .数轴上的点与对应关系，一在数轴上的点在表示一n的点的 侧。10 .比较大小：（1）37253>/26（2）-i-33三、判断（1）无理数都是开方开不尽的数。（）（2）无理数都是无限小

31、数。（ ）（3）无限小数都是无理数。（）（4）无理数包括正无理数、零、负无理数。（）（5）不带根号的数都是有理数。（）（6）带根号的数都是无理数。（）（7）有理数都是有限小数。（）（8）实数包括有限小数和无限小数.（）（9）所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数 （）四、解答题1 .实数a、b、c在数轴上的对应关系如图2-5-1,化简一力,一 a|+|力一 °卜同。b 0c02-6-12 .求 J4 + 4 a/9 - 2a + Jl -3 + -J-a2 的值综合练习一、易考题：1 . -1的相反数的倒数是2 .已知la+31+止？ =0,则实数（a+b

32、）的相反数3 .数一3. 14与一开的大小关系是4 .和数轴上的点成一一对应关系的是5 .和数轴上表示数一3的点A距离等于2. 5的B所表示的数是26 .在实数中，一§ ,0,小，一314,平无理数有（）（A） 1 个 （B） 2 个 （C） 3 个 （D） 4 个7 . 一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（）(A)非负数(B)非正数(C)负数(D)正数8 .若 xV 3,则 I x + 3 I 等于()(A) x+3(B) x 3(C) x + 3(D) x 39 .下列说法正确是()(A)有理数都是实数(B)实数都是有理数(B)带根号的数都是无理数(D)无理数都是开方开

33、不尽的数10 .实数在数轴上的对应点的位置如图，比较下列每组数的 大小：I | I | I_号4廿L I I I .51 1 U f 15(1) c-b 和 d-a(2) be 和 ad二、考点训练：*1.判断题：(1)如果a为实数，那么一a一定是负数；()(2)对于任何实数a与b, |a -b|二|b a卜恒成立；()(3)两个无理数之和一定是无理数；()(4)两个无理数之积不一定是无理数；()(5)任何有理数都有倒数；()(6)最小的负数是一1;()(7) a的相反数的绝对值是它本身；()(8)若|a|二2, |b|二3 且 ab>0,则 a-b二一 1;()2.把下列各数分别填入相

34、应的集合里223| 一3|, 21. 3, 1. 234, , 0, 一小,一、-1"8"彳，邓，（巾一巾）°,3：中无理数集合负分数集合整数集合非负数集合*3.已知 1<x<2,则ix-3i+q(ix)?等于(A) 2x(B) 2(C) 2x (D) -24.下列各数中,哪些互为相反数哪些互为倒数哪些互为负倒数-3,啦一1, 3, - 0. 3,3 ,1 +啦，3：互为相反数:;互为倒数:互为负倒数:*5.已知x、y是实数，且（X啦）2和|y +2 |互为相反数，求x , y的值6.若a, b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值是2,则|a+b|2

35、m2+1+4m-3cd-*7.已知(a -3 b ) "+ I a2-4 I=0,则 a + b 二三、解题指导:1 .下列语句正确的是（）(A)无尽小数都是无理数(B)无理数都是无尽小数(C)带抿号的数都是无理数(D)不带报号的数一定不是无理数。2 .和数轴上的点'对应的数是(A)整数(B)有理数(C)无理数(D)实数4.如果a是实数，下列四种说法:(1) a?和| a |都是正教；(2) I a I =-a,那么a一定是负数,(3) a的倒数是;(4) a和一 a的两个分别在原点的两侧，几个是正确的( )(A) 0(B) 1(C) 2(D) 33 43r I1*5.比较下列各组数的大小：(1)I_-(2)-a/3_a/12(3)ab<0时，-4 zv'a|4-a2|