初三数学圆经典例题

1、.圆的定义及相关概念【考点速览】 考点1:圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它 的对称轴。圆心是它的对称中心。考点2:确定圆的条件；圆心和半径圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小;不在同一条直线上的三点确定一个圆;考点3:弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的 弦。弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个

2、弓高） 固定的已经不能再固定的方法求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到 直角三角形。如下图:R2 =(R-hy +d C考点4:三角形的外接圆:精品资料锐角三角形的外心在 ,直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 考点5点和圆的位置关系设圆的半径为r,点到圆心的距离为 d,则点与圆的位置关系有三种。点在圆外 =d>r;点在圆上 =d=r;点在圆内 = dvr;【典型例题】例1 在ZABC中，/ACB=90 °,AC=2, BC=4, CM是AB边上的中线，以点 C为圆心, 以J5为半径作圆，试确定 A,B,M三点分别与。C有怎样的位置关系

3、，并说明你的理由。例2.已知，如图，CD是直径，/EOD =841 AE交。O于B,且AB=OC ,求/A的度数。例3 OO平面内一点 P和。O上一点的距离最小为 3cm ,最大为8cm ,则这圆的半径是 cm。例4在半彳仝为5cm的圆中，弦 AB /CD, AB=6cm , CD=8cm ,则AB和CD的距离是多少？ 例5 如图，。0的直径 AB和弦CD相交于点 巳 已知AE=6cm , EB=2cm, /CEA =30：,求CD的长.例6.已知：O O的半径0A=1 ,弦AB、AC的长分别为V2,<3 ,求NBAC的度数.例7.如图，已知在 AABC中，A =90% AB=3cm ,

4、 AC=4cm ,以点A为圆心，AC长为半径画弧交CB的延长线于点D,求CD的长.例8、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度 AB = 16cm,拱高CD = 4cm ,那么拱形的半径是.思考题 如图所示，已知。O的半径为10cm , P是直径 AB上一点，弦CD过点P,CD=16cm,过点A和B分别向CD引垂线AE和BF,求AE-BF的值.二.垂径定理及其推论【考点速览】 考点1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤.推论1:平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤.平分弦所对的一条孤的直径 ，垂直平分弦，并且平分

5、弦所对的另一条孤.推论2.圆的两条平行弦所夹的孤相等.垂径定理及推论1中的三条可概括为： 经过圆心；垂直于弦；平分弦（不是直径）；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧.以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点【典型例题】 例1 如图AB、CD是OO的弦，M、N分别是AB、CD的中点，且 /AMN =CNM .求证：AB=CD .例2已知，不过圆心的直线 l交。O于C、D两点，AB是。的直径，AEll于E, BF山于F。求证：CE=DF .例3 如图所示，OO的直径AB = 15cm ,有一条定长为 9cm的动弦CD在弧AmB上滑动(点C与点A,点D与B不重合)，且CE JCD交AB于E ,

6、 DF JCD交AB于F。(1)求证：AE = BF(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值？若是定值，请给出证明，并求出这个定值，若不是，请说明理由。例4 如图，在OO内，弦CD与直径AB交成450角，若弦CD交直径AB于点P,且。O半径为1,试问:22PC十PD 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由例5.如图所示，在。O中，弦 AB1AC,弦BD JBA, AC、BD交直径 MN于E、F.求证:ME=NF.例6.（思考题）如图，。1与。02交于点A, B,过A的直线分别交。1,。2于M,N,C为MN的中点，P为0102的中点，求证：PA=PC.三.圆周角与圆心

7、角【考点速览】考点1圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。Eg：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可.Eg：判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由考点2定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.Eg：如下三图，请证明。13 .如图，已知 A、B、C、D是。O上的四个点，AB = BC, BD交AC于点E,连接CD、AD.(1)求证：DB平分/ADC;(2)若 BE = 3, ED = 6,求 AB 的长.14 .如图所示，已知 AB为。O的直径，CD是弦，且 AB_LCD

8、于点E.连接AC、OC、BC.(1)求证：NACO = /BCD.(2)若 EB=8cm, CD=24cm,求。的直径.15 .如图，在 RtAABC中，/ACB=90° ,AC=5, CB = 12, AD是那BC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边 AB交于点E,连接DE。(1)求证：AC=AE;(2)求4ACD外接圆的半径。16 .已知：如图等边 ABC内接于。O,点P是劣弧BC上的一点(端点除外)，延长BP至D ,使BD =AP,连结CD .(1)若AP过圆心O,如图，请你判断 4PDC是什么三角形？并说明理由.(2)若AP不过圆心O,如图， 4PDC又是什么三角形？为什么

9、？AA四.圆心角、弧、弦、弦心距关系定理【考点速览】圆心角,弧，弦，弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.如由条件:AB=A，B 变如，（务必注意前提为：在同圆或等圆中）例1.如图所示，点 。是/EPF的平分线上一点，以 O为圆心的圆和角的两边分别交于A、B 和 C、D,求证：AB=CD .例2、已知：如图，EF为。的直径，过EF上一点P作弦AB、CD ,且/APF= JCPF 。求证：PA=PC 。例3.如图所示，

10、在 AABC中,/A=72, OO截AABC的三条边长所得的三条弦等长,求/BOC.如图，O O的弦CB、ED的延长线交于点 A,且BC=DE .求证：AC=AE .例5.如图所示，已知在。中,求证:ODE是等边三角形.弦 AB=CB , ZABC= 120°, OD 1AB 于 D, OE IBC 于 E.AC于点D、例6.如图所示，已知 ABC是等边三角形，以 BC为直径的。O分别交AB、E。(1)试说明 ODE的形状;(2)如图2,若/A=60o, AB济C,则的结论是否仍然成立，说明你的理由。精品资料例7弦DF AC , EF的延长线交 BC的延长线于点 G.(1)求证：4B

11、EF是等边三角形;(2) BA=4 , CG=2 ,求 BF 的长.例8已知：如图，/ AOB=90求证：AE=BF=CD 。,C、D是弧AB的三等分点，AB分另J交OC、OD于点E、F。 A六.会用切线，能证切线考点速览：考点1直线与圆的位置关系图形公共点个数d与r的关系直线与圆的位置关系0d>r相离Q1d=r相切2d<r相交考点2切线：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。符号语言I 1V L/OA ± l 于 A , OA 为半径a 1，1为。O的切线考点3判断直线是圆的切线的方法：与圆只有一个交点的直线是圆的切线。圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切

12、线。经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线。（请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径） 考点4切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。推论1 :经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。（请务必记住切线重要用法：见切线就要连圆心和切点得到垂直）1、如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O 与AD、AC分别交于点E、F,且ZACB=ZDCE.判断直线CE与。O的位置关系，并证明你的结论;(2)若 AB=3,BC=4,DE=DC ,求。的半径.2.如图，AB是半圆0的直径，过点0作弦AD的垂

13、线交半圆 于点C,使NBED=NC(1)向断直线AC与圆0的位置关系，并证明你的结论；O于点E,交AC3 .如图，已知R tzABC, BC = 90° ,以直角边AB为直径作O ,交斜边AC 于点D,连结BD .(1)取BC的中点E,连结ED,试证明ED与。O相切.(2)在(1)的条件下，若 AB = 3, AC = 5,求DE的长；A4 .如图，已知AB是。O的直径，点C在。O上，过点C的直线与AB的延长线交于点 P, AC=PC , /COB=2ZPCB.(1)求证：PC是。O的切线；1(2)求证：BC= 2 AB;5 .如图，在4ABC中，AB=AC, D是BC中点，AE平分

14、/ BAD交BC于点E,点O是AB上一点，。过A、E两点，交AD于点G,交AB于点F.(1)求证：BC与。相切;(2)当/BAC=120°时，求/EFG的度数6 .如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的。经过点D, E是。(1)若ZAED = 45o.试判断CD与。的关系，并说明理由.(2)若ZAED=60qAD=4 ,求。半径D7 .在 RtMCB 中，/C=90° , AC=3cm, BC=4cm ,以 BC 为直径作。交 AB于点D.直线ED与。O(1)求线段AD的长度;(2)点E是线段AC上的一点，试问当点E在什么位置时,相切？请说明理由.8 .如图，已知

15、4ABC内接于。O, AC是。的直径，D是AB的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F(1)求证：EF。是O的切线；(2)若 AB = 8, EB = 2,求。的半径.如图，已知。是3BC的外接圆，AB为直径，若PA必B, PO过AC的中点M ,求证：PC是。O的切线。20已知：如图，在少与C中，口是W5边上一点，圆。过心、B. C三点, ZDOC=2Z4CD=90% /(1)求证：直线.4C是圆O的切线：率(2)如果N4C£=75。，圆门的半径为2,求RD的长。“20.已知：如看 在ZUNC中，4-4匚力£是用口分找.gH ?分 /ABC交4

16、3;于点M姓过两点的G>0交班7于点4交AB 于点HFE恰为的直径.(1>求证：AE与O相切;11)当 EC=4©”C=g 时.求。的 T 论20.已知：AB是。O的弦，OD1AB于M交。O于点D, CB1AB交AD的延长线于 C. (1)求证：AD = DC;(2)过D作。O的切线交 BC于E,若DE=2, CE=1,求。O的半径.2fi.如图. jIH 为00 的直种+ Afl=4.F. CF-LfX7.日 CF=HF,U)证明HF是。0的切线；(2)设小匚与肝的氏规交于点XL若MO=6.求/皿 的大小.21已地：如留拘千校0C垂直是于点电连接此局点用蚱总4E/EG过

17、点心作 CD/Hi交&1延K优干点凡塞氏CO交樵于点¥.(I)求证工匕。为00的切逑*(2)£ BC九求3*的长 .20.在Rt/XAFD, /F=90°，点B、C分别在AD、FD上，以AB为直径的半圆O过点C,联结AC,将小FC 1AC翻折得AEC且点E恰 F'*'-c好落在直径AB上./(1)判断：直线FC与半圆O的位置关系是 J、.、AO E B D;并证明你的结论.(2)若 OB=BD=2,求CE的长.20.如图所示，AB是。O的直径，OD，弦BC于点F,且交。O于点E,若/AEC=/ODB.(1)判断直线BD和。O的位置关系，并给

18、出证明；(2)当 AB=10, BC=8 时，求 BD 的长.(20题图)20.已知：如图，在 ABC中，AB=AC ,E,联结EB交OD于点F.(1)求证：OD1BE;以AB为直径的。O分别交BC、AC于点D、(2)若DE= 褥，AB=5 ,求AE的长.20 .如图，AB是L。的直径，/BAC=30*, M是OA上一点，过 M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线于点 E,直线CF交EN于点F,且 ECF =/E.(1)证明CF是O的切线(2)设。O的半径为1 .且AC=CE,求MO的长.21 .如图，AB BC CD 分别与圆。切于E F G且AB/CD ,连接OB OC ,延长CO交圆

19、O于点M ,过点 M作MN/OB 交CD于N求证MN是圆O切线当OB=6cm , OC=8cm 时，求圆O的半径及 MN的长七.切线长定理考点速览：考点1切线长概念:经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.切线长和切线的区别切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点 之间的距离，可以度量.考点2切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.要注意：此定理包含两个结论，如图，PA、PB切。于A、B两点，PA=PBPO平分ZAPB .考点3两个结论：圆的外切四边形对边和相等；圆的外切等腰梯

20、形的中位线等于腰长.经典例题：例1 已知PA、PB、DE分别切。于A、B、C三点，若 PO=13 cm, APED的周长为24 cm,求：。的半径；若 ZAPB=40) /EOD的度数.例2 如图，。分别切MBC的三边AB、BC、CA于点D、E、F ,若BC =a,AC =b, AB =c.(1)求AD、BE、CF的长；(2)当ZC =90*,求内切圆半径r.例3.如图，一圆内切四边形 ABCD ,且AB=16 , CD=10 ,则四边形的周长为?3例4如图甲，直线y = x+3与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,点C(m,n)是 4第二象限内任意一点，以点 C为圆心与圆与x轴相切于点E,与直

21、线AB相切于点F.(1)当四边形 OBCE是矩形时，求点 C的坐标；(2)如图乙，若。C与y轴相切于点 D,求。C的半径r；(3)求m与n之间的函数关系式；(4)在。C的移动过程中，能否使 AOEF是等边三角形(只回答“能”或“不能J' ?八.三角形内切圆考点速览考点1概念：和三角形各边都相切的圆叫做 三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做 圆的外切多边形.考点2 三角形外接圆与内切圆比较:名称确定方法图形性质“心(三角形三角形三边(1) OA=OB=OC ;，卜接圆的圆中垂线的交(

22、2)外心不定在二角形的内部.点穹4心(三角形三角形三条A(1)到三边的距离相等；，切圆的圆角平分线的(2) OA、OB、OC 分别平分/BAC、/ABC、/交点二 1口ACB ;(3)内心在二角形内部.考点3求三角形的内切圆的半径a b - c1、直角二角形 ABC内切圆。O的半径为r =.22、一般三角形已知三边，求 ABC内切圆。O的半径r.2S ：r 二a b ca b c(海伦公式 Sa= %；s(sa)(sb)(sc) , 其中 s=)2例 1 .如图，4ABC 中，/A=m ° .(1)如图(1),当。是那BC的内心时，求/ BOC的度数；(2)如图(2),当。是那BC的

23、外心时，求/ BOC的度数；A(3)如图(3),当O是高线BD与CE的交点时，求/ BOC的度数.例 2.如图，RtMBC 中，AC=8 , BC=6 , /C=90 ° ,分别切 AC, BC , AB 于 D, E,F,求RtMBC的内心I与外心O之间的距离.个内切圆中作内接正方形，依此作到第考点速练21.如图，在半径为 R的圆内作一个内接正方形，？然后作这个正方形的内切圆，又在这n个内切圆，它的半径是（）C. ( 1 ) n1R D. ( 2 ) n1R223.如图，已知4ABC的内切圆。分别和边 BC, AC , AB切于D, E, F, ?如果AF=2 ,BD=7 , CE

24、=4 .(1)求ABC的三边长；(2)如果P为弧DF上一点，过P作。O的切线，交AB于M ,交BC于N,求4BMN的周长.十.圆与圆位置的关系考点速览：1圆和圆的位置关系(设两圆半径分别为 R和r,圆心距为d)外离外切相交内切内含图形£9公共点0个1个2个1个0个d、r、R的关系d >R +rd =R +r| R -r| <d < R + rd = R-r|d < R - r|外公切线2条2条2条1条0条内公切线2条1条0条0条0条2.有关性质：(1)连心线：通过两圆圆心的直线。如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。(2)公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆

25、的公共弦。(3)公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。两个圆在公切线两旁两个圆在公切线同旁精品资料3 .相交两圆的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。4 .相切两圆的性质定理：相切两圆的连心线经过切点经典例题: 例1、如图，已知。O1与。02相交于A、B两点，P是。O1上一点，PB的延长线交。O2于点C, PA交。02于点D, CD的延长线交。O1于为N.(1)过点A作AE/CN交。O1于点E.求证：PA=PE.(2)连接 PN ,若 PB=4 , BC=2 ,求 PN 的长.例2如图，在AABC中，/BAC =90 : AB =AC =2j2 ,圆A的半径为1,若点O在

26、BC边上运动(与点B、C不重合)，设BO =x,AAOC的面积为y.(1)求y关于x的函数关系式，并写出 x的取值范围；(2)以点。为圆心，BO长为半彳5作。O,当圆。与。A相切时，求AAOC的面积.课堂练习：1 .已知。Oi与。O2的半径分别为 5cm和3cm ,圆心距020=7cm ,则两圆的位置关系为A,外离 B,外切 C.相交 D.内切2 .已知两圆半径分别为 2和3,圆心距为d ,若两圆没有公共点，则下列结论正确的是A. 0<d<1 B. d >5C. 0cdM1 或 d>5 D. 0&d<1 或 d>53 .大圆半径为6,小圆半径为3,两

27、圆圆心距为10,则这两圆的位置关系为（）A.外离B.外切C.相交D.内含5 .若两圆的半彳5分别是 1cm和5cm ,圆心距为6cm ,则这两圆的位置关系是（）A.内切 B.相交C.外切D.外离6 .外切两圆的圆心距是 7,其中一圆的半径是 4,则另一圆的半径是A. 11B. 7C. 4D. 3卜一.圆的有关计算考点速览:正多边形和圆的有关计算圆锥的侧面积一s卷灯人/为圆锥母线长）b为底面圆半径，同上）【例题经典】有关弧长公式的应用BC、AEC例1 如图，Rt ABC的斜边 AB=35 , AC=21，点O在AB边上，OB=20 , 一个以O为圆心的圆，分别切两直角边边AC于D、E两点，求弧D

28、E的长度.有关阴影部分面积的求法例2如图所示，等腰直角三角形 ABC的斜边AB = 4, O是AB的中点，以O为圆心的半圆分别与两腰相切于 D、E.求圆中阴影部分的面积.求曲面上最短距离例3如图，底面半径为1,母线长为4的圆锥,? 一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到爬行的最短路线长是（）C. 4 近D, 5个由圆柱体材料加工而成的零件，？它是以圆柱体的上底面为底A. 2 n B. 4 72求圆锥的侧面积掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径AB=12cm ,高（结果保留根号）例4如图10,这是面，在其内部BC=8cm ,求这个零件的表面积.三、应用与探究:1 .如图所示，A是

29、半径为1的。外一点，OA=2 , AB是。O的切线，B为切点，弦 BCOA,连结AC,求阴影部分的面积.精品资料2 .已知：如图， 4ABC中，AC=BC,以BC为直径的。交AB于点D,过点D作DEXAC于点E,交BC的延长线于点 F.求证：(1) AD = BD;(2)DF 是。O 的切线.3 .如图，在RtAABC中，ZB=90°小 的平分线与 BC相交于点 D,点E在AB上，DE=DC,以D为圆心，DB长为半彳5作。D. (1) AC与。D相切吗？并说明理由.(2)你能找到 AB、BE、AC之间的数量关系吗？为什么?. (1)4、如图，已知： ABC内接于。，点D在OC的延长线

30、上，sinB=1,2D=302求证：AD是。的切线；（2）若AC =6 ,求AD的长.圆的综合测试一：选择题1 .有下列四个命题：直径是弦；经过三个点一定可以作圆；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个2 .下列判断中正确的是（）A.平分弦的直线垂直于弦B.平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C.弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D.平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦3 .如上图，已知。O的弦AB、CD相交于点E,公的度数为60° , 布的度数为100° ,则AEC等于（）（。:史）A.60

31、76;B.100 °C.80 °D.130 00 74 .圆内接四边形 ABCD中，/A、/B、/C的度数比是2:3:6,则/D的度数是（）A.67.5 °B.135 °C.112.5 °D.110 °5 .过OO内一点M的最长弦长为6cm,最短的弦长为4cm,则OM的长为（）.A、J3cmB、75cmC、2cmD、3cm6 .两个圆是同心圆，大、小圆的半径分别为9和5,如果。P与这两个圆都相切，则。P的半径为（）A.2B.7C.2 或 7D.2 或 4.57 . AABC的三边长分别为 a、b、c,它的内切圆的半径为r,则4ABC的

32、面积为()A. (a+b + c) r B.2 (a+b + c) C. (a + b + c) r D. (a+b + c) r238.已知半径分别为r和2 r的两圆相交，则这两圆的圆心距d的取值范围是（A.0vd <3rB.r vd v 3r C.r <d <3r9 .将一块弧长为n的半圆形铁皮围成一个圆锥（接头忽略不计），则围成的圆锥的高为35A. <3 B. - C.寸 5 D.10 .如图，圆 O中弦AB、CD相交于点F, AB=10 , AF=2 , 若CF:DF=1:4 ,则CF的长等于()。A. J2B. 2 C. 3 D. 2 V211 .有一张矩形纸片 ABCD ,其中AD=4cm ,上面有一个以AD为直径的 半圆，正好与对边 BC相切，如图（甲），将它沿DE折叠，使A点落在BC上，如图（乙），这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是（A.（二-2、,3）cm24八、 2C.（一n-<3）cm3,12B . （ n +<3）cm2_ z 22D . （ n + 弋3）cm12.如图，两同心圆间的圆环（即图中阴影部分）的面积为16兀