四川省乐山十校2018_2019学年高一数学下学期半期联考试题(含解析)

1、四川省乐山十校2018-2019学年高一数学下学期半期联考试题（含解析）、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等比数列an 中，a116a7()A. 4B.C. 2D.Q等比数列anai16冏，且 17 44,a1 a72.在A.-6【答案】a264a116VABC 中,4,故选A.1,则的大小是（）bcB.-4C.-3D.利用余弦定理表示出cosA,将已知等式变形后代入求出 cosA的值，由A为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出角A的度数。【详解】已知等式变形得:222a b 2bc cbc ,即 b2 c2 a2 bc ,由余弦定理得：cos A22

2、2b c a bc2bc 2bcQ角A为三角形内角,故答案选C.【点睛】此题考查了余弦定理，特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是本题解题的关键。1 一2 一3.设D, E分别是 ABC的边AB, BC上的点，AD 1AB, BE BC,若23DE1AB 2AC （1,2为实数），则12的值是A. 1C. 3【答案】B.D.1232【解析】【分析】根据向量的线性运算规则可得DEBE BD 2 BC312-1BA -(AC AB) BA 2322 1-AC -AB ,再由分解的唯一性36得出1与力的值即可求出12的值。-12 -Q AD -AB, BE -BC,2,3,DE BEBD2 - 1-

3、BC -BA2 (AC AB) 31 一BA22 - 1 AC AB,又Q DEAB2 AC (1,2为实数),1L-6_ 22 31 212 =-6 3故答案选Ao【点睛】本题考查向量基本定理及其意义，涉及向量的基本运算， 分解唯一性是此类参数题 建立方程的依据，属于中档题。4.设等差数列an的前n项和为Sn,若a3 a 4,则1等于（）A. 12B. 18C. 22D. 44【答案】C【解析】【分析】由等差数列的性质结合已知求得a6,再由S11 1匕6即可得到答案。【详解】Q an为等差数列，根据等差数列性质可得：a3 a9 2a6 4,a62,根据等差数列前n项和可得：1 11（a1 a

4、1, 11 2a6 11a6 22 22故答案选Co【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式，是基础的计算问题。5. ABC 中，B 30 , AB 273, AC 2 ,那么 ABC 的面积是（）A. 2百B. V3C. 25/3 或 4曲D. ,，用或2.3【答案】D【解析】试题分析：由正弦定理 一不得-o2 sin C C 60o或120SinB SinC sin 30 sinC2C 60时三角形为直角三角形，面积为2J3,当C 120时三角形为等腰三角形，面积为. 3考点：解三角形r6.已知ar1,br r r6,a b a2,则向量a在b方向上的射影为（）C. 1

5、1A.一2【解析】【分析】通过已知关系式，利用向量数量积即可求出向量一在.方向上的投影。6 b【详解】Qa1,b6,aba 2,a b （a）2 a b 1 2，解得：a b 3，向量一在h方向上的投影为6 b故答案选A。【点睛】本题考查向量的数量积的应用,考查基础知识的掌握程度，属于简单题型。7.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了 381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏【答案】B【解析】【分析】由题意和等比数列的定义可得

6、：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列前n项和公式列出方程，即可求出塔的顶层的灯数。【详解】设这个塔顶层有 a1盏灯，Q宝塔一共有七层，相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a1为首项的等比数列，a（1 q7）a（1 27）口3Sz 381 ,解得：a1 3,1 q 1 2故答案选B【点睛】本题主要考查等比数列的定义，以及等比数列前n项和公式的实际应用， 属于基础【解析】题。8.在4ABC中，A= 60 , b= 1, S ABCABC73,求a b csin A sin B sin C二（B. ,39C. 2【答案】D【解析】【分析

7、】D.2.393角形面积公式可得再利用余弦定理可得a 万，由正弦定理可得a b c2Rsin A sin B sin Caosin A【详解】Q在ABC中,A 60,一1.S ABC bcsin A2解得：c4,由余弦定理可得b22bc解得:Q由正弦定理sin Aa b csin A sin B sin Cbsin BcsinC2R可得a2RsinA, b2RsinB,c 2RsinC,2R(sinA sin B sin C)sin A sin B sin C2Rasin A. 13二22.39I-，故答案选D.【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,属于基础题。9.已知O是平囿上一定点

8、，A, B, C 是平囿上不共线的一个点，动点P 满足uuu uuuruuu uuuOP OAAB AC_-auu- et ,0,.则P点的轨迹f 通过 VABC的()lABl lAClA.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】B【分析】AB ACABAC先根据AB、II分别表示ACAB与AC方向上的单位向量，确定ABAC的方向与BAC的角平分线一致，进而由向量的线性运算性质可得解。ABQ 一ACABAB又Q 0PABACAC的方向与ACOAAB (一ABOP OA AP分别表示AB与AC方向上的单位向量,BAC的角平分线一致,ACaJAB AC)ABAC向量ad的方向与 BAC的角平分线重合,

9、APP点的轨迹一定通过 ABC的内心,故答案选Bo【点睛】本题主要考查平面向量的加减法以及三角形的三心等知识，属于中档题型。10.设 VABC 中，tanA tanB 出 V3tanA tanB ,且 sinA cosA角形为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形由tanA tanB 73 J3tanA tanB结合两角和的正切函数公式化简可得tan(A B)的值，由A与B为三角形内角，利用特殊角三角函数值求出A B的度数，进而确定角 C的3 度数，再由sinA cosA ,利用同角三角函数基本关系化简，可得 tanA的值，利用特4tanB 73(tanA tanB

10、1),殊角的三角函数值即可求出角 A的度数，从而确定 ABC的形状。、3(tanAtanB 1)1 tan A tan B【详解】Q tanA tanB J3 J3tanA tanB ,即 tanAtan A tan Btan(A B)1 tan A tan B又Q A与B为三角形内角,A B 120,即 C 60 ,sinA cosAQ sinA cosA 22 -sin A cos Atan A2tan A 1心，解得:4tan A 哀，A 60o，ABC为等边三角形，故答案选D.【点睛】本题考查三角形形状的判定，利用两角和与差的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角三角函数值

11、，熟练掌握公式及基本关系是解决本题关键。11.对于函数 y f x ,部分 x与y的对应值如下表:X123456789y745813526数列Xn满足X12,且对任意n N ,点Xn,41都在函数y f X的图象上，则 X1 X2 X3 X4 L X2020 X2021 的值为()A. 9394B. 9396C. 9428D. 9400【答案】C【分析】可得数列为周期数列，然后求出通过周期数列的和,利用已知函数的关系求出数列的前几项，即可求解本题。【详解】Q数列 Xn满足K 2,且对任意n N ,点（Xn，Xn+i）者B在函数y f x 的图象上，X 2, X24 ,X38,X42 ,X54

12、,X68,X72 ,x&4,数列为周期数列，周期为3, 一个周期内的和为 14,所以：X1 x2 x3 x4 L x2020 x2021 673（X1 x2 x3） （X1 x2） 673 14 6 9428故答案选C【点睛】本题考查函数与数列的关系，周期数列求和问题，判断数列是周期数列是解题关键。12.已知数列an满足：a11 , an 1anbn 1n 1 ,b1an是（）A. 2,C. 3,【答案】B【解析】分析】,且数列bn 是单调递增数列，则实数的取值范围B.,2D. ,3由数列递推式得到,1 an公比为 2的等比数列，求出通项公式后代入bn 1 n - an1可得bn 1 n2n，

13、再由b,数列bn是单调递增数列,即可求出的取值范围。【详解】Qa1an 1anaT2an 1数列bn 1b2(1an 2ananan 1an11-2(1 一),即一an1an1为等比数列，其首项为:-11an2na11 2,公比为2,又Q bibn是单调递增数列bi2,此时bn2n为增函数，满足题意。故答案选Bo【点睛】本题主要考查数列的通项公式的求法及其应用,考查数列的函数特征，关键是由数列递推式得到数列1一 1是首项为2,公比为2的等比数列，是中档题。an二、填空题.13.已知 A (1,2)和 B (3, 2),若向量 a = (x+3, X2-3X-4)与 AB 相等，则 x首先求出向

14、量再由向量相等的定义可得关于X的方程组，解方程即可。【详解】Qm, B(3,2),AB (2,0) ， 又Q向量a (x 3,x2 3x 4)与AB相等，x32x2 3x 4 0【点睛】本题主要考查向量的表示以及向量相等的定义，属于基础题型。14. 已知数列 an 的前 n 项和Sn3n 1 ，则它的通项公式是an 4 n12 3n 1 n 2先根据数列an 的前 n 项和 Sn3n 1 ，求出a14 ，再根据当 n 2 时，anSnSn 1 求出 an ，并验证当 n 1 是否也满足，即可求出数列an 的通项公式。【详解】 Q 数列an 的前 n 项和Sn 3n1a1S1 4， Sn 13n

15、 1 1(n 2,n N ) ,又Q anSnSni(n2,n N),an3n1 (3n 1 1) 2 3n 1(n 2,n N ) ，检验当 n 1 时，11a12 31 12 S14 ，an4(n 1)2 3n 1 n 2【点睛】本题考查数列前n 项和与通项公式之间的关系，易错点是anSnSn 1(n 2, n N ) ，所以必须要检验n 1 是否满足通项，属于基础题，必须掌15.在锐角 ABC中，BC 2, sinB sinC 2sinA ,则中线AD长的取值范围是 :【解析】【分析】本道题运用向量方法，计算 AD的长度，同时结合锐角三角形这一条件，计算bc的范围，即可。【详解】设ABc

16、,AC b, BC a 2 ,对sinB sinC 2sinA运用正弦定理，得到b c 2a 4,解得c4 b,结合该三角形为锐角三角形，得到不等式组c2 44 b23b2 ,解得一故bc b.2b 4b ,结合二次函一 15数性质，得到4bc4 ,运用向量得到uuuvAD1 uuvAB 2UUU/ACuuuv 所以AD1 UUM2 UUUv2、AB AC 2UCBvuuuv2AB AC cos22.22 b c 4b c 2bc 2bc【分析】uuuv2 2b22c2 4-V28 4bc ,结合bc的范围，代入，得到AD 2考查了二次函数的性【点睛】本道题考查了向量的加法运算，考查了锐角三角

17、形判定定理, 质，关键将模长联系向量方法计算，难度偏难。16 .以下各说法中：若等比数列an的前n项和为Sn 3n a , n n ,则实数a =-1 ；rrr若两非零向量3,b,若a b 0,则a,b的夹角为锐角；在锐角 ABC,若B 2A,则A （一,一）, 6 43已知数列an的通项an ，其刖n项和为Sn,则使Sn取小的n值为52n 11其中正确说法的有 （填写所有正确的序号）【答案】【分析】 利用数列，向量的定义和性质以及三角函数的知识结合锐角三角形的基本性质逐个验证即可得出答案。【详解】对于，由于等比数列an的前n项和为Sn 3n a , n N，所以a13aa2 S2 S1 6

18、, a3 S3 S2 18 ,根据等比中项可得36 18(3 a) ,解得：a 1 ；故正确对于若两非零向量 -,b，若a b角或同向共线，故错误；对于，由于 ABC为锐角三角形，则 C解得A (, ) ,故正确0,根据向量数量积的定义可得b的夹角为锐0 B 2A - 23A ,所以有 0 C 3A -20 A 一23 一 133对于，数列an的通项an 可得：a1 - , a2- , a3一 , a42n11375as3, a6 3,从第6项开始，an 0,所以使Sn最小的n值为5,故正确。【点睛】本题主要考查数列前 n项和与通项公式的关系，向量的数量积以及三角函数知识结合锐角三角形性质等知

19、识，属于中档题。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤._r r rr17 .已知平面向量a3,4 ,b9,x,c4,y ,且 a/b,acr r 一(1)求向量b和c的坐标；(2)若向量m 2a b, n a c，求向量m与向量n的夹角.rr3【答案】 b 9,12 ,c 4, 3 (2)4【解析】(1)根据向量平行和垂直的坐标公式即可得到向量b与向量c,m与向量(2)结合(1)的结论，求出向量 m、n，利用向量的数量积公式即可得到向量的夹角。【详解】(1) Q a/b , 3x 36 0,x 12Q12 4y 0,y3a cb 9,12，c 4, 3， m 2ab3, 4，n

20、a cn的夹角为m n.2贝u cos nn t，0，mn一 一 ,，一. . .3即向量m与向量n的夹角为【点睛】本题主要考查向量平行和垂直的性质以及向量数量积公式，属于基础题18 .设递增等差数列an的前n项和为Sn ,已知a3 1,a4是a3和a7的等比中项(1)求数列 an的通项公式;(2)求数列an的前n项和Sn.【答案】(1)4=2刀-5； (2)现二M一如.【解析】本试题主要是考查了等差数列的通项公式和前n项和的运用。(1)设递增等差数列 上)的公差为 0二%0,且4三二】，然后根据.( /-3d广=-,且%-= 1得到公差和首项的值。(2)由(1)知在等差数列中，口1 =-3

21、, d = 2 ,利用求和公式得到结论。(1)设递增等差数列公差为01门二一二色 n-,且牝二】2分(Q4 36) : =a1 + 6d,且口： - 2d =1解得口1=-3 , d = 24分- 口应=0 (内 l)d = 2依-56分(2)由(1)知在等差数列 kJ中，口 1 =-3 , d = 2 S.=内口-= 打4-4内 12 分寸 10uuv19.设 OAunn(2sin x,cos2x), OB cosx,1 ,其中 xC0,-求f xunr uuuOAOB的最大值和最小值;(2)当 OAuuiu q OB，求1 AB |【答案】(1)最大值1,最小值J2 (2) -A63722

22、【解析】【分析】，a 利(1)根据 f x OA OB 2sin xcosx cos2x 72cos(2x用余弦函数的定义域和值域，求得f (x)的最小值和最大值;(2)当 0A OB 时，则 OA OB72cos(2x ) 0,由于0 2可彳2 2x 4 2即可解出x的值，由于abOBOA ( cosx 2sin x,1 2cos 2x),即可得到AB 。【详解】f x OA OB2sin xcosx cos2x、. 2cos(2x )42x.当 2x4,即x0时,f ( x) max当2x 43，即 x 工时，f(x)min8(2) Q OAOBf(x)x 0,一，20,即 OAOB V2

23、cos(2x ) 0,又Q42x 4又Q AB此时AB2-2sin 2x cos 2x向量模的公式以及余弦OB OA ( cosx 2sin x,1 cos2x)222sin x cos x)( cos2x 1)=4sin2 x cos2 x 4sin xcosx (cos2x 1)2 =. - - cos2x7 7cos 2sin - cos2由6 3V22 2444 2【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的公式，向量垂直的性质, 函数的定义域值域的求法，考查学生转化与计算能力，属于中档题. 一. .2320.在 ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b2 ac,且cosB 5

24、,、11求的值；tan A tanCuuu uuir9(2)若BA BC 一，求a c的值7_5-【答案】(1) (2) a c 34【分析】4(1)由同角二角函数值的平万关系以及二角形内角性质可得sin B 一，利用正弦定理化简511.b ac可信sin B sin Asin C,利用同角的商数关系化间 ,再由两角和的tan A tanC正弦公式化简即可得到答案；(2)利用平面向量数量积运算法则化简BA BC = 9 ,即可得到ac的值，进而由b2 ac确7定b2的值，再利用余弦定理表示出cosB,将cosB, b2,励的值代入，利用完全平方公式变形后将ac的值代入，即可求出 a c的值【详

25、解】(1) cosB锐角，所以sin B因b2ac由正弦定理得sin2 B sinAsinC。1tan A1tan Ccos A cosC sin A sin Csin C cos A cosC sin Asin Asin Csin(A C)sin2 Bsin B152.sin BsinB4区9(2)由 BA BC = 可彳导 ac cos B 7-3, 215又cosB 一可得b ac 一57由余弦定理可得b2 a2 c2 2accos B2a c 2ac 1 cosBntt 152 c 15 .3c贝 U = a c 2 1 - a c 3775【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函

26、数间的基本关系，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，平面向量的数量积运算， 以及完全平方公式的运用，熟练掌握公式以及定理是解本题的关键。21.某海域的东西方向上分别有 A, B两个观测点(如图)，它们相距5(3 J3)海里.现有一 艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知 D点位于A点北偏东45 , B点北偏西60 ,这 时，位于B点南偏西60且与B点相距2053海里的C点有一救援船，其航行速度为 30海 里/小时.(1)求B点到D点的距离 BR(2)若命令C处的救援船立即前往 D点营救，求该救援船到达D点需要的时间.【答案】(1) 10J3； (2) 1【解析】【分析】(1)在 DAB中利用正弦

27、定理，求出 BD;(2)在 DCB中，利用余弦定理求出 CD，根据速度求出时间.【详解】(1)由题意知AB=5 (3+-乃)海里,/DBA=90 60 =30,/ DAB=90 - 45 =45 ,，/ADB=180 - (45 +30) =105 ,在4AB中，由正弦定理得-%.飞2酰,DB=sinZADB Eni 05。=5 0遮一而sin45 cosCO fcos45o sin600=-：=10.；(海里)(2)在ADBC中，/ DBCW DBA廿 ABC=30 + (90 60 ) =60 ,10分)BC=20jl (海里)，由余弦定理得CD=BD2+BC - 2BD?BC?coS DBC=300+1200-2X 10/3X20/3X y=900,q 口.CD=30(海里)，则需要的时间t=1 (小时).lJ u答：救援船到达 D点需要1小时.【点睛】解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系.(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题模型.(3)根据题意选择正弦定