教师支招：数列每年高考必走的“桥梁”

1、教师支招：数列 每年高考必走的“桥梁”四方面分析为考生谋划“过桥策略”数列一章，在中学数学中地位非常重要，它是衔接初等数学 和高等数学的桥梁，是高考 （Q 吧）每年必考的重要内容。内 容涉及到数列概念、等差数列和等比数列通项及求和、数学 归纳法和数列极限等；它渗透了分类讨论和类比、归纳等重 要的数学思想。本文结合近几年高考数学题，从四个方面对 数列进行分析,希望能对本届考生数列复习提供参考。关于函数思想 数列可看作特殊的函数，在复习中，处理有些数列问题要渗透函数观点，但注意它们的区别。例 1：数列 an中, an=n2+n 为单调递增数列,求的取值范第 3 页围。解答：可仿照研究函数单调性的思

2、想，利用an+1>an对KN 恒成立，可求出> -3例 2：已知数列 an 为等差数列, a1>0, S9=S17, n=?, Sn最大，最大为多少？ 于 0，则点 （n,Sn） 所对应的函数图象为开口向下的抛物线， 利用二次函数知识，n=13, Sn取得最大值，最大值169/25a1解答：借助二次函数，由已知a1>0, S9=S17,公差显然小基本量问题 在等差（比）数列中，常会在首项 a1,第n项an,项数n,公差（比）d（q），前n项和Sn之间，给出一些已知条件，从而 得出这五个量之间的某些关系，连同数列的通项公式及前 项和公式，可以求出其他的一些量，对于这种解题

3、的方法应 能做到熟练掌握，但在具体解决的过程中，选择合适的公式 和处理技巧也非常重要。例3:已知等比数列an , a3=1 1/2 , S3= 4 1/2，求a1与公比 q。分析:如果用通项及求和公式（对q分q=1和qzl讨论）,显得繁琐；但如果采用方程组a1q2=1 1/2 a1+a1q+a1q2=41/2 ，或 a3/q2+a3/q+a3=4 1/2比较方便，解得 a1=1 1/2 ，q=1 或 a1=6， q=-1/2已知数列an和bn都是等比数列，那么an bn , an3,1/bn 等均成等比数列，但an+bn 不一定成等比数列，只有当这两个数列的公比相等，并且a1+b1工0,对应的

4、和数 列才成等比数列。类比：例4:已知数列an和bn都是等差数列，那么an+bn , kan , pan+qbn等均成等差数列，但an - bn不一定成等差数列，我们可以研究两个等差数列的和数列仍 为等差数列的条件。解答：可从特殊入手，不妨设等差数列 an 和 bn 的公差分 别为d1,d2 , an bn的前三项依次为a1b1,(a1+d1)(b1+d2),(a1+2d1)(b1+2d2) ，由已知，它们成 等差数列，即 2(a1+d1)(b1+d2)=a1b1+(a1+2d1)(b1+2d2)得d1 - d2=0,即等差数列an和bn至少有一个是常数列，当数列an和bn有一个是常数列，即形

5、如 kan ,显然它 是等差数列。从上述过程中，我们知道，如果两个等差数列 均不是常数列，则其积数列一定不构成等差数列。近几年在高考试卷中出现一些研究性问题，如数列的“基本 量”问题， 等和与等积数列， 绝对差数列， 对称数列等问题 同学们在解决此类问题时，要从题目给出的语言情景入手， 紧扣定义，循序渐进地解决问题。例5:若有穷数列a1,a2an（n是正整数），满足a1=an,a2=an- 1 an=a1 即 a1=an-i+1(i 是正整数,且1< i < n），就称该数列为“对称数列”。 对于给定的正整数 m> 1,试写出所有项数不超过 2m的对称数列，使得1,2,222m-1成为数列中的连续项；当1500时，试求其中个数列的前 2019项和 S2019。命题人出题的用意，要求学生在“对称数列”的背景之下， 结合等差和等比数列，解决有关问题，第三问实际上是个分 段数列求其前 n 项和 Sn 的问题，渗透了分类讨论的数学思 想，但此问高考得分率不够理想，反映学生在处理新问题的 能力有待提高。事实上，在数列的复习中，既要重视公式的应用，还要注意 计算的合理性。在处理某些数列问题时，要渗透函数观点， 借助函数思想帮助解决；