成考专升本高数(二)第四章笔记VIP

1、教育在线BBS论坛成人高考专版成考专升本高数（二）第四章笔记第四章 多元函数微积分初步§ 4.1 偏导数与全微分一 . 主要内容： . 多元函数的概念1 .二元函数的定义：z f(x,y) (x,y) D定义域：D(f )2 . 二元函数的几何意义：二元函数是一个空间曲面。(而一元函数是平面上的曲线). 二元函数的极限和连续：1 .极限定义：设z=f(x,y)满足条件：1 在点 (x0 , y0 )的某个领域内有定义。(点(x0 , y0 )可除外)2 lim f(x,y) Ax x0y y0则称z f (x, y)在(x0, y0)极限存在，且等于Ao2 .连续定义：设z=f(x,

2、y)满足条件：1 在点 ( x0 , y0 )的某个领域内有定义。2 lim f(x,y) f(Xo，y0)x X0 y yo则称z f (x, y)在(x0, y0)处连续偏导数：定义:f (x, y),在(x0, y0)点f (xox,yo) f(x0,yo)fx(xo, y°) limnx 0xf,y0) lim°f(x0，y0y) f(x0，y0)y 0yfx(x0,y0), fy(x°, y°)分别为函数 f (x, y)在(x°, y°)处对x, y的偏导数。z f (x,y)在D内任意点(x, y)处的偏导数记为：f (

3、x,y) zfx(x,y)Zxx xf(x,y)zfy(x,y) zyyy.全微分:1.定义:z=f(x,y)若 z f(x x,y y) f(x,y) A x B y o()其中，A、B与x、 y无关，o ()是比 寸7y7较高阶的无穷小量。则：dz df (x, y) A x B y 是z f(x,y)在点(x,y)处的全微分。3.全微分与偏导数的关系定理：若 fx(x, y), fy(x, y)连续，(x, y) D. 则：z f (x, y)在点(x, y)处可微且 dz fx(x,y)dx fy(x, y)dy.复全函数的偏导数：1 .设：z f(u,v),u u(x, y),v v

4、(x,y) z f u(x, y),v(x, y)则:二卫-u x u x10z u z v u y v y2.设yf (u,v),uu(x),v v(x)dydxy du u dxy dv y v dxf u(x),v(x)0,zf(x,y),且 Fz 0（六）.隐含数的偏导数:1 .设F （x, y,z）y0,yFzf(x)，且 Fy 0则2Fxx Fz2 .设F(x,y)则或FxdxFy（七）二阶偏导数:Zfxx(x,y) 2 L) x x x2fyy(X")2 ()y y y2fxy(X，y)(二)x y y x2 zzfyx(x，y) -L)y x x y结论：当fxy(x

5、, y)和fyx(x, y)为x, y的连续函数时, 则：fxy(x, y) f yx(x, y)(八).二元函数的无条件极值1 .二元函数极值定义：设z(x, y)在(x0, y0)某一个邻域内有定义，若z(x,y) z(x0,yO),或z(x, y) z(x0,y0)则称z(x0, y0)是z(x ,y)的一个极大(或极小)值，称(x0,y0)是z(x , y)的一个极大(或极小)值点。极大值和极小值统称为极值,极大值点和极小值点统称为极值点。2 .极值的必要条件：若z f (x,y)在点(Xo,y0)有极值，且在(Xo,y0)两个一阶偏导数存在，则：fx(x0,y0)0 fy(x0,y0

6、)01 使 fx (x0 , y0 ) f y(x0 , y0) 0的点(x0 , y0 )，称为z f(x,y)的驻点。2 定理的结论是极值存在的必要条件，例： zzxzy而非充分条件。22yx12x 0 解出驻点2y 0x0y0z(0,0) 1x 0, y0时，z(0, y)y21 1当 x 0, y 0时，z(x,0) x2 1 1驻点不一定是极值点。3 . 极值的充分条件：设：函数y f (x,y)在(Xo，y0)的某个领域内有二阶偏导数，且(x0,y0)为驻点，2若： p fxy(x0, y0 )fxx (x0 , y0) fyy(x0 , y0)* 八日 fxx(Xo,yo) 0时，f(xo,y。)为极大值。当： p 0且fxx(X0,y。)0时，f(X0,y。)为极小值。当：p 0,f (x0,