成考高等数学重点及解析

1、成考专升本高等数学（二）重点知识及解析（占130分左右）第一章、函数、极限和连续（22分左右）第一节、函数（不单独考，了解即可）一、复合函数:要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的。例如：| y lnsin2x是由y ln u , u v2和v sinx这三个简单函数复合而成 .3X 3X3xV例如：| y arctane是由y arctanu , u e和v 3x这三个简单函数复合而成 .该部分是后面求导的关键！二、基本初等函数：（1）常值函数：y c （2）募函数：y x （3）指数函数：y ax（a0,且a 1）（4）对数函数：y logax（a0,且a 1）（5）三角函数：

2、y sin x, y cosx, y tanx, y cotx, y secx, y cscx（6）反三角函数： y arcsin x, y arccosx, y arctanx, y arccotx1 1其中：（正割函数）secx ,（余割函数）cscx cosxsinx三、初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算，并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。他是高等数学的主要研究对象！第二节、无穷小与无穷大（有时选择题会单独考到，也是后面求极限的基础）一、无穷小1、定义：以0为极限的量称 为无穷小量。注意：（1） 一个变量否是无穷小量与他的自变量的变化趋势紧密相关。（2）只有0能

3、能作为无穷小的唯一常量，千万不能将无穷小与很小的常量混为一谈。例1 ： |极日M lim x2 10,即当x 1时，变量x2 1是无穷小； x 12. 但是当x 0时，x 1就不是无穷小，因为此时他的极限值不为零。所以表述无穷小时必须 指明自变量的变化趋势。例2: |下例变量在给定的变化过程中为无穷小的是（）.一 .1 , A、sin 一 (xX 3 X 3 x X x2 9E、1 COSX(XX .10) F、21(X 0) G、2 (X 1) HX 1也(X 0)X答案：选C、E、 二、无穷大F、H ,因为上述选项的极限值均为零!1、定义：当XXo (或 X时，f(X)无限地增大或无限减小

4、，则称f (x)是当 XXo10) b 、eX (x 0) c 、ln 1x2 (x 0)(或X )的无穷大。注意：(1)无穷大是变量，不能与彳艮大的常量混为一谈。(2)无限增大是正无穷大(),无限减小是负无穷大(三、无穷小和无穷大的关系:(2)求极限时首先考虑用代入法，但是该方法只能针对xo的时候，而x时则，-，,1，-，-，若f (X)为无穷大，则 为无穷小；若 f (X)为无穷小f(x)，、-1，、，(f (X) 0),则为无穷大f(x)2T7-11、,，一一 21、，»，例如：当X 2时，X4为无穷小，则 :为无为大。X2 4,c ，1，当X时，2x 1为无穷大，则 为无穷小

5、。2x 1第三节、极限的运算方法(重中之重！选择、填空和解答题都会考到)一、直接代入法：对于一般的极限式(即非未定式)，只 要将Xo代入到函数表达式中，函数值即是极限值。.即lim C C , C为任意常数注意：(1)常数极限等于他本身，与自变量的变化趋势无关不能用代入法，因为是变量，并非实数!例 1 ： lim 4 4 , lim 3X 13 , ximlg 2 lg2 ,limX 6期000例 2： limX 2=lim 工 x2 5x 3 X 2 2223 10 sin0 =1 0 1_,x 、- I例 3： | lim(e sinx) = limQ e- x 33 3 0 c例 4：

6、hm = lim = 0'x 率义 1 x .3 3 14二、未定式极限的运算法(重点，每年必考一题！)1、未定式定义：我们把0、一，1等极限式称为未定式，因为它们的极限值0是不确定的，可能是无穷小，可能是不为零的常数，也可能是无穷大。注意：确定式是指极限值是确定的一个值，不用通过计算就可以推断出。2、四血中常见的几个未定式和确定式(1) 0 0 0,0 0 0,0?0 0,0 为未定式0(2) 为未定式，为未定式， 一为未定式上述和下述的0都代表无穷小，即极限值为零的量。3、几个重要未定式的计算方法(1)对于0未定式：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将x0代入后函数值即是极限

7、0值。(对于分子、分母有根号的特殊情况，要先消去根号，然后提取公因式)(2)对于一未定式：分子、分母同时除以未知量的最高次募，然后利用无穷大的倒数是无穷小的这一关系进行计算。(3)对于未定式：先通分将方法进行计算。转化成0或一的形式，然后再用上述09或一的计算0例1:计算lim x 1x2 2x 1x2 1°未定式，提取公因式0x1. x10八解：原式 =lim = lim=0x 1 x 1x1 x1 x12例2:计算limx 2x3 8x 20未定式，提取公因式0解：原式=limx 2_2_(x 2)( x2 2x 4)=lim( x2 2x 4) 12x 2例3:计算-未定式，先

8、去根号再提取公因式01 3x2 1lim2x 0x2解：原式=limx 0(11 3x2 1)(、1 3x2 x2( .1 3x2 1)21) . 3x = lim =limx 022x 0x ( 1 3x 1)1 3x2 1 2例4：计算limx3x22x32x 1x2 5一未定式，分子分母同除以 x3解：原式=limx5_ x无穷大倒数是无穷小，因此分子是0分母是2例5:计算limn解：原式=limn2 n 2n2例6:计算!im2未定式，先求极限再开三次方limn3nTn4x2 4未定式，先通分，后计算一 x 2 4斛：原式=lim -2= limx 2 x 4 x 2=lim x 2

9、x注意常用的几个代数转换公式:、利用两个重要的极限 (重点掌握公式1、公式1M0sinx ,=1=lim =一2 x 2x 24般考选择、填空)(把结论记住即可，重点掌握后面的等价无穷小的替换)2、公式limx(1)适用范围(2)解题方法x用新变量t1或 lim 1 x x = ex 0未定式的极限式通常用换元法，先将复杂的变量换元成新变量的进行代换，然后转化为公式t ,再将原极限式中的变量的形式，最后进行计算。注意：由于换元时引入了新变量，要求出新变量的变化趋势1例 1: |计算 lim 1 3x k x 01未定式，先换元然后用公式求解.一 t13斛：令t 3x，佝x 一,即一 一3xt当

10、x 0时，t 0将复杂的变量3x换元成新变量t求出新变量的变化趋势3所以原式=lim 1 t t = lim t 0t 0131 t *=e转换成新变量的极限式后再用公式求例2：计算limx1 x12x1未定式，先换元然后用公式求解I-11斛：令t ，得x ，即x 1 2x2t当x 时，t 02t11二1所以原式则1 t 2t =网1t ”网(1 口=怛先换元求出新变量的变化趋势11211 t1?1=e 2四、利用等价无穷小的代换求极限 (重点、每年必考一题！)1、等价无穷小的定义：设和是同一变化过程中的两个无穷小，即 lim lim 0如果lim 一二1,称 与 是等价无穷小，记作r sin

11、 x例1：由公式可知极限lim -=1 ,所以当x 0时,x 0 xsin x与 x是等价无穷小.例2：当x 0时，函数f (x)与tanx是等价无穷小，则2、用等价无穷小的代换求极限.、一、I''(1) TE理：设 、 均为无穷小，又 limf(x)2 tan x，且lim存在则 lim = lim 或 lim ? lim注意：利用等价无穷小的代换求极限能起到简化运算的作用，但是等价无穷小的代换只能对分子、分母的乘除因子进行代换，不能对分子、分母的加减式子进行代换。1 2(2)常用的等价无穷小代换(7个)：当x 0时，1 cosx-x2, ln(1 x)x,2ex 1x, s

12、inx x, tanx x, arcsinxx, arctanxx,注意：这7个等价无穷小务必熟记，是我们做一些极限题目的必备“工具”。在使用时要注意这7个等价无穷小的代换前提是x0的时候，代换时也要根据题意要灵活运用！例 1 ： |当 x0 时，sin2x 2x, tan( 3x)3x, arcsin( x)x , arctan 4x24x2,/122,“cosx 1 一x , 1 cos2x 2x , ln(1 2例 2： |极日M lim sin 2x = lim 2x = lim 2 = 2x 0 5x x 0 5x x 0 5 5口 tan 3x 3x 八极卜M lim=lim =

13、lim3x 0 x x 0 x x 05x-2x)2x , e 1 5xsin2x用2x等价代换 tan3x用3x等价代换返N算 lim 1 cos2x x 0 x?sin x2解：当x 0时，1 cos2x2x , sinxx 等价代换一 一 2x一.所以原式=lim、=lim2 =2计算x 0 x x 0k丁ln(1 3x) 例4：计算lim=.xi 0 sin2x解：当x 0时，ln(1 3x)3x, sin2x2x 等价代换3x 33所以原式=lim 旦 =lim,3计算xii 0 2x x 0 22.k/x1 1例5：计算lim一1.x 0 tan2x解：当x 0时，tan2x2x等

14、价代换x1 1%x 1 1 x 1 1x所以原式=lim =lim =lim =x 0 2x x 0 2x x 1 1 x 02x ,x 1 11 1, -lim =-先去根号，再计算x 02 x 1 14第四节、函数的连续性(每年考一题，都以选择或填空形式出现)一、函数的连续性(往往考已知函数在某点处连续，求一个未知量常数)1、函数在点x0处的连续定义：设函数f (x)在x0的某范围内有定义，如果函数f (x)满足lim f (x) f (x0), 则称f (x)在点x0处连续 x x02、函数在点x0处连续的充要条件 lim f (x) lim f (x) f (x0) x %x %Jx

15、9 3x例1 : I设函数f (x)= <即函数在x0既满足左连续又满足右连续(左连续对应左极限，右连续对应右极限)在x 0处连续，求k.(分段函数)x 0解：因为函数 f (x)在x 0处连续，即满足lim f (x)f(0)x-9 3('.r'9 3)( x-9 3) x 1因为 lim f (x) = lim = lim=lim =-x 0 x 0 x x 0 x(.；x 9 3) x 0x(、x 9 3) 6例2: |设函数f (x)=1 cosx , x解：因为函数f (x)在x 0处连续，因为 lim f (x) = lim ke2x k , lim x 0x

16、 0x 0所以k 2.sin2x T , xx曳三|设函数f (x) =J23x 2x a ,解：因为函数f (x)在x 0处连续，r ，1且 f (0) = k ,所以 k =.6,2x-ke , x <0在x 0处连续，求k.(分段函数)0lim f (x) lim f (x) f (0) x 0x 0f(x) = lim(1 cosx) 2,且 f(0)=2 x 0<0在x 0处连续，求a.x 0lim f (x) lim f (x) f (0) x 0x 0sin 2x 2x因为 lim f (x) = lim = lim=2x 0x 0 x x 0 x一一 2 一lim

17、f (x) = lim(3 x 2x a) ax 0x 0且f (0)=a , 所以a 2注：以上三题均为分段函数，由于数学编辑器问题，大括号打不出来，请同学们自己填加!第二章、一元函数微分学(45分左右)第一节、导数与微分一、导数的概念(知道导数的符号如何表示即可)1、导数的表示符号(1)函数f (x)在点x0处的导数记作：f (Xo),x x0df (x)dx(2)函数f(x)在区间(a,b)内的导数记作:' dy df (x)f '(x ), y ,1或 dx dx二、求导公式(重点，是解题的关键，必须记住！)''(1) (c) 0(C为常数)(2) (x

18、 ) x1 . 1 . '1一 . '1. . '1(3) (a ) a ln a , (e ) e(4)(log ax) , (ln x) 一x ln a(sin x) cosx(6) (cosx)sin x(7)21(tan x) sec x -cos x(8)(cotx)2csc x1_ 2sin x(arcsin x)'二 ,1 x2(10)(arccosx)1-1=x2(11) (arctan x)(12)(arccot x)11 x23rt ,3 一 2例：1、 x =3xsin =04、(2x)2xln 25lg2 0、lg x = log 101

19、x ln10、导数的四则运算（必考题型，选择、填空、解答题均有可能出现）1、运算公式（设U, V是关于X的函数，求解时把已知题目中的函数代入公式中的 可，代入后用导数公式求解 .）(u v) u(2)''(u ? v) u v uv一 ' 一(3) (Cu) Cu（C为常数）(u)vu v uv2v例1:已知函数3cos x解：y = x4cosx2' = 4x33sin x_30 = 4x33sin x例2:已知函数(e).解：f (x)= xI2 Iln x x lnx =2x ln x1一 =2x ln x x x ,所以 f (e)=2eln e e 2

20、ee 3e例3:已知函数,求 f (1).解:x(x) = /2/2/1 x x 1 x 1d 2 2=-1 xx 2x 12x-7x所以1 12=四、复合函数的求导法则（必考题型，选择、填空、解答题均有可能出现）1、方法2-m ,、- 2 一山，.2例如|求复合函数 y sin x的导数.(1)首先利呼复合函数是由哪几个简单函数复合而成的22如y sin x由y sin u和u x这两个简单函数复合而成(2)用导数公式求出每个简单函数的导数即 dy = cos u , du=2 xdudx(3)每个简单函数导数的乘积即为复合函数的导数；注意中间变量要用原变量x替代回去dy dyQu2所以&q

21、uot; ?=2x COsu =2x cosxdx du dx2、方法二(直接求导法)：如果对导数公式很熟悉，对复合函数的过程十分清楚，可以不必写出中间变量而直接对复合函数从外往里求导.|例如|(sin x2)22、'2= cosx ?(x ) =2x cosx例1:设函数yy .(用方法一求解)解：该函数是由2 .x复合而成,且 dy = 1u -du 2du2,；u dx2x.所以dxdy -du 1?二dudx 2,u例2：设函数y1 sine x,求(用方法二求解)1, sin 解：y = e x1 sin x =es1Icosx1、(sin -) =exsin-1xe x c

22、os 一 x注意：同学们在解题是要结合自己的基础以及对公式的熟练程度选择其中的一种求解方法.五、导数的几何意义(可能会考到选择、填空)''一-1、导致的几何意乂 ： y f(x)在点xo处的导数f(xo)就是曲线在点xo处切线的斜率,一. _ '即 k切=f(xo)2、切线方程的求法：用息斜式.(即已知点和斜率)去求切线方程、I 6、"， / 、 I、.一、"，.r.一 '设函数y f (x),则该函数在点x0,y0处的切线万程为：y y0 f x0 x x02x例1 ： |求函数y e 在点M (0,1)处的切线万程.'Oy'

23、; Oy'Oxz斛：因为y = e =e 2x = 2e先求导即k切=y' x 0 = 2e 2x x 0 = 2再求切线斜率，即把 x0代入导数中所以切线方程为：y 12 x 0 ,即y 2x 1.用点斜式求出切线方程六、高阶导数(每年考一题，一般考求二阶或三阶导数)1、定义：如果函数y f (x)的导数f '(x )在点x处可导，就称 f '(x )的导数为函数22 -一."一 ”，、d y d f(x)y f(x)的二阶导数，记作： y , f (x) , -2或2dx dx我们把二阶和二阶以上的导数称为高阶导数2、求法：(1)二阶导数就是对一阶

24、导数再求一次导(2)三阶导数就是对一阶导数求两次导，对二阶导求一次导(3)同理得四阶、五阶导数的求法n-rliL .4 d3y例1:已知y 5sin x ,求一.dx3解：因为 dy = 5cosx , H -dy = 5sinx,所以 d-y = 5cosx dxdx2dx3匚二1 一2x"例2： |已知y e ,求y x 0 .解：y' = e2x 2x =2e2x,所以 y =2 e2x 2x =4 e2x一 "即 y x0=4七、微分(每年考一题，考选择、填空或者解答题)1、微分的求法：(1)求出函数y f(x)的导数f'(x ).'(2)再

25、乘以dx即可.即dy f (x)dx .(因为我们习惯用 dx表示 x)例 1 ： | 已知 y ln x2,求 dy 和 dy x 1 .，2 '12 '12斛：因为 y = In x = - x =-2 2x = xx x2所以dy = dx,即dy x 1 = 2dx ( dx是微分的一个标志，故切勿将x 1代入dx中)x例2： |设函数y x4 cosx，求dy .'4 '4'34解：因为 y = x cosx x cosx =4x cosx x sin x所以 dy = 4x3 cos x x4 sinx dx第二节、洛必达法则(考的话考解答题

26、，考的可能性为百分之 50左右)1、洛必达法则介绍：在一定条件下通过分子、分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则公式：lim f(x) lim f(x) A(或)g(x) g (x)2、使用洛必达法则应当注意的地方：(1) 只能对0或一才能使用洛必达法则，如果是未定式一定要先通分化成9或一00才能使用洛必达法则.(2) 在使用洛必达法则时，是对未定式的分子、分母分别同时求导，再求极限(3) 在应用一次洛必达法则后，仍然是 0/0或/ ,则可继续使用洛必达法则，如此继续下去直到求出极限为止。在重复使用洛必达法则时，必须一步一检查，一旦发现不是 未定式，就要停止使用.(4) 洛

27、必达法则是求未定式的重要方法之一，使用时最好与等价无穷小代换等求极限的方法一起使用，这样才能较快、简便地求极限 e 1 x 例i ：求lim厂x 0 sinx, 一 e 1 x解：原式=M0丁0未定式，因不能提取公因式，故用洛必达法则 0 为了简化计算，先将sin x用x作等价替换用洛必达法则，分子、分母同时求号x e =lim x 0 2上式还是0未定式，故继续使用洛必达法则0上式不是未定式，故将x=0代入函数中例2：求lim xln x-2x1未定式，故用洛必达法则解：原式=lim x = limx 2x x。二02x分子、分母同时求导第三节、导数的应用(非常重要，每年必考，选择、填空和解

28、答都会考到)、函数的单调性及单调区间的求法1、定理：设函数f (x)在区间(a,b)内可导(1) 如果在(a,b)内，恒有f (x)>0,则f (x)在(a,b)内单调递增(2) 如果在(a,b)内，恒有f (x)<。，则f(x)在(a, b)内单调递减2、单调区间的求法(重点)： .一 - _ . . 一 ,(1) 求出f (x)的导数f (x).(2) 令f (x)=0,求出函数f (x)的胆旦.(3) 可以通过数轴，判断出上述驻点将函数的定义域划分成了几个部分区间(4) 判断f(x)在每个部分区间的符号，如果 f (x) >0,则该区间为单调递增区间，如果, 、 f (

29、x)<0,则该区间为单调递减区间.例1 : |求函数y x3 3x2 1的单调区间. '2'斛：y 3x6x =3x x 2 ,令 y 0,得驻点 x1 0和 x2 2因为函数y的定义域为，故驻点x1, *2将定义域划分成,0 , 0,2和2,三个区间.当x<0时，y >0,所以y在区间 ，0上单调递增.当0Vx<2时，y<0,所以y在区间 0,2上单调递减. '当x>2时，y>0,所以y在区间 2,上单调递增.逗二|求函数y x ln(x 1)的单调区间.一 .1 x .解：y 1 =，令y 0,得驻点.X 0x 1 x 1因

30、为函数y的定义域为1,，故驻点x1 0将定义域划分成1,0和0,两个部分区间.当-1 <x<0时，y<0,所以y在区间 1,0上单调递减.当x>0时，y>0,所以y在区间0,上单调递增.注意：因为对数函数的定义域大于零，所以题目中的对数函数ln(x1)的定义域为 x+1 >0,即x>-1.二、函数的极值及其求法1、极值的定义：极大值点对应的函数值是极大值，极小值点对应的函数值是极小值 2、驻点的定义：我们把满足f (x) 0的点x0称为函数的驻点3、极值的必要条件： 对于可导函数而言，极值点一定是驻点，但是驻点未必是极值点4、极值的第一充分条件(必须掌

31、握)：若X0是可导函数f (x)的驻点，则有以下三种情况：(1) 右 x< X0 时，f(x)>0； X>X0 时，f (x)<0,则 f (Xo)为 f(x)的极大值，X0 为极大值点,一、4、_ '、_ '._.一 .(2) 右 x< x0 时，f (x)<0； X>x0 时，f(x)>0,则 f (x0)为 f (x)的极小值，X0 为极小值点一、4' _ (3) 右X<x0和X>X0时，f (X)不变号，那么f(X0)不是极值，X0不是极值点5、求极值的步骤(重点)(1)求出f (X)的导数f (X)&

32、#39;令f(x) = 0,求出f(x)的驻点，记为xi (i 1,2,3 )(3)再用第一充分条件去判断，若f (x)在Xi的左右两侧互为异号的，则Xi是极值点，(左正 一一 一， .一一.一、一.一.、. '右负是极大值点，左负右正是极小值点，可根据实际题意作图判断)；若f (X)在Xi的左右两侧互为同号的，则 Xi不是极值点。(4)将极值点代入函数表达式中，极大值点对应的是极大值，极小值点对应的是极小值。例1 : |求函数y x3 3X2 1的极值.'. 2'一 一、.一一一斛：y 3x 6x=3x x 2 ,令 y 0,得狂点_ x1 0 和 x2 2因为函数y

33、的定义域为， ，故驻点x1, *2将定义域划分成,0 , 0,2和2,三个部分区间.''当x< 0时，y >0,当0Vx< 2时，y < 0,故X1 0是极大值点.当x>2时，y >0,故X2 2是极小值点.所以函数的极大值为f(0)1 ,极小值为f(2)5.例2: |求函数y xe X的极值._，解：y xe x e =e xe =e (1 x),令 y 0,得驻点- x11因此x11将函数定义域划分成,1和1,两个部分区间当x p 1时，y f 0 ,当x f 1时，y p 0,故x1 1是极大值点所以函数的极大值为f(1) e '

34、;.三、曲线的的凹凸性及拐点1、定理：设f(x)在(a,b)内二阶可导.，、，一 ，一- .(1) 如果在(a,b)内的每一点x ,怛有f (x)>0,则曲线在(a,b)内是凹(下凸)的. .，E ， ， . 一 ， ，一，. 一 " 一 一(2) 如果在(a,b)内的每一点x,怛有f (x)<0,则曲线在(a,b)内是凸(上凸)的.2、拐点的定义：把曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点.3、曲线凹凸区间和拐点的求法(重点，出现在解答题的概率较大) 一 二 "(1) 求出函数f(x)的二阶导数f (x)， 一._" 求出f (x)=0的点，记为xi (i

35、1,2,3 )(3) 检马& f (x)在上述每个点 为两侧的符号，若在 x的两侧，f (x)互为异号，则为，”为)为曲线的拐点；若在 xi的两侧，f (x)互为同号，则 X，f(x)不是曲线 的拐点. _ ,"(4) 使f (x) >0的x的取值范围，为 f(x)的凹区间；使 f (x) <0的x的取值范围，为f(x)凸区间.RT- 3 4 2 , 他工求函数y x 3x1的凹凸区间和拐点i ,- 2斛：y 3x 6x ,贝1J y =6x 6,令 y =0,得 x1 1当x<1时，y <0,所以 ,1是函数的凸区间.当x>1时，y >0

36、,所以1,是函数的凹区间.所以拐点坐标为1, 3n-1In x例2：求函数y 的凹凸区间和拐点 xln x x Inx x 1 ln xf (x) 2= rxx1则 f (x)=-3e2,221nx x 11nx x 21nx 3 人 4=3. 3 f (x) =0,得 x1xx333因此x1 e2将函数定义域0,分成两个区间：0,e2和e2,33一Ku77 一一_.、一当0<x<e2时，f (x)<0,故 0,e2是函数的凸区间.33当x>e2时，f (x)>o,故 e2,是函数的凹区间.3 33所以拐点坐标为2 32e2, e 22注意： 对数函数的定义域大于

37、零，切记！n-7 3.2,例3： |曲线y ax bx 1以1,3为拐点，求a、b.斛：由通国信 y 3ax 2bx , y = 6ax 2b因为该曲线以 1,3为拐点，得方程组 a b 1 3(1)6a 2b 0 (2)由(1)、(2)方程解得a 1和b 3.注意：拐点不仅是函数坐标上的点，也一定是函数二阶导数等于零的点!第三章、一元函数的积分学(48分左右)第一节、不定积分一、原函数(一般考一题选择或填空)1、原函数的定义：设F(x)是区间I上的一个可导函数，对于区间 I上的任意一点都有 F (x) f (x),或 dF(x) f(x)dx则称F(x)是f (x)在区间I上的一个原函数.例

38、1 ： I (sin x) cosx,因此sinx是cosx的一个原函数.而cosx是sin x的导数.由于(sin x c) cosx ,其中C为任总常数，可见只要函数有一个原函数，那么他的原函数 就有无穷多个.r- .1，例2:设f(x)的一个原函数为 一，求f (x).x'11 一. .，11解：因为1是f(x)的一个原函数，即 F(x) =1 ,所以f (x) =F (x)=2. xxx x'口,12倚 f (x)=2 =-x x阿引函数f (x) =e x的一个原函数是( C)xxxa、 eb 、ec 、 ed解：可以用逐项排除法，只有e x = e x,故选 C.二

39、、不定积分1、定义：我们把f (x)带有任意常数项的原函数(或称原函数的全体)称为f(x)在区间I上的不定积分，记作：f(x)dx F(x) C其中：为积分号，f(x)为被积函数，f(x)dx为被积表达式，x为积分变量，F(x)为f(x)的一个原函数，C为任意常数.注意：不定积分是原函数的的全体，因此计算结果常数C勿忘！2、不定积分的性质1 f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx2 kf (x)dx k f (x)dx ( k 为常数)3、基本积分公式(一定要熟记，可以结合求导公式去记忆)1 0dx C2 kdx kx C (k 为常数)1x3 x dx C (1)1一 1

40、. 一4 dx ln x Cx5 cosxdx sinx C6sin xdx cosx C-172dx tanx Ccos xxx, a9 a dx Cln a182 dx cotx Csin x10exdx ex C11arcsin x C、1 x2122 arctanx C1 x例 1: 3dx 3x C2xdx2xC2sin xdx -2cos x Cln 2(前后变量都是tan x ,故计算此类积分将 tanx看成一) 又如:心 c .2-tan x -例 2: tan xd tan x C3个整体变量U ,套用公式3进行计算!例 3：设 f (x)dx cos2x C,求 f (x)

41、.解：因为f(x)的原函数为cos2x C,即F(x) cos2x C所以 f(x) = F(x)= cos2x C = 2sin2x.三、不定积分的计算方法(重中之重，选择、填空，计算都会考到)1、直接积分法：对被积函数进行恒等变形，并用积分性质和积分公式进行积分的方法通常用到的变形有(1)将有带有根号的函数去根号从而转换为募函数的形式.然后利用积分公式进行积分例如:Vx2dx3x3+C(2)被积函数为假分式时，可以通过把分子拆成2项或者分子加、减某一项后，使被积函数化成2个分式之和.然后利用积分公式进行积分例如:2x2 dx1 x(分子+1 1)x 1 11八dx = (1 2)dx =

42、x arctanx C1 x1 x(3)此外还会经常用到对数函数和指数函数的运算法则例如：| 2xexdx 公式：axbx (a?b)x= (2e)xdx(2e)xln(2e)例2:(31 dx= x42x24.1 dx= x dx 2x2dx5 x dx =512 )dxcos x3dx2 dx = 3x cos x2tan x2、第一类换元法(又称凑微分法)(重点掌握，每年都会考到)(1)适用范围：如果被积函数是两个函数相乘、相除或者被积函数中含有复合函数的情况,此时可以考虑用第一类换元法(2)第一类换元解法步骤<1将被积函数中的复合函数的复合部分换元成简单函数u .2对换元后的简单

43、函数U求微分.3由于引入了新变量U ,此时要将对原变量x的积分形式转换成对新变量U的积分形式4用直接积分法求出新变量U的积分.5最后的计算结果中的新变量U用原变量x替代回去.该方法又称为变量代换法2, 2 .例1:求不te积分xcosx dx2解：令u x(第一步，换元)1 .得du 2xdx xdx -du(第二步，求微分)1原式= cosudu2=-cosudu =-sin u C212=sin x C2（第三步，转换）（第四步，求积分）（第五步，反换元）例2:求不定积分解：令 u Jx,得 du 1=dx ,即-dx 2du2 . x 、x原式=2 sinudu= 2cosu C= 2c

44、os . x C注意：如果能熟练掌握变量代换法，且对积分公式铭记于心，此时就可以不必写出中间变量而 直接用凑微分法进行积分。凑微分时要注意凑完微分后前后变量要统一！同学们结合自己的实 际情况在解题时选择变量代换法或凑微分法。例 3: | l-xdx =xIn xdxIn xd(lnx)= C (将凑成d In x ,此时刖后变重均Inx为)一1 1 c c(将dx凑成一 d 3x 2 )3C (将 1 sinx dx凑成 d(x cosx)3x底I 4 3x 2 .1 3x 2 小1 3x 2 八例 4： e dx= 一 e d(3x 2) = -e C331 1 sinx , d(x cos

45、x).例 5：dx= - = ln x cosxx cosx x cosx3、第二类换元法（了解下即可，考的不多）（1）适用范围：如果被积函数中带有根号，直接积分法和第一类换元法又不能适用，此时考虑用第二类换元法。第二类换元法的目的就是去掉被积函数中带有根号的式子。（2）第二类换元法解法步iff< 1令被积函数中带有根式的式子换元成简单函数u.< 2>由于引入了新变量 u ,再将对原变量 x的积分转换成对新变量 u的积分.< 3>用直接积分法或第一类换元法求出对新变量的积分< 4>最后将计算结果中的新变量u用原变量x替代回去例1 :求不定积分dx2x

46、1 1t 1解：令t J2x 1 ,得x ，dx tdt（第一步，换元去根号）2则原式=里匚（第二步，转化）t 1(t 1 1)dtt 111 dt = 1dtt 1一|nt 1c（第三步，求积分）= j2x 1 ln J2x 1 1 C（第四步，反换元）4、分部积分法（重点掌握，很重要）（1）适用范围：当两个可导函数相乘 时，如果第一类换元不能用，则考虑用分部积分法.公式：udv uv vdu（2）选取U的常用方法1、当被积函数是募函数与指数函数或募函数与三角函数相乘时，通常选募函数为u;2、当被积函数是募函数与对数函数或募函数与反三角函数相乘时，通常选对数函数和反三:由数为U .（3）分部

47、积分法解法步骤<1根据上面U的选取方法，找出是 U的那个函数2然后求出V3套用公式进行积分.注意U是写在被积函数的位置上（即 d的左边），V是写在微分符号 的位置上（即d的右边），例1 ： I求不定积分 xexdx（被积函数是募函数与指数函数相乘，故选募函数x为U）解：令 u = x ,则 dv exdx ,即 v = exx x xx x原式= xde = xe e dx=xe e C例2： |求不定积分ln2xdx（对照公式和u的选取方法，可很容易发现U=in2x, v = x）222.2 2ln x解：原式=xln x xdIn x =xln x 2 Inxdx （因为 d In

48、x dx）x= xln2x2 xln xxd ln x（对积分ln xdx,选 ln x 为 u , x为 v）2= xlnx2 xln x1dx22=xlnx2xlnx + 2xC = x（lnx 2ln x2） C例3:求不定积分 xcosxdx（被积函数是募函数与三角函数相乘，故选号函数解：令 u x,则 dv cosxdx,即 v sinx原式= xdsinx = xsinx sinxdx=xsinx cosx C第二节、定积分一、定积分的概念（每年至少考一题选择或填空）1、定积分的定义：由曲边梯形的面积引出定义公式f（x）dx（A为曲边梯形的面积）bA=其中f(x)为被积函数，f (

49、x)dx为被积表达式，x为积分变量，a,b为积分区间，a为积分下限，b为积分上限.2、定积分的几何意义： 它是由x轴、曲线y f(x)、直线x = a和x = b所围成的曲边梯形的面积的代数和.在x轴上方的面积取正，在 x轴下方的面积取负.3、定积分所要注意的三个事项bf(x)dx= a f (t)dt.并且对定积(1)因为定积分是曲边梯形的面积，因此定积分的值一定是一个常数，且值仅与被积函数f(x)和积分区间 a,b有关，与积分变量的字母无关，即分求导，导数值必为零。例如:1 ln x , dx0 x"nt*dt ，0 tddx1arctan xdx0bt2 asin tdt 0b

50、(2)当 a=b 时，f (x)dx =0因为定积分上限b> a,当b< a 时,bf(x)dx =aab f(x)dx例如:1 sin x11 1 cosx32 f(x)dxf(x)dx由定积分的几何意义可得出下列重要结论:例如:f(x)在 a,a上连续，当f(x)为奇函数f (x)在 a, a上连续，当f(x)为偶函数2 x4sin xdx =02xcos xdx 0注意：三角函数中 sinx、tanx、cotx为奇函数,时,时,af (x)dx =0aaf (x)dx = 2asin x22 1 cos xdxcos x为偶函数,a0 f (x)dx所以可判断出上题中的sin xx4 sin x, xcosx , 厂均为奇函数，由于积分区间对称，故积分值必为零。1 cos2x4、定积分的性质(