ch-9-1数项级数的收敛性ppt课件

1、数学分析数学分析 第九章第九章 数项级数数项级数 第第 一一 节节 数项级数的收敛性数项级数的收敛性 一、数项级数的一、数项级数的概念概念 二、收敛级数的基本二、收敛级数的基本性质性质重点：数项级数收敛的定义与性质重点：数项级数收敛的定义与性质数学分析数学分析一、数项级数的概念一、数项级数的概念1. 1. 计算圆的面积计算圆的面积R正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积1a21aa 正正 形的面积形的面积n23 naaa 21naaaA 21即即 n10310003100310331. 2（一问题的提出（一问题的提出数学分析数学分析（二级数的概念（二级数的概念1. 1.

2、级数的定义级数的定义: : nnnuuuuu3211(常数项常数项)无穷级数无穷级数一般项一般项部分和数列部分和数列 niinnuuuus121级数的部分和级数的部分和,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 数学分析数学分析 10310003100310331n）（上册（上册 301!1! 31! 2111Pne 由此看出级数可表示一个确定的数，那么由此看出级数可表示一个确定的数，那么是否所有的级数都对应一个确定的数呢？是否所有的级数都对应一个确定的数呢？数学分析数学分析2. 2. 历史上的例子历史上的例子 xxxxxxxfn 121110,11)(的的展展开开式式

3、：处处可可以以求求出出该该函函数数在在欧欧拉拉：，即即有有为为右右边边则则上上式式的的左左边边为为取取 111121,1111,21, 1x，则则有有取取贝贝努努利利 2222, 2,1:22nnxxxxxx数学分析数学分析 事实上，十七、十八世纪由于自然事实上，十七、十八世纪由于自然科学的飞速发展，当时大量的级数被广科学的飞速发展，当时大量的级数被广泛利用。但在十八世纪之前，数学家都泛利用。但在十八世纪之前，数学家都不加辨别地认定一个级数就是一个确定不加辨别地认定一个级数就是一个确定的数，因此就出现了上面的错误。正因的数，因此就出现了上面的错误。正因如此，促使一大批著名的数学家开始研如此，促

4、使一大批著名的数学家开始研究级数，提出了级数收敛的概念，以及究级数，提出了级数收敛的概念，以及判断级数收敛的方法等。其中高斯、欧判断级数收敛的方法等。其中高斯、欧拉、贝努利、柯西、阿贝尔、达朗贝尔拉、贝努利、柯西、阿贝尔、达朗贝尔及傅立叶等都做出过重大的贡献。及傅立叶等都做出过重大的贡献。 数学分析数学分析3. 3. 级数的收敛与发散级数的收敛与发散: :如如果果 ns 没没有有极极限限, ,则则称称无无穷穷级级数数 1nnu发发散散. . 数学分析数学分析即即 常数项级数收敛常数项级数收敛( (发散发散) )nns lim存在存在( (不存在不存在) )余项余项nnssr 21nnuu 1i

5、inu即即 ssn 误误差差为为nr)0lim( nnr数学分析数学分析讨讨论论等等比比级级数数( (几几何何级级数数) ) nnnaqaqaqaaq20 )0( a 的的收收敛敛性性. . 解解时时如果如果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1,11qaqqan 例例 1 1数学分析数学分析,1时时当当 q0lim nnqqasnn 1lim,1时时当当 q nnqlim nnslim 收敛 发散时时如果如果1 q,1时时当当 q,1时时当当 q nasn 发散 aaaa级级数数变变为为不不存存在在nns lim 发散 综上 发散发散时时当当收敛收敛时时当当,1,10qqaqnn数学

6、分析数学分析判判别别无无穷穷级级数数 )12()12(1531311nn 的的收收敛敛性性. . 解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn例例 2 2数学分析数学分析)1211(21limlim nsnnn),1211(21 n,21 .21, 和为和为级数收敛级数收敛数学分析数学分析证证明明无无穷穷级级数数 ) 15()45(11161611nn 收收敛敛, ,并并求求其其和和。 证证)15)(45(1 nnun),151451(51 nn)151451()11161()611

7、(51 nnSn)1511(51 nSn即即.5151lim为为知所给级数收敛，且和知所给级数收敛，且和由由 Snn例例 3 3数学分析数学分析二、基本性质二、基本性质性质性质 1 1 如果级数如果级数 1nnu收敛收敛, ,则则 1nnku亦收敛亦收敛. .性质性质 2 2 设两收敛级数设两收敛级数 1nnus, , 1nnv, ,则级数则级数 1)(nnnvu收敛收敛, ,其和为其和为 s. .结论结论: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, ,敛散性不变敛散性不变. .结论结论: : 收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. .数学

8、分析数学分析性质性质 3 3 若级数若级数 1nnu收敛收敛, ,则则 1knnu也收敛也收敛)1( k. .且其逆亦真且其逆亦真. .证明证明 nkkkuuu21nkkknuuu 21,kknss knknnnnss limlimlim 则则.kss 类似地可以证明在级数前面加上有限项不影类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性响级数的敛散性.数学分析数学分析性质性质 4 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和于原来的和. .证明证明 )()(54321uuuuu,21s .limlimssnnmm 则则,52s ,93s ,nms 数

9、学分析数学分析注意注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. )11()11(例如例如 1111 收敛 发散推论推论 如果加括弧后所成的级数发散如果加括弧后所成的级数发散,则原来级则原来级数也发散数也发散. 数学分析数学分析级数收敛级数收敛. 0lim nnu证明证明 1nnus,1 nnnssu则则1limlimlim nnnnnnssuss . 0 即即趋趋于于零零它它的的一一般般项项无无限限增增大大时时当当,nun性质性质5 5 级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件: :数学分析数学分析注意注意1.1.如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零,

10、 ,则级数发散则级数发散; ; 1)1(4332211nnn例如例如 发散2.2.必要条件不充分必要条件不充分. .?, 0lim但级数是否收敛但级数是否收敛有有 nnu n131211例如调和级数例如调和级数数学分析数学分析讨论讨论1 1nnnssnn2121112 ,212 nn.,s其其和和为为假假设设调调和和级级数数收收敛敛)lim(2nnnss 于是于是ss , 0 .级数发散级数发散)(210 n便有便有.这是不可能的这是不可能的数学分析数学分析 )21221121()16110191()81716151()4131()211(1mmm8项项4项项2项项2项项 项项m2,21加括号后的每项均大于加括号后的每项均大于21)1(1 mm项大于项大于即前即前.级级数数发发散散由性质由性质4 4推论推论, ,调和级数发散调和级数发散. .讨论讨论2 2数学分析数学分析小结小结1 1. .由由定定义义, ,若若ssn, ,则则级级数数收收敛敛; ;2 2. .当当0lim nnu, ,则则级级数数发发散散; ;3 3. .按按基基本本性性质质. .数项级数的基