线面角,线面垂直教材

1、2 .如图，ABCD- A1B1C1D1是正方体,A1E与GF所成角的余弦值为（C.1.四棱锥P- ABCD的底面是一个正方形，P从平面ABCD PA=AB=2 E是棱PAE、F分别是AB、BBi的中点，则异面直线3 .已知长方体 ABCD- A1B1C1D1中，AB=BC=4 C0=2，则直线BG和平面DBBD1所成角的正弦值为（）V3Bc -D2-n-4 .在正方体ABCD- A1B1GD1中，直线A1C1与平面DBBD1所成的角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5.已知点P是正三角形 ABC所在平面外一点，PA=PB=PC=，A

2、B=1,贝U PC和平B. 60C. 45D. 306.平面a的斜线与平面a所成的角是35°则与平面a内所有不过斜足的直线 所成的角的范围是（）A. (0° 35B. (0° , 90C. 35 90°D. 35° 907. 如图，在正方体ABCD- A1B1C1D1中，E是AB的中点，F在CC 上,且CF=2FC, 点P是侧面AA1D1D （包括边界）上一动点，且 PB1/平面DEF贝U tan / ABP的 取值范围是（ ）BiAEA.B. 0, 1D.2 28.棱长为1的正方体ABC AiBiCiDi中，M , N分别是A1B1, BBi

3、的中点，点P在正方体的表面上运动，则总能使 MP丄BN的点P所形成图形的周长是（9如图，在正四棱锥 S- ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面厶SCD内及其边 界上运动，并且总是保持 PEI AC.则动点P的轨迹与厶SCD组成的相关图形是AB, BC的中点，现在沿DE, DF及A. DP丄平面PEF B.11.设PH丄平面ABC,且PA PB, PC相等，则H是厶ABC的（）A.内心B. 外心C. 垂心D.重心丘卩把厶ADE, CDF和厶BEF折起，使A，B，C三点重合，重合后的点记作 P，DM丄平面PEF C. PM丄平面DEF D. PF丄平面DEFC. AD丄平面PBC且 V»

4、;12 .在三棱椎 P- ABC中，PA!平面 ABC，AC丄BC, D为侧棱PC上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，三棱椎 D- ABC的体积为V，则下列命题正确的是.BD丄平面 PACK V=-D. BD丄平面 PACK V13. 已知在矩形 ABCD中，AB=2i, BC=a P从面ABCD若在BC上存在点Q满足PQ丄DQ,贝U a的最小值是（）则下列结论中错误的是（C.平面PBCL平面PCD射影K所形成轨迹的长度为（）A.V33D.14. 如图，已知四棱锥P- ABCD中，已知PA!底面ABCD且底面ABCD为矩形,B.平面PABL平面PBCD.平面PCDL平面PADE为线段CD上一

5、动点，现将 AED15. 如图，在矩形 ABCD中，AB= :, BC=1,沿AE折起，使平面AED丄平面ABC,当E从D运动到C,则D在平面ABC上的参考答案与试题解析1.四棱锥P- ABCD的底面是一个正方形，P从平面ABCD PA=AB=2 E是棱PA由此能求出异面直线BE与AC所成角的余弦值.建立空间直角坐标系,【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系, 则 B (2, 0，0)，E(0，0，1 )，A (0，0，0)，C (2, 2, 0)， 五=(-2, 0, 1), AC= (2, 2, 0),设异面直线BE与AC所成角为9,则 cos 9=

6、 = ' = I I AC I区故选：B.是基础题，解题时要认真审【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法, 题，注意向量法的合理运用.2如图，ABC AiBiCiDi是正方体，E、F分别是AB、BBi的中点，则异面直线AiE与CiF所成角的余弦值为（）D.【分析】首先找到异面直线的夹角的平面角, 相应的值.然后利用勾股定理及余弦定理求出【解答】解：在正方体ABC AiBiCiDi 中,E、F是AB、BBi的中点，设AB=4取AiBi的中点H, HBi的中点G,连结GF,GG,cos/ GFC=GF、FG所成的角即为AiE与CiF所成的角. 利用勾股定理得：GF（E, gf=M,

7、GC=h?, 在厶CFG中，禾I用余弦定理5+20-172-5-25 巧【点评】本题考查的知识点：异面直线的夹角，勾股定理的应用，余弦定理的应 用，考查学生的计算能力，属于中档题.3.已知长方体 ABCD- AiBiCDi中，AB=BC=4 CC=2，则直线BG和平面DBBDiA.B.C.V10所成角的正弦值为（）【分析】要求线面角，先寻找斜线在平面上的射影，因此，要寻找平面的垂线， 利用已知条件可得.【解答】解：由题意，连接AiC，交BiDi于点0长方体 ABCD- AiBiCiDi 中，AB=BC=4GO 丄 BiDi二GO丄平面DBBDi在 RtABOG 中，£ 二述,BCJ

8、二曙直线BG和平面DBBDi所成角的正弦值为 攀故选C.【点评】本题的考点是直线与平面所成的角， 主要考查线面角，关键是寻找线面 角，通常寻找斜线在平面上的射影.4 .在正方体ABCD- AiBiCDi中，直线AiCi与平面DBBDi所成的角为（）A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°【分析】画出图形，利用直线与平面的垂直关系，推出结果即可.【解答】解：正方体ABCD- AiBiCiDi中，直线 AiCi 丄BiDi， AiCi丄DDi， BiDi A DDi=Di，所以直线 AiCi丄平面DBBDi所以直线AiCi与平面DBBDi所成的

9、角为：90°.故选：D.【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，是基础题.5.已知点P是正三角形ABC所在平面外一点,，AB=i,贝U PC和平面ABC所成的角是（）A. 90° B. 60° C. 45° D. 30【分析】作PO丄平面ABC于O,则/ PCO为PC和平面ABC所成的角，由此能 求出PC和平面ABC所成的角的大小.【解答】解：作PO丄平面ABC于 O,v P是正三角形ABC所在平面外一点，PA=PB=PC= , AB=1, J由已知O为外心，且 AB丄OC, / PCO为PC和平面ABC所成的角, E PCO,/ PCO=30. PC和

10、平面ABC所成的角是30°.【点评】本题考查线面角的求法，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系, 考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中 档题.6.平面a的斜线与平面a所成的角是35°,则与平面a内所有不过斜足的直线 所成的角的范围是（）A. （0°, 35° B. （0°, 90C. 35°, 90°） D. 35°, 90°【分析】做出斜线与射影所确定的平面，则当a内的直线与射影平行时.夹角最小为35°当直线与射影垂直时，夹角最大为 90°【解答

11、】解设平面a的斜线的斜足为B,过斜线上A点做平面a的垂线，垂足为C,则/ ABC=35,当a内的直线与BC平行时，直线与斜线所成的角为 35°当a内的直线与BC垂直时，则此直线与平面 ABC垂直，直线与斜线所成的角为90°故选：D.【点评】本题考查了线面角的定义，异面直线所成的角的计算，属于中档题.7.如图，在正方体ABCD- AiBiCiDi中，E是AB的中点，F在CC 上,且CF=2FC, 点P是侧面AAiDiD （包括边界）上一动点，且 PBi/平面DEF贝U tan / ABP的 取值范围是（ ）【分析】如图所示，作出平面 MNQBi/平面DEF AQi=2AQ,

12、DNi=2ND, P的轨 迹是线段QN, P在Q处，tan / ABP丄，P在N处，tan/ABP=二，即可333得出结论.【解答】解：如图所示，作出平面 MNQBi/平面DEF则AQi=2AQ, DNi=2ND, PBi /平面DEF - P的轨迹是线段QN.P在 Q处，tan/ABP吉,P在 N处，tanZABP呼呼,故选D.【点评】本题考查线面、面面平行，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题.8. 棱长为1的正方体ABCD- AiBiCiDi中，M , N分别是A1B1, BB的中点，点PD. 在正方体的表面上运动，则总能使 MP丄BN的点P所形成图形的周长是（DGMA,

13、设BN交AM 与点E,贝U使BN与MP垂直的点P所构成的轨迹为矩形ADGM,由此可得使BN与MP垂直的点P所构成 的轨迹的周长.【解答】解：如图，取CG的中点G,连接DGMA,设BN交AM与点E,则MG / BC, BC丄平面 ABA1B1, NB?平面 ABABi, NB 丄 MG,正方体的棱长为1, M , N分别是AiBi, BB的中点, BEM中，Z MBE=30 ,Z BME=60Z MEB=90，即 BN丄 AM , MG A AM=M , NB丄平面 ADGM,使NB与MP垂直的点P所构成的轨迹为矩形 ADGM,正方体的棱长为1故由勾股定理可得，使BiC与MP垂直的点P所构成的轨

14、迹的周长等于2+J. 故选：D.【点评】本题主要考查了立体几何中的轨迹问题， 考查学生的分析解决问题的能 力，解题的关键是确定使 BN与MP垂直的点P所构成的轨迹，属于中档题.9. 如图，在正四棱锥 S- ABCD中, E是BC的中点，P点在侧面厶SCD内及其边 界上运动，并且总是保持 PEI AC.则动点P的轨迹与厶SCD组成的相关图形是( )【分析】因为总保持PE丄AC,那么AC垂直PE所在的一个平面，AC丄平面SBD， 不难推出结果.【解答】解：取CD中点F，AC丄EF,又t SB在面ABCD内的射影为BD且AC丄BD, AC丄SB,取 SC中点 Q,： EQ/ SB AC丄 EQ,又

15、AC丄 EF, AC丄面EQF因此点P在FQ上移动时总有 AC丄EP.故选A.【点评】本题考查学生应用线面垂直的知识， 考查空间想象能力，逻辑思维能力, 是中档题.10如图，在正方形 ABCD中，E, F分别是AB, BC的中点，现在沿 DE, DF及 丘卩把厶ADE, CDF和厶BEF折起，使A，B，C三点重合，重合后的点记作 P，A. DP丄平面PEF B. DM丄平面PEF C. PM丄平面DEF D. PF丄平面DEF【分析】根据条件，利用线面垂直和面面垂直的判定定理进行判断.【解答】解：因为E，F分别是AB、BC的中点，所以BD丄EF,因为DA丄AE, DC丄CF,所以折叠后 DPI

16、 PE, DP丄PF,因为 PEG PF=P所以DP丄面PEF,故选：A.【点评】本题主要考查了线面垂直和面面垂直的判定，要求熟练掌握相应的判定 定理.11.设PH丄平面ABC,且PA PB, PC相等,贝U H是厶ABC的（）A.内心B.外心 C.垂心 D.重心【分析】点P在平面ABC上的投影为H,利用已知条件，结合勾股定理，证明出HA=HB=HC进而根据三角形五心的定义，得到结论.【解答】解：由题意知，点P作平面ABC的射影H,且PA=PB=PC因为PH丄底面ABC,所以 PAH PBHA PCH即：HA=HB=HC所以H为三角形的外心.【点评】本题考查棱锥的结构特征，三角形五心的定义，考

17、查逻辑思维能力，是 基础题.12 .在三棱椎 P- ABC中，PA!平面 ABC，AC丄BC, D为侧棱PC上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是（PAC且三棱椎B. BD丄平面C. AD丄平面PBC且三棱椎D. BD丄平面PAC且三棱椎|_D-ABC的体积为善16316D-ABC的体积为D-ABC的体积为【分析】通过证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可证明直线与平面垂直, 求出几何体的体积即可.【解答】 解：PAL平面ABC a PAI BC,又AC丄BC, PAG AC=A BC丄平面PAC BC丄 AD,又由三视图可得在 PAC中, PA=AC=4 D为PC的中点，

18、AD 丄 PC,： AD 丄平面 PBC又 BC=4 / ADC=90 , BC丄平面 PAC故沁咸岭*护迹X辺"故选：C.【点评】本题考查直线与平面垂直的判断， 几何体的体积的求法，考查命题的真 假的判断与应用.13.已知在矩形 ABCD中，AB=V2, BC=a PAL面ABCD,若在BC上存在点Q 满足PQ丄DQ,贝U a的最小值是（）B A. 1 B. C. 2 : D. 4. :【分析】PAL平面ABCD PQLQD可得QDLAQ,可得 ABQsQCD,可求a 的范围，即可求出a的最小值.【解答】解：假设在BC边上存在点Q,使得PQLQD,因为PA丄平面ABCD,所以PAI

19、QD,又由于PQLQD,所以QD丄平面APQ，贝U QDLAQ,即/ AQD=90 ,易得 ABQAQCD,设 BQ=x 所以有 x （a-x） =8即：x2 - ax+8=0所以当 =a2- 32>0时，上方程有解，因此，当a>4:时，存在符合条件的点 Q,所以a的最小值是4.:.故选：D.【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的性质， 考查空间想象能力、运算能力 和推理论证能力，属于中档题.14 .如图，已知四棱锥P- ABCD中，已知P从底面ABCD且底面ABCD为矩形, 则下列结论中错误的是（）A.平面PAB丄平面PAD B平面PABL平面PBCC.平面PBCL平面PCD D平面PCDL平面PAD【分析】利用面面垂直的判定定理，对四个选项分别分析选择.【解答】解：对于A,因为已知PA!底面ABCD且底面ABCD为矩形，所以PA丄AB,又AB丄AD, AB丄平面PAD 所以平面PABL平面PAD故A正确； 对于B,已知PA丄底面ABCD且底面AB