高阶线性、常系数齐次微分方程

1、第七节第七节 高阶线性微分方程高阶线性微分方程)()()()()(xfyxpyxpynnn11)(1.阶阶线线性性微微分分方方程程叫叫做做 n 非非齐齐次次恒恒不不为为齐齐次次0)(;0)(xfxf :方程方程本章主要讨论二阶线性本章主要讨论二阶线性)()()(xfyxQyxPy )(2,)2( ,)(程程叫做非齐次二阶线性方叫做非齐次二阶线性方恒不为零时恒不为零时当当xf)2(而而与与:程为程为对应的齐次二阶线性方对应的齐次二阶线性方0 yxQyxPy)()()(3使使个不全为零的常数个不全为零的常数如果存在如果存在定义定义,21nkkkn02211)()()(xykxykxyknn)(4,

2、I 上上恒恒成成立立在在区区间间,I 上上线线性性相相关关在在区区间间.否则称为线性无关否则称为线性无关)I)4( ,0(21上恒成立上恒成立式在式在时时仅当仅当 nkkk.,232221线性相关线性相关例如例如xyxxyxxy )(03321yyy:1下下列列三三个个命命题题等等价价定定理理线性相关线性相关21,).yya21ykyb).kyyc21).)(,),(),(21xyxyxynn个函数个函数则称此则称此)( 为一常数为一常数k. ):acba论论证证过过程程证证线性相关线性相关21,).yya21ykyb).)().21为一常数为一常数kkyyc ,0).2211 ycyca设设

3、,0,0,121 ccc不妨设不妨设不全为不全为2121yccyb ).2yk12cck 其中其中kyyc21).021ykya).,0).1.2线性相关线性相关例如例如x.0, 00021221即可即可中取中取在在 kkxkk.0,与与任任何何函函数数线线性性相相关关事事实实上上.cossin).2线线性性无无关关与与xx.tancossinxxx 因为因为,(性性无无关关不不成成比比例例的的两两个个函函数数线线)相相关关成成比比例例的的两两个个函函数数线线性性是齐次方程是齐次方程如果如果定理定理)(, )(221xyxy)()()(30 yxQyxPy,的的两两个个解解.)()(2211也

4、是它的解也是它的解则则xycxycy ),(21任意常数任意常数cc:)()(2211代入方程左端代入方程左端将将证证xycxycy 221122112211ycycxQycycxPycyc)()(1111yxQyxPyc)()( 000#的两个线性无的两个线性无是齐次方程是齐次方程如果如果推论推论)3()(, )(21xyxy,关关的的解解.)3(2211的通解的通解是是则则ycycy 2222yxQyxPyc)()( ,:212211ccycycy含两个任意常数含两个任意常数解释解释 ,性相关时性相关时2221yckycy)(.)3(的的通通解解阶阶方方程程,cos,sin0,21xyxy

5、yy 有解有解方程方程例如例如,tancos/sin常常数数 xxx.cossin21是其通解是其通解xcxcy 是是非非齐齐次次方方程程设设定定理理*3y)()()(xfyxQyxPy )(2,的的一一个个特特解解是对应齐次方程是对应齐次方程而而2211ycycY 0 yxQyxPy)()()(3,的的通通解解.)2(*的的通通解解是是则则yYy yxQyxPy)()( 证证它不是二它不是二线线当当21, yy,)(23221ycyckcyxQyxPy)()( *)(*)(*yYxQyYxPyY *)(*)(*)()(yxQyxPyYxQYxPY )(xf 0. )(xf,*212211cc

6、yycycyYy和和含有两个独立常数含有两个独立常数而而 .)2(的的通通解解所所以以它它是是,2*22 xyxyy有特解有特解例如例如.cossin021xcxcYyy 有通解有通解而而:2的通解为的通解为xyy .cossin2221xxcxcy)2()()()(:xfyxQyxPy 求求解解小小结结,0)()(2211ycycYyxQyxPy 的通解的通解先求先求*,)()()(yxfyxQyxPy的的一一个个特特解解再再求求 .)2(*2211的通解的通解就是就是则则yycycy )(4叠叠加加原原理理定定理理,)()()(11的一个特解的一个特解是是设设xfyxQyxPyy ,)()

7、()(22的一个特解的一个特解是是xfyxQyxPyy .)()()()(2121的一个特解的一个特解是是则则xfxfyxQyxPyyy )( 证证明明略略.42阶阶线线性性方方程程上上去去都都可可以以推推广广到到定定理理n常数, 则该方程的通解是 ( ).321,yyy设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程)()()(xfyxQyxPy 的解, 21,CC是任意;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCC.)1()(3212211yCCyCyCDD例例.提示提示:3231,yyyy都是对应齐次方程的解,二者线性无关 . (反证法

8、可证)3322311)()()(yyyCyyCC3322311)()()(yyyCyyCD第八节第八节 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程)1(),(0常常数数 qpyqypy:)1(为为可改写可改写用算子用算子dxdD 02qypDyyD或或02yqpDD)()(2)(3,xrey 设设,xrrey 则则,2xrery :)1(得得代入代入02xrxrxreqreper)0( xre注意注意)(402qprr,)1()4(的的特特征征方方程程叫叫做做代代数数方方程程)3()1()4(的联系的联系或或与与注意注意)(,524221qppr特征方程的根特征方程的根.)1(的的特特征征根

9、根叫叫做做:分三种情况讨论分三种情况讨论,04).1212为两个不相同的实根为两个不相同的实根rrqp ,)1(,2121的解的解都是都是则则xrxreyey .)(2121常数常数且且 xrreyy.)1(,2121的通解的通解是齐次方程是齐次方程所以所以xrxrececy :,04).2212为一对共轭复根为一对共轭复根rrqp )(,021 irir.)1(,)(2)(1的解的解都是齐次方程都是齐次方程则则xixieyey xixeey 1)sin(cosxixex xixeey 2)sin(cosxixex ,cos2213xeyyyx 令令,sinxeiyyyx 2214.)1(,4

10、3的解的解也是也是则则yy,cot43常数常数因为因为 xyy 4231ycycy所以所以.)1(的的通通解解是是.2,04).3212为二重实根为二重实根prrqp ,)1(,11xrey 的一个解的一个解只得到只得到这时这时)sincos(xcxcex 21 的另一解的另一解可以求出可以求出即设即设用常数变易法用常数变易法)1()(12xrexCy xrey11xrxey12.)1()(1212211的通解的通解是是所以所以xrexccycycy :小结小结,00.12 qprryqypy的特征方程的特征方程写出方程写出方程,.221rr 和和求出特征根求出特征根:,.3写写出出微微分分方

11、方程程的的通通解解根根据据根根的的不不同同情情形形 ir 2,1一对共轭复根一对共轭复根21, rr两个不相等的实根两个不相等的实根21rr 两个相等的实根两个相等的实根xrxrececy2121xrexccy121)()sincos(xcxceyx 21:推广推广阶阶常常系系数数齐齐次次方方程程n0111ypypypynnnn)()(的的特特征征方方程程为为0111nnnnprprpr. ),(复复特特征征根根重重单单个个根根它它有有 n:,可可以以写写出出微微分分方方程程的的解解根根据据特特征征方方程程的的根根r单实根单实根xrce:给出一项给出一项一对单重复根一对单重复根)sincos(

12、:21xcxcex 给出两项给出两项 ir21,rk重实根重实根)(:121 kkxrxcxccek项项给出给出重重复复根根一一对对k ir21,xxcxccekkx cos)(121sin)(xxdxddkk 121:2 项项k多项式的项数多项式的项数重数重数 021 yyy例例:特特征征方方程程解解,0122 rr,1是是二二重重实实根根 r.)(21是原方程之通解是原方程之通解所以所以xexccy 0)(5)(2)(2 tststs例例:特特征征方方程程解解,0522 rr,21是是一一对对共共轭轭复复根根ir .)2sin2cos()(21是原方程之通解是原方程之通解所以所以tctcetst 0523)4( yyy例例:特特征征方方程程解解,052234rrr05222)(rrr,021 rrir2143,:特征根特征根021exccy)()sincos(xcxcex2243)sincos(xcxcexccx224321)(通解通解024)4( yyy例例:特征方程特征方程解解,01224 rr,)(0122rir)(共四个根共四个根二重共轭复根二重共轭复根xxccxxcceyxsin)(cos)(43210 xxccxxccsin)(cos