dsp8离散信号处理系统设计分析和有限字长效应

1、第8章 离散信号处理系统设计分析和 有限字长效应8.1 离散信号处理系统的设计分析与仿真8.2 数字信号处理中的有限长效应8.1 离散信号处理系统的设计分析与仿真8.1.1 离散信号处理系统的设计步骤数字信号处理系统的设计分析可分为5大类1. 连续信号的离散化处理分析2. 设计离散时间信号处理器3. 离散信号的连续化4. 设计系统的实现5. 检验前置预滤波器A/D转换器数字信号处理器D/A转换器( )ax t( )ay t( )x n( )y n数字信号处理系统方框图8.2 数字信号处理中的有限长效应有限长字效应：在实际的处理过程中，数字信号和系统都不是无限精度的，而是有限精度，精度的大小则有

2、字长的大小决定，正是由于有限精度，从而给原有的数字信号处理系统带来了影响，这种影响称为数字信号处理中的有限字长效应。有限字长效应主要在以下三个方面进行影响(1)将模拟信号量化为数字信号过程中的A/D量化效应。(2)将系统参数表示为有限位二进制时产生的系统量化效应。(3)在运算过程中由于字长限制而进行尾数处理。8.2.1 二进制的表示及误差基本概念定点二进制数：小数点在数码中的位置固定不变，小数点左边为整数部分，右边为小数部分。1. 定点二进制数的编码方式(1)原码原码也称“符号幅度码”，最高符号位 表示正数， 表示负数，尾数值 表示绝对值大小。原码定义如下00a 01a 12.ba aa 01

3、110 xxxxx 原所代表的十进制数值为：01( 1)2baiiixa (2)反码反码定义如下：所代表的十进制数值为： -b01(2-2 )-10 xxxxx 反01(12)2bbiiixaa (3)补码补码定义如下： 012-10 xxxxx 反所代表的十进制数值为：012biiixaa 2. 误差的基本概念(1)溢出 对定点二进制，无论采用原码表示还是采用补码或反码表示，这些表示在整个运算过程中所有运算结果的绝对值都不能超过1，否则就会产生运算错误，称为溢出。(2)截尾及截尾误差 定点数每次乘法运算后需要进行尾数处理，使计算结果保持b位字长，一种简单的处理方法就是除超过字长b的所有尾数值

4、，这种处理方法称为截尾，由截尾处理带来的误差称为截尾误差。(3)舍入及舍入误差 对定点乘法运算尾数处理的另一个方法是舍入，它相当于十进制中的四舍五入近似法处理，在舍去超过字长的位数时，若舍掉部分的值大于或等于保留部分最低位的权值的一半，则给留下的部分的最低位加1，由舍入处理带来的误差称为舍入误差。8.2.2 定点表示的量化误差 假定运算前定点数字长度为b，运算后增加的为b1，需要对尾数进行量化处理使字长从b1减小为b。1. 定点制截尾误差(1)正数的误差设x是b1位的正数， ，截尾后为b字长，对x截尾112biiixa后的量化值 表示为 TQ x1 2biTiiQ xa截尾量化误差为：11 2

5、biTTii bEQ xxa 由于x为正数，截尾后 故 ，当被截尾均为1时，截尾误差达到最大： TQ xx0TE ia11max12(22)bbibTii bEa 所以有令 表示截尾后最小码位的值，称为量化宽度或者量化步阶。1(22)0bbTE0 x 2 ,b (2) 负数的截尾误差 对于原码负数112biiixa11111 2(2 )2bbbiiiTTiiiiii bEQ xxaaa 故截尾误差满足：10(22),0bbTEx即0,0TEx 对于反码负数111122bbiiixa 1111111 122( 122 )222bbbbbbiiibTTiiiiii bEQ xxaaa 故截尾误差满

6、足：0,0TEx 即10(22),0bbTEx对于补码负数1112biiixa 11111 12( 12 )2bbbiiiTTiiiiii bEQ xxaaa 故截尾误差满足：1(22)0,0bbTEx例8-1 若有限字长为b=2，当经过某种运算处理后字长增为b1=4，若采用截尾处理，试分别求出原码负数1.1001、反码负数1.1100和补码负数1.1010引起的误差。解: (1)原码负数x=1.1001表示-0.5625, QTx=1.10表示-0.5所以截尾处理引起的误差为0.5( 0.5625)0.0625TE (2)反码负数x=1.1100表示-0.1875, QTx=1.11表示0所

7、以截尾处理引起的误差为0( 0.1875)0.18750TE (3)补码负数x=1.1010表示-0.375, QTx=1.10表示-0.5所以截尾处理引起的误差为0.375( 0.5)0.1250TE 2.定点误入误差所谓舍入，是指类似于十进制中的四舍五入规则，逢1进1，逢0舍去。例8-2 当有限字长b=2时，用逢1进1，逢0舍去的原则，试求给下列数带来的舍入误差。(1)x=0.1001 (2)x=0.1011 (3)x=0.1010解：若x=0.1001, 舍去0.0001， 0.10RQx 4 0.00012RREQxx 若x=0.1011, 舍去0.0001， 0.11RQx 4 0.

8、00012RREQxx若x=0.1010, 此时既可作舍去处理，也可作上入处理。若舍去0.001， ；若上入，则上入0.001， 。但是按照十进制中的四舍五入规则上入0.001，则 3 0.0012RREQxx 3 0.0012RREQxx30.0012RE8.2.3 A/D转换的量化效应模拟信号经过A/D转换为b位数字信号，即 kekxkx精确抽样值量化误差 分析A/D转换器的量化效应目的在于选择合适的字长，以满足信噪比指标。8.2.4 数字滤波器的系数量化效应设系统只有单极点，理想低通的系统函数可表示为00111( )( )( )1(1)MMkkkkkkNNkkrkrb zb zB zH

9、zA za zp z1. 系统的实际频响与所要求的频响出现偏差。2. 系统函数零极点的实际位置也与设计位置不同。 严重时，使系统失去稳定。因此字长有限，滤波器系数 量化后产生误差,kka b1. 系数量化对滤波器零点、极点位置的影响,kka b是系统直接型结构的无限精度系数，若实际系统的量化为： ,kka bkkkkkkaaabbb其中 表示系统量化造成的误差。实际滤波器的系统函数为：,kkab00( )1MkkkNkkkb zH za z若 的极点为 , 的极点为 ， 为极点的偏移量，由各系数 的量化引起的，因此(1,2,.,)izz iN( )H z( )H ziizzzizka1,1,2

10、,.,Niikkkzza iNa式中 的值决定着系数量化误差 对极点偏差 的影响程度，因此 被称为系统函数 的第i个极点 对 分母的第k个系数 变化的灵敏度。kaiz( )H z( )H zkaiz/ikza/ikza其大小可以推导得：1()NkiiNkilll izzazz11,1,2,.,()NkNiikNkilll izza iNzz结论：由于级联型结构和并联型结构是由一阶或二阶滤波器级联或并联而成，因此它们的极点位置偏移量对系数量化误差要小得多。例8-3 设数字滤波器的系统函数为 01212( )1bH za za z其系数 利用 变化造成的极点位置灵敏度，试确定系数量化所需的最小字长

11、。要求保证极点位置误差小于0.5%。1201.7,0.745,0.0373,aab 2a解：设H(z)分母为零，求得两个极点10.850.15zj 20.850.15zj 求得a2对z1和z2的影响090121213.3333jzeazz090222113.3333jzeazz可见， a2对z1和z2的影响是相同的。因而2222zzaa故2232220.5%1.295 10/3.3333zzaza2. IIR数字滤波器的有限字长效应若考虑系数采用b位量化长度和舍入方式进行量化，系数 的量化误差分别为 ，且误差变化范围为 ，均值为0，方差为 。设量化后系统函数的误差为：,kka b,kk(/2,

12、/2)2/12 akkkkkkkkaQ abQ bb令量化后系统函数的偏差为：因此实际系统函数 可以表示为理想系统函数 与系统函数的偏差的并联，可得系统量化造成的频响偏差：( )( )( )EHzH zH z( )EHz( )H z()()()jjjEHeH eH e3. FIR滤波器的有限字长效应线性相位FIR滤波器第一种情况的频率响应为1()2()( )NjjH eHe其中(3)/2011( )2 ( )cos() ()22NnNNHh nnh设系数采用b位量化长度和舍入方式进行量化，系数量化误差为e(n)，其变化范围(/2,/2)，均值为0，方差为2/12 则实际系数为：( )( )(

13、)h nh ne n0(1)/2nN且量化后 也一定满足偶对称，即( )h n( )(1)h nh Nn 因此有：( )( )( )H zH zE z( )( )( )HHE实际滤波器的频率响应偏差(3)/2011( )( )( )2 ( )cos() ()22NnNNEHHe nne因此，FIR数字滤波器的系数h(n)最后量化后，得到的实际滤波器可以表示为无限精度滤波器和一个频响为的滤波器的并联。 8.2.5 FFT算法的有限字长效应12( )NjEe1. 定点FFT计算中有限字长效应若x(n)序列的长度为N=2L，原位运算的基-2DIT-FFT算法共有 级，每级有N个数构成运算序列，含个蝶

14、形运算。由m列到m+1列的蝶形运算可表示为2logLN/2N11( )( )( )( )( )( )rmmNmrmmNmXiXiW XjXjXiW Xj用定点数实现算法时，如暂不考虑溢出，则只有乘法才舍入。以加性误差来考虑舍入的影响。用e(m,j)表示 与 相乘所引起的舍入误差。( )mXjrNW( )mXi( )mXj1( )mXi1( )mXj-1rNW( , )e m j基-2 DIT-FFT算法蝶形运算定点舍入统计模型( , )e m j假设这些误差 的统计特性如下：(1) 是白噪声，在 范围内均匀分布， 则均值为0，方差为(2)各 相互独立，且某一复乘的四个误差源于其他复乘的误差源也互不相关。(3)所有 与输入互不相关，因而与输出也互不相关。 ( , )ie m j( , )ie m j( , )ie m j(/2,/2)2/12 两种防止溢出的方法：(1)在输入端乘以1/N的比例因子。(2)在每级蝶形运算的输入端乘以1/2的比例因子。2. 系数量化对FFT的影响理想FFT运算 系数量化后可以表示为10( )( )NnkNnX kx n W10( )( )( )( )NnkNnX kx