同角三角函数的基本关系式知识讲解

1、1. 借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式: sin2cos21, sin tan ，掌握已知一个cos角的三角函数值求其他三角函数值的方法；2会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。【要点梳理】要点一：同角三角函数的基本关系式(1) 平方关系：sin 2cos21(2) 商数关系：sintancos(3) 倒数关系：tan cot 1 ， sin csc 1 ， cos sec 1要点诠释：(1) 这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角 ( 使得函数有意义的前提下)关系式都成立；22(2) sin 是 (sin ) 的简写；(3) 在应

2、用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“ ”的选取。要点二：同角三角函数基本关系式的变形1 平方关系式的变形：22222sin 1 cos ， cos 1 sin ， 1 2sin cos (sin cos )2商数关系式的变形sinsin cos tan ， cos。tan【典型例题】类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值例 1 已知 tan = 2，求 sin ， cos 的值。sinsin2+cos2 =1 ，求出【思路点拨】先利用"tan2" ,求出sin = 2coscossin ， cos 。【解析】解法一：tan = 2， sin

3、= 2cos 。又 sin2 +cos2 =1，21由消去sin 得 （ 2cos）2+cos2=1 ，即 cos 。5.z为第二象限角时，cos5 ，代入得sin5255为第四象限角时，cos5，代入得sin525。5解法二：tan = 2< 0，为第二或第四象限角。又由 tansin，平方得tan2cos2 sin2 costan2sin212cos12 cos2 cos1 tan2为第二象限角时，cos12tan121 ( 2)25。5sin tan cos( 2)525为第四象限角时，cossin tan cos( 2)1tan225。511 ( 2)25。5【总结升华】解答此类

4、题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值，缩小角的围。在解答过程中如果角 所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；若角所在象限不确定，则应分类讨论，有两种结果，需特别注意：若已知三角函数值以字母a 给出，应就所在象限讨论。举一反三：1 】已知A是 ABC的一个角，且tan A5，求 sin A,cos A. 4tan Asin A例2已知【解析】当角当角（ 2）当tan A 0 可得 A的围：5tan A 0, 4sin A , 平方整理得 cosAA 为钝角，cos2 A1tan A cosA 41.41cos =m（1 m 1 ） ，求 sin（1 ）当m=0 时，角的终边在的终边在y轴

5、的正半轴上时，的终边在y轴的负半轴上时，m=± 1 时，角的终边在x 轴上，此时，3)当|m|< 1 且 m 0 时，sin=1 cos =1 m ，为第一象限角或第二象限角时，sin A1tan2 A的值。y 轴上，sinsin再结合同角三角函数的关系式求解0,cosAcosA=1 ；= 1 。sin=0。sin 1 m20.11 tan 2 A4 4141类型二：利用同角关系求值提供了工具与方法。求解的过程中关键是利用了当角为第三象限角或第四象限角时，sin1 m2 。例 3已知：tan cot1 ) sin cos 的值； ( 2)3) sin cos 的值； ( 4)2

6、, 求：sin cos 的值；sin 及 cos 的值2 sinsin2)sin3)sin1)1)由已知12 ( 2)2 cossin coscossincossincossin4)由sin本题给出了coscos1】已知1 ) tan所以 (sinsincoscoscossin1 tan2sin2 cos )3) 0(cossin2sin2sin22 ，解得sinsincos2)cos4)2, 2或coscossincos22或2sincoscos2 cos1，求下列各式的值：,sin1 这个隐含条件。sin3 +cos3 。12，cos 及 sincos2222三者之间的关系，三者知一求二，

7、在所以 sincos1 ) tan21 tan2tan1tansin2 cos2sin cossin222cos11162 142) sin33 cos(sincos )(sin 2sin cos2 cos52。8【总结升华】2sin cos =m2 1，联立以上两个式子解出进行变形，化为sin例 4已知 tan对于已知sincos=msin型的问题，常有两种解法：一是两边平方，得±cos 的值，从而使问题得以解决；二是对所求式子4sin1)± cos ， sin · cos =3，求下列各式的值。3sin 5cos2cossin； ( 2)22sin cos c

8、os3222； ( 3) sin4cos 3sin412 cos 。2sin ,cos ，进而代入得解，但过程繁琐。在关于sin,cos “齐次”式中可以使用“弦化切”，转化成关于tan 的式子，然后利用已知求解（ 1 ）原式的分子分母同除以coscos 0）得，原式4tan 14 3 1113tan 5 3 3原式原式从而完成被求式的求值；在（2）原式的分子分母同除以3）用“5 14cos22 cos0）得，2tan 2tan 124 3tan 2924331322。231 ”来代换，3 sin4sin【总结升华】0，所以可用cosn12cos22cos已知 tan（ n N* ）除之，将被

9、求式转化为关于32 tan42tan394929。40求关于 sin、 costan 的表示式，可整体代入2） 题， costan =m 的值，3）题中，求形如a sin2+b sin cos +c cos2 的值，注意将分母的1 化为 1=sin2 +cos2 代入，转化为关于tan举一反三：1 】 （ 1 ）已知 tan =3，求（ 2）已知 4sin 2cos5cos 3sin( 1 )tan =3，111=sin2sin26，求3sin4 cos2 +coscos+1 的值；4 sinsin23sincos2 (sin2cos )22sin 3sin2sincos2 cos2 cos2

10、 tan23tan 11 tan 21。2）由4sin 2cos5cos3sin6，得114tan 26tan 2类型三：利用同角关系化简三角函数式5 3tan114 cos2 cos4 sin2 sin(cos22 cos2 cos例 5化简：1 cos461 cos解法一：原式2 sin2 sin2 sin4 sin6 sin2 (cos (cos2)(cos21 tan21 tan22sin )2 sin144 cos3。54 sin23 sin )6 cos6 sin22 sin22 (cos2 sin)32cos223cos sin44解法二：原式1 (cossin)2 (cos6s

11、in6 )3 2221 (cos sin ) 2cos sin 2 242241 (cos sin )(cos cos sin sin )1 1 2cos 2 sin 22cos2 sin 22。1 (cos sin ) 3cos sin 3cos sin 3解法三：原式(1 cos2 )(1 cos2 ) sin 4(1 cos2 )(1 cos2cos4 ) sin 6sin 2 (1 cos2sin 2 )2244sin (1 cos cos sin )22cos222221 cos (cos sin )(cos sin )222cos2cos 222221 cos cos sin 3c

12、os 3【总结升华】以上三种解法虽然思路不同，但是主要都是应用公式sin2 +cos2=1 ，解法二和解法三都是顺用公式，而解法一则是逆用公式，三种解法中，解法一最为简单。这里，所谓逆用公式sin2+cos2=1，实质上就是“1”的一种三角代换：“ 1=sin2 +cos2”， 1 的三角代换在三角函数式的恒等变形过程中有着广泛的应用。举一反三：【变式1 】化简2）3）1 2sin cossin cos1 sin22cos1 sin21 sinsin1）1）原式2）原式3）原式4）原式2k ,2k k Z； 21 cos2 2 ；1 cos2 ；sin1 sin1 sin1( 2)cos2 s

13、in2= (sin cos )2sin cossin22|cos2|3）略（4）略|sin cos |1sin cos|sin2| cos2 sin2cos|cos |sin |sin0,（ 在第一象限或第三象限）2，（2，（ 在第四象限）21 sin21 sin21 sin2 sin1 sin 1 sin|cos | cos |2tan (2k22k2tan （2k2类型四：利用同角关系证明三角恒等式tan sin tan例 6求证：2k2)3，kz)证法二：左边sintan sin tan sin证法一：右边(tan sin )(tan sin )tan 2 sin 2tan sin (t

14、an sin ) (tan sin )tan sin222tan tan cos(tan sin ) tan sin22tan (1 cos )(tan sin )tan sintan2(tan sin2 sin)tan sintan sin=左边。tansintan sinsintan tancos1 costan tan cos 右边tan sin1 cossin21 cossin (1 cos )2sinsin (1 cos )sin1 cossinsin22证法三：左边cossin1 cossinsinsin sincos sin(1 cos )cossin右边cossinsinsin

15、 cos1 cos，sinsin2 sinsincos所以左边=右边，原等式成立。1 cos sin所以左边=右边，原等式成立。【总结升华】本题主要考查三角恒等式的证明方法。就一般情况而言，证明三角恒等式时，可以从左边推到右边，也可以从右边推到左边，本着化繁就简的原则，即从较繁的一边推向较简的一边；还可以将左、右两边同时推向一个中间结果；有时候改证其等价命题更为方便。但是，不管采取哪一种方式，证明时都要“盯住目标，据果变形” 分解因式，回归定义等。1 】求证：cosx1 sin x1 sin xcosxcosx 0，所以 1 sin x 0,1sin x 0 .cosx(1 sin x)(1 sin x)(1 sin x)cosx(1 sin x)2cos x1 sinxcosx右边 .证法二：由题意知cosx 0，所以1 sin x0,1 sin x 0 .又 (1 sin x)(1 sin x)221 sin x cos x cosx cosx，cosx 1 sin x1 sinx cosx证法三：由题意知cosx0 ，所以1 sin x 0,1 sin x 0 .22cosx 1 sin x cosx cosx (1 sinx)(1 sin