1312线段的垂直平分线的性质精编版

1、人教人教2011课标版数学八年级上册第十三章轴对称课标版数学八年级上册第十三章轴对称 创设情境，温故知新创设情境，温故知新 1.前面我们学习了轴对称图形，线段是轴对称图形吗？前面我们学习了轴对称图形，线段是轴对称图形吗？ 什么是线段的垂直平分线什么是线段的垂直平分线 2.你能找出线段的对称轴吗？你能找出线段的对称轴吗？ 3. 线段的对称轴与这条线段有什么关系？说明理由线段的对称轴与这条线段有什么关系？说明理由 探索并证明线段垂直平分线的性质探索并证明线段垂直平分线的性质 如图，直线如图，直线l 垂直平分线段垂直平分线段AB，P1，P2，P3，是是 l 上的点，请猜想点上的点，请猜想点P1，P2

2、，P3， 到点到点A 与点与点B 的距的距 离之间的数量关系离之间的数量关系 相等相等 P3 你能用不同的方法验证这一结论吗你能用不同的方法验证这一结论吗 ？ P2 P1 A l B 探索并证明线段垂直平分线的性质探索并证明线段垂直平分线的性质 请在图中的直线请在图中的直线l 上任取一点，那么这一点与线段上任取一点，那么这一点与线段 AB 两个端点的距离相等吗？两个端点的距离相等吗？ 线段垂直平分线上的点与这条线段垂直平分线上的点与这条 线段两个端点的距离相等线段两个端点的距离相等 A l P3 P2 P1 B 探索并证明线段垂直平分线的性质探索并证明线段垂直平分线的性质 证明：证明：“线段垂

3、直平分线上的点到线段两端点的距线段垂直平分线上的点到线段两端点的距 离相等离相等” 已知：已知：如图，直线如图，直线lAB，垂足为，垂足为C，AC = =CB，点，点 P 在在l 上上 l 求证：求证：PA = =PB P A C B 探索并证明线段垂直平分线的性质探索并证明线段垂直平分线的性质 已知：已知：如图，直线如图，直线lAB，垂足为，垂足为C，AC = =CB，点点P 在在l 上上 求证：求证：P A = =PB l 证明：证明： lAB， P PCA =PCB 又又 AC = =CB，PC = =PC， A PCA PCB（SAS） C PA = =PB B 探索并证明线段垂直平分

4、线的性质探索并证明线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等线段两个端点的距离相等 l P A C B 用几何语言表示为：用几何语言表示为： CA = =CB，lAB 或或 点点P在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上 PA = =PB PA =PB 例题讲解例题讲解 例例1 如图，如图，ADBC，BD = =DC，点点C 在在AE 的垂直平的垂直平分线上，分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？的长度有什么关系？AB+ +BD与与DE 有什么关系？有什么关系？ A 解解： AB =A

5、C =CE , AB +BD =DE . ADBC，BD = =DC AB = =AC B 点点C 在在AE 的垂直平分线上的垂直平分线上 AC = =CE AB =AC =CE D C E AB = =CE，BD = =DC AB + +BD = =CD + +CE 即即 AB + +BD = =DE 课堂练习课堂练习 ABAC 。 练习练习1 1 因为因为ADAD为为BCBC的中垂线，所以的中垂线，所以 A 理由：理由： 线段垂直平分线上的点与这条线段垂直平分线上的点与这条B 线段两个端点的距离相等线段两个端点的距离相等 D C 练习练习2 2 如图如图,NM ,NM 是线段是线段ABAB

6、的中垂线的中垂线, , 下列说法正确的有：下列说法正确的有： 。 ABMN,ABMN,AD=DBAD=DB， MNABMNAB， MD=DNMD=DN，ABAB是是MNMN的垂直平分线的垂直平分线 M A D N B 例题讲解例题讲解 例例2 2 如图，在如图，在ABC中，已知中，已知AC=27，AB的垂的垂直平分线交直平分线交AB于点于点D，交，交AC于点于点E，BCE的周的周A 长等于长等于5050，求，求BC的长的长. . D E B C 例题讲解例题讲解 变式变式1 1 如图，在如图，在ABC中，已知中，已知AC=27，AB的的垂直平分线交垂直平分线交AB于点于点D，交，交AC于点于点

7、E，BC=23，A 求求BCE的周长的周长。 D E B C 例题讲解例题讲解 变式变式2 2 如图，在如图，在ABC中，中，AB的垂直平分线交的垂直平分线交AB于点于点D，交，交AC于点于点E，已知，已知AD=15， BCE的的A 周长等于周长等于5050，求，求BAC的周长的周长. . D E B C 例题讲解例题讲解 变式变式3 3 如图，在如图，在ABC中，中，AB的垂直平分线交的垂直平分线交AB于点于点D，交，交AC于点于点E，BCE的周长等于的周长等于5050， A BAC的周长等于的周长等于8080，求，求AD的长的长. . D E B C 探索并证明线段垂直平分线的判定探索并证

8、明线段垂直平分线的判定 反过来，如果反过来，如果PA = =PB，那么点，那么点P 是否在线段是否在线段AB 的的 垂直平分线上呢？垂直平分线上呢？ 点点P 在线段在线段AB 的垂直平分线上的垂直平分线上 已知：如图，已知：如图，PA = =PB 求证：点求证：点P 在线段在线段AB 的垂直平的垂直平 分线上分线上 探索并证明线段垂直平分线的判定探索并证明线段垂直平分线的判定 已知：如图，已知：如图，PA = =PB求证：点求证：点P 在线段在线段AB 的垂直平分线上的垂直平分线上 证明：如图，作证明：如图，作PCPCAB 则则PCA = =PCB = =90 在在RtPCA 和和RtPCB

9、中，中， PA = =PB，PC = =PC， RtPCA RtPCB（HL） AC = =BC 又又 PCAB， 点点P 在线段在线段AB 的垂直平分线上的垂直平分线上 探索并证明线段垂直平分线的判定探索并证明线段垂直平分线的判定 线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的判定 与一条线段两个端点距离相等的点，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上 用几何符号表示为用几何符号表示为： P A = =PB， 点点P 在在AB 的垂直平分线上的垂直平分线上 探索并证明线段垂直平分线的判定探索并证明线段垂直平分线的判定 你能再找一些到线段你能再找一些到线段AB

10、两端点的距离相等的点吗？两端点的距离相等的点吗？ 能找到多少个到线段能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？两端点距离相等的点？ 这些点能组成什么几何图形？这些点能组成什么几何图形？ 在线段在线段AB 的垂直平分线的垂直平分线l 上的上的 点与点与A，B 的距离都相等；反过来，的距离都相等；反过来， 与与A，B 的距离相等的点都在直线的距离相等的点都在直线l A 上，所以上，所以直线直线l 可以看成与两点可以看成与两点A、 B 的距离相等的所有点的集合的距离相等的所有点的集合 l P B C 例题讲解例题讲解 例例3 如图，如图，AB = =AC，MB = =MC直线直线AM 是线是线段段

11、BC 的垂直平分线吗？的垂直平分线吗？ 解：解：直线直线AM 是线段是线段BC 的垂直平分线的垂直平分线. . AB = =AC， 点点A 在在BC 的垂直平分线上的垂直平分线上 MB = =MC， M 点点M 在在BC 的垂直平分线上的垂直平分线上 直线直线AM 是线段是线段BC 的垂直的垂直 B D 平分线平分线 A C 例题讲解例题讲解 例例4 4 已知已知: :如图如图, ,在在 ABCABC中中, ,边边ABAB，BCBC的垂直平分线交的垂直平分线交于于P.P.（1 1）求证：）求证：PA=PB=PCPA=PB=PC;（2）点）点P是否也在边是否也在边AC的垂的垂直平分线上呢？由此你

12、还能得出什么结论？直平分线上呢？由此你还能得出什么结论？ M M P B N N C A 分析： 点P在线段AB的垂直平分线上 PA=PB 点P在线段BC的垂直平分线上 PB=PC PA=PB=PC 例题讲解例题讲解 例例4 4 已知已知: :如图如图, ,在在 ABCABC中中, ,边边ABAB，BCBC的垂直平分线交的垂直平分线交于于P.P.（1 1）求证：）求证：PA=PB=PCPA=PB=PC;（2）点）点P是否也在边是否也在边AC的垂的垂直平分线上呢？由此你还能得出什么结论？直平分线上呢？由此你还能得出什么结论？ A M M P 证明：证明：点点P P在线段在线段ABAB的垂直平分线

13、的垂直平分线MNMN上，上， PA=PB. PA=PB. 同理同理 PB=PC. PB=PC. PA=PB=PC.PA=PB=PC. B PA=PC. PA=PC. 点点P P在线段在线段ACAC的垂直平分线上的垂直平分线上 C N N 结论：结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等。三角形三个顶点的距离相等。 课堂小结课堂小结 （1）本节课学习了哪些内容？）本节课学习了哪些内容？ （2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？ 两者之间有什么关系？两者之间有什么关系？ （3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？ 课堂小结课堂小结 一、性质定理：一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。点的距离相等。 二、逆二、逆定理定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。线段的垂直平分线上。 点点P在线段在线段AB的垂直平分线的垂直平分线上上 线段垂直平分线上的点到这线段垂直平分线上的点到这