131空间几何体的表面积与体积精编版

1、一、柱体、锥体、台体的表面积一、柱体、锥体、台体的表面积复习回顾复习回顾S? ab。? (1)矩形面积公式： _1S ?ah2。? (2)三角形面积公式：_?2S?r。? (3)圆面积面积公式：_C?2?r? (4)圆周长公式：_。1s ?lr2。? (5)扇形面积公式： _32S?a4。正三角形面积公式：_? (6)梯形面积公式：1S?(a?b)h2_几何体的分类多面体旋转体柱体锥体台体球在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的表面积怎样得到的正方体和长方体的表面积怎样得到的几何体表面积几何体表面积展开图展开图平面图形面积平

2、面图形面积平面问题平面问题空间问题空间问题棱柱、棱锥、棱台棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图都是由多个平面图形围成的多面体，它们的展开图是什么？形围成的多面体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？如何计算它们的表面积？正棱柱的侧面展开图是什么？h正棱柱的侧面积如何计算？表面积如何计算？正棱锥的侧面展开图是什么？侧面展开h正棱锥的正棱锥的侧面积侧面积如何计如何计算？算？表面积表面积如何计算？如何计算？h正棱台的侧面展开图是什么？h侧面展开侧面展开h正棱台的侧面积如何计算？表面积如何计算？棱柱、棱锥、棱台的表面积hh一般地,多面体的表面积就是各个面的面积之和表面积=侧面积+底面积棱柱、棱锥、棱

3、台棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？如何计算它们的表面积？它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和例例1 已知棱长为已知棱长为a，各面均为等边三角形，各面均为等边三角形的四面体的四面体S- ABC，求它的表面积，求它的表面积 SABC典型例题例例1 已知棱长为已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面，各面均为等边三角形的四面体体S-ABC，求它的表面积，求它的表面积 解：先求解：先求?SBC的面积，过点的面积，过点S作作SD? BCS交交BC于点

4、于点D因为因为BC? aA3?a?SD?SB ? BD ?a ? ? ?a2?2?2222B所以：所以：S?SBCDC11332?BC?SD?a?a?a2224因此，四面体因此，四面体S-ABC的表面积的表面积322S?4?a ? 3a4思考?求多面体的表面积可以通过求各个平面多边形的面积和得到,那么旋转体的表面积该如何求呢?rl2?r2S圆柱表面积? 2?r ? 2?rl? 2?r(r? l)2?rlrOS圆锥表面积?r ?rl?r(r?l)2rOlrO2?r2?r1S ?r? ?r ?2?r? 2?r?l222S?(r?r ?r? l?rl)22三者之间关系圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式

5、之间有什么关系？圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？rO?rOlOrr上底扩大上底扩大lrO22r0上底缩小上底缩小lrOS柱? 2?r(r?l)S ?(r? ? r ? r? l ? rl)S ?r(r?l)典型例题S圆台表面积?(r? ? r ? r? l ? rl)22例例2 2 如图，一个圆台形花盆盆口直径如图，一个圆台形花盆盆口直径 20 cm20 cm，盆，盆底直径为底直径为15cm15cm，底部渗水圆孔直径为，底部渗水圆孔直径为 1.5 cm1.5 cm，盆壁长，盆壁长15cm15cm那么花盆的表面积约是多少平方厘米（那么花盆的表面积约是多少平方厘米（?取取2cm）？

6、）？3.143.14，结果精确到，结果精确到1 1 20cm解：由圆台的表面积公式得解：由圆台的表面积公式得花盆的表面积：花盆的表面积：?15?15?20?1.5?S ?15?15?2222?2215cm15cm? 999(cm)cm答：花盆的表面积约是答：花盆的表面积约是 999 999 22小结：柱体、锥体、台体的表面积圆柱S ? 2?r(r? l)圆柱、圆锥、圆台r? r? S?(r?圆台2? r ? r? l ? rl)2r? 0圆锥S?r(r?l)棱柱、棱锥、棱台展开图各面面积之和所用的数学思想： 空间问题转化成平面问题二、柱体、锥体、台体的体积二、柱体、锥体、台体的体积面积是相对于

7、面积是相对于平面图形平面图形而言的，体而言的，体积是相对于积是相对于空间几何体空间几何体而言的而言的. .你知道面你知道面积和体积的含义吗？积和体积的含义吗？面积面积:平面图形所占平面的大小平面图形所占平面的大小体积体积:几何体所占空间的大小几何体所占空间的大小柱体体积haabaah长方体体积：V ? abh2?32正方体体积：V ? a?a ? a?圆柱的体积：?V ?r hV ? Sh底底面面积积高高柱体体积以前学过特殊的棱柱正方体、长方体以及圆柱的体积公式,它们的体积公式可以统一为：V ? Sh柱体（棱柱、圆柱） 的体积公式：V ? Sh（其中S为底面面积，h为柱体的高）锥体体积h椎体（

8、圆锥、棱锥）的体积公式：1V ?Sh3（其中（其中S为底面面积，为底面面积，h为高）为高）由此可知，由此可知，棱柱与圆柱棱柱与圆柱的体积公式类似，都是的体积公式类似，都是底面面积乘高；底面面积乘高；棱锥与圆锥棱锥与圆锥的体积公式类似，都是的体积公式类似，都是1底面面积乘高的底面面积乘高的3台体体积台体（棱台、圆台）的体积公式台体（棱台、圆台）的体积公式1V ?(S?S? S ? S)h3柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？上底扩大上底缩小S? 0V ?1(S?S? S ? S)hS? SV ?1ShV ? Sh33S为底面面积，为底面面积，h为锥

9、体高为锥体高S?,S分别为上、下分别为上、下底面面积，底面面积，h 为台体为台体高高S为底面面积，为底面面积，h为柱体高为柱体高知识小结柱体V ? ShS? S柱体、锥体、台体的体积1台体V ?(S?S? S ? S)h3S? 01锥体V ?Sh31.已知圆锥的表面积a m,且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径。2例例2 2 如图，一个圆台形花盆盆口直径如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm20 cm，盆底直径为盆底直径为15cm15cm，底部渗水圆孔直径为，底部渗水圆孔直径为1.5 1.5 cmcm，盆壁长，盆壁长15cm15cm那么花盆的表面积约是多那么花盆的表面积约是多少平方

10、厘米？少平方厘米？20cm15cm15cm典型例题例例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是有一堆规格相同的铁制（铁的密度是37.8g/cm）六角螺帽共重）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边，已知底面是正六边形，边长为形，边长为12mm，内孔直径为，内孔直径为10mm，高为，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（问这堆螺帽大约有多少个（?取取3.14）？）？解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即 :31022V ?12 ?6?10? 3.14?() ?10423? 2956(mm)? 2.956(cm)3所以螺帽的个数为5.8?1000?(7.8?2.956) ? 252（个）

11、答：这堆螺帽大约有 252个半径为半径为R R的球的的球的表面积表面积公式公式S? 4?R2半径为半径为R R的球的体积的球的体积43V ?R3将一个三棱柱按如图所示分解成三将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？关系？3 32 21 11 13 32 2（二）柱体、锥体、台体的体积思考：取一些书堆放在桌面上(如图所示) ，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？从以上事实中你得到什么启发？思考思考3:3:关于体积有如下几个原理：关于体积有如下几个原

12、理：（1 1）相同的几何体的体积相等；）相同的几何体的体积相等；（2 2）一个几何体的体积等于它的各部分）一个几何体的体积等于它的各部分体积之和；体积之和；（3 3）等底面积，等高的两个同类几何体）等底面积，等高的两个同类几何体的体积相等；的体积相等；（4 4）体积相等的两个几何体叫做）体积相等的两个几何体叫做 等积体等积体. .棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积V柱体=shhSSSh将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？A1B1C1A1B1C1ACACBB

13、1棱锥(圆锥)是同底等高的棱柱(圆柱)的31V锥体= 3sh台体（棱台、圆台）的体积V台体1?h(S?SS? S?)3V ? V大锥? V小锥xS?11 =Sh?S? S?x33211 =S?x? h?S? x33hSx ?S? hS ?S?S?S? h1?x1?QShS?S?SS?S?3?x ?3h?x1S ?1?Sh?S?SShx ? hS331?h?S?x ?h S?SS ? S?3S ?S ?柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系上底扩大上底缩小V ? ShS ? S1S ? 01V ?ShV ?(S ?S S ? S)h33总结：柱体、锥体、台体的表面积圆柱、圆锥、圆台棱柱、棱锥、棱台

14、圆柱S ? 2?r(r? l)22? S?(r ? r ? r? l ? rl)圆台圆锥S?r(r?l)展开图各面面积之和柱体、锥体、台体的体积柱体V ? Sh柱体、锥体、台体的体积1台体V ?(S?S? S ? S)h31锥体V ?Sh3锥体体积经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积1的 即棱锥的体积：31V ?Sh（其中S为底面面积，h为高）3由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于1底面面积乘高的3台体体积棱台（圆台）的体积公式棱台（圆台）的体积公式1V ?(S?S? S ? S)h3其中其中S，S?分别为上、下底面面积，分别为上、下底面

15、面积，h为圆台为圆台（棱台）的高（棱台）的高典型例题例例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是有一堆规格相同的铁制（铁的密度是37.8g/cm）六角螺帽共重）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边，已知底面是正六边形，边长为形，边长为12mm，内孔直径为，内孔直径为10mm，高为，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（问这堆螺帽大约有多少个（?取取3.14）？）？解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即 :31022V ?12 ?6?10? 3.14?() ?10423? 2956(mm)? 2.956(cm)3所以螺帽的个数为5.8?1000?(7.8?2.956) ? 252（个）答：这堆螺帽大约有 252个知识小结圆柱S? 2?r(r?l)r? r?柱体、锥体、台体的表面积22?圆台S?(r ? r ? r? l ? rl)r? 0展开图圆锥S?r(r?l)各面面积之和知识小结柱体V ? ShS? S柱体、锥体、台体的体积1台体V ?(S?S? S ? S)h3S? 01锥体V ?Sh3台体体积根据台体的特征，如何求台体的体积？PD?由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的，因此可以利用两个锥体的体积差得到圆台 (棱台)的体积公式(过程略)AA?S?C?hB?DSV ?VP? A