定积分存在的条件

1、12/26/2021精选ppt1第二节 定积分存在的条件 一、定积分存在的充分必要条件 二、可积函数类 12/26/2021精选ppt2 要判断一个函数是否可积?但由于积分和的不确定性和那个极限常数不易预知，因此这是极其困难的 下面即将给出的可积准则,将不确定性过渡到相对确定性,且只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值12/26/2021精选ppt312/26/2021精选ppt412/26/2021精选ppt5 和式和式: ,11ininiiiixmTsxMTS .1 niiiTSxfTs 12/26/2021精选ppt6所以，可积性理论总是从上和与下和入手所以，可积性理论总是从上和与下和

2、入手12/26/2021精选ppt7( )( ),( )( ),.s Ts TS TS T则( ),Ss T(T )及定理在原有的分割T中加入新的分点，则 上和不增，下和不减即，在原有分割T中加入新的分点后得新分割T，它对应的上和与下和分别记为2.达布和的性质12/26/2021精选ppt81()kkkkkmxmxx12/26/2021精选ppt91()()kkkkmxxmxx其中12/26/2021精选ppt1012/26/2021精选ppt11定理对任意分割T，都有证11,()();, ()().iinniiiiimMMmS TMxmxm bas TMba显 然 有 , 于 是同 理 可

3、证这里M,m分别表示f(x)在a,b的上确界和下确界( )(), ( )().S Tm ba s TM ba即，上和必有下界,下和必有上界12/26/2021精选ppt12( )( ), ( )( ).S Ts TS Ts T定理对于任意两个分割T与T，有任一分割T 的下和都不超过另一分割T的上和,任一分割T 的上和都不小于另一分割T的下和12/26/2021精选ppt13第一式得证，同理可证第二式.( )(), ()()s Ts TS TS T( )()()()s Ts TS TS T()()s TS T又因为又因为所以所以12/26/2021精选ppt1412/26/2021精选ppt15

4、为了证明达布定理为了证明达布定理,先介绍下面性质先介绍下面性质(证证式中提炼出式中提炼出,为方便为方便)12/26/2021精选ppt1612/26/2021精选ppt17)()()()()(021111xxMxxMxxMTSTSiiiii)()(211xxMMxxMMiiii)()()(11iiiixxmMxxmMxxmMTmM)(类似可证第二式. 12/26/2021精选ppt18( )()| (),S Tp MmTS T( )()| ( ).s Tp MmTs T( )()| () ()S Tp MmTS TTS T证 )( )( |)()(TsTTsTmMpTs显然得证显然得证.12/

5、26/2021精选ppt19证证 （只证第一式), 要证 : , 0 , 012/26/2021精选ppt20对任意分割对任意分割T,由性质的推论有由性质的推论有 12/26/2021精选ppt21)12/26/2021精选ppt2212/26/2021精选ppt233.定积分存在的充分必要条件12/26/2021精选ppt2412/26/2021精选ppt2512/26/2021精选ppt26Riemann可积的第一充要条件可积的第一充要条件 f(x)在a,b上Riemann可积iniiTbaxMdxxf10|lim)(dxxfxmbainiiT)(lim10|11sup ( ):inf (

6、 ):iiiiiiMf xxxxmf xxxx 其中：xi-1 xixi-1 xi12/26/2021精选ppt27定理也可叙述成如下形式12/26/2021精选ppt2812/26/2021精选ppt29充分性充分性12/26/2021精选ppt3012/26/2021精选ppt31Riemann可积的第二充要条件可积的第二充要条件f(x)在a,b上Riemann可积iniixT1, 0，使得分划11sup ( ):inf ( ):iiiiiiiiiMf xxxxmf xxxxMm其中：xi-1 xi12/26/2021精选ppt32注意到证明:iiiiiniixxxii112/26/202

7、1精选ppt33 于是易知 f(x)在a,b上Riemann可积的总长度不超过的小区间，使得所有振幅分划，iiT, 0( , ,) , a bffa b其中为 在上的振幅( , ,)iiiia bfxx)(),(abfba12/26/2021精选ppt34二、二、 可积函数类可积函数类 注意注意：单调函数即使有无限多个间断点，也仍然可：单调函数即使有无限多个间断点，也仍然可积。积。 12/26/2021精选ppt35证证 根据在闭区间上连续函数性质，根据在闭区间上连续函数性质， 12/26/2021精选ppt36 abxfxfmMiii sup从而导致从而导致 TiiTixab注意到一致连续性

8、在本定理证明中所起的重要作用注意到一致连续性在本定理证明中所起的重要作用12/26/2021精选ppt3712/26/2021精选ppt38 22 mMmM12/26/2021精选ppt392 iTix.22 iTiiTixx12/26/2021精选ppt40 ,1 iiixfxf 12/26/2021精选ppt41, iTix 注注: 单调函数即使有无限多个间断点，单调函数即使有无限多个间断点，仍不失其可积性仍不失其可积性于是有于是有 .Tbfaf TxfxfxniiiiTi 11 12/26/2021精选ppt42 例例2 试用两种方法证明函数试用两种方法证明函数 , 2 , 1, 111,1, 0, 0 nnxnnxxf12/26/2021精选ppt4312/26/2021精选ppt442 iTix12/26/2021精选p