201x高中数学 第二章 变化率与导数及导数的应用 导数与函数的单调性1 北师大版选修

1、判断函数判断函数 的单调性的单调性34)(2xxxf 解解(定义法定义法）：设）：设 则则 21xx)x)(xx(x xxxx)f(x)f(x444212122212121上单调递减，在上单调递增在函数时，当时，当2 ), 2()()()( 2 )()(22112212121xfxfxfxxxfxfxxxx108642-2-4y-10-5510 xOXY图象法图象法问题提出?.)(,)(,系呢性有何关那么导数与函数的单调是刻画函数的变化两者都化率刻画的是在点的瞬时变导数减少的增加而随或的增加而增加随单调性描述的是函数的来说对于函数由以前所学知识可知xfxyxyxfy:. 3)(, 43)()3

2、(; 2)(, 52)()2( ; 1)(,)() 1 (.函数图像如下数及其单调性比较以下几个函数的导xfxxfyxfxxfyxfxxfy8642-2-4-6-8-10-5510y=xy=-3x+4y=2x+5函数(1)(2)的导数都是正的,函数(1)(2)都是递增的,函数(3)的导数是负的,这个函数是递减的.21ln1)(,log)()4(;3ln1)(,log)()3(;21ln21)(,21)()2(; 2ln2)(,2)() 1 (.,213xxfxxfyxxfxxfyxfxfyxfxfyxxxx性对数函数导数及其单调再来看指数函数8642-2-4-6-8-10-5510:,)(,

3、0)(),4)(2(;)(, 0)()3)(1 ( ,图像如下是递减的函数义域内的什么实数都有取定无论对函数是递增的函数都有取定义域内的什么实数无论以上几个函数中xfyxfxxfyxfx8642-2-4-6-8-10-5510 xy28642-2-4-6-8-10-5510 xy21xy3log8642-2-4-6-8-10-5510 xy21log(1)(3)(2)(4)观察以下两个函数的单调性与导数的关系.42)(2xxxf762)(23xxxf通过以上的实例可以看出,导函数的符号与函数的单调性之间有如下的关系:;)(, 0)()(,是递增的函数区间内则在这个的导数函数如果在某个区间内xf

4、yxfxfy.)(, 0)()(,是递减的函数区间内则在这个的导数函数如果在某个区间内xfyxfxfy例题讲解.163632)(123的递增区间与递减区间求函数例xxxxf分析:根据上面的结论,我们知道函数的单调区间与函数导数的符号有关,因此,可以通过分析导数的符号求出函数的单调区间.).3)(2(63666)(:2xxxxxf则可得由导数公式表和求导法解., 0)(,), 3()2,(递减的在这两个区间内函数是因此时或者当xfxx., 0)(,)3 , 2(是递减的在这个区间内函数因此时当xfx).3 , 2();, 3()2,(163632,23递减区间为和的递增区间为函数所以xxxy.1

5、63632)(.,.23的图像下图即为大致图像就可以画出一个函数的再通过描出一些特殊点后确定了函数的单调区间当因此数图像的大致形状函数的单调性决定了函xxxxfy32Ox2040163632)(23xxxxf方法归纳由导数来求函数的单调区间步骤:1,先求出函数的导函数.2,由导函数得到相应的不等式.3,由不等式得相应的单调区间. 1,确定函数确定函数 在哪个区间内是增函数，在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数哪个区间内是减函数42)(2 xxxf解：解：22)( xxf当当 时，时， 是增函数；是增函数；), 1( x)(xf令令 ，解得，解得 ，因此，因此，022 x1 x当当 时，时， 是减函数；是减函数；)1 ,( x)(xf再令再令 ，解得，解得 ，因此，因此，022 x1 x课堂练习 2,确定函数确定函数 在哪个区间内是增函数，在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数哪个区间内是减函数76)(23 xxxf解：解：xxxf126)(2 令令 ，解得，解得 或或 ，2 x01262 xx0 x当当 时，时， 是增函数；是增函数；)0 ,( x)(xf因此，因此，当当 时，时， 是增函数；是增函数；), 2( x)(xf再令再