静电学第2讲——真空中的高斯定理及其应用

1、1静电学第静电学第2 2讲讲真空中的高斯定理及其应用真空中的高斯定理及其应用主要内容主要内容三、高斯定理三、高斯定理一、电场线一、电场线四、利用高斯定理求电场分布四、利用高斯定理求电场分布二、电通量二、电通量2一、电场线（一、电场线（ 线）线）E1. 线上某点的切向即为该点线上某点的切向即为该点 的方向的方向 ；EEEE线线切线切线2. 线的密度给出线的密度给出 的大小的大小。EEN S SNSNESddlim0 3几种电荷的几种电荷的 线分布线分布E带正电的带正电的 电偶极子电偶极子均匀带电均匀带电的直线段的直线段点电荷点电荷4任何两条电场线都不可能相交。任何两条电场线都不可能相交。 曲线上

2、每一点的切线方向表示该质曲线上每一点的切线方向表示该质点的场强方向；曲线的疏密程度反映场点的场强方向；曲线的疏密程度反映场强的大小。强的大小。性质性质1： 起自正电荷终止于负电荷，起自正电荷终止于负电荷，(或从正电荷起伸向无穷远处，或从正电荷起伸向无穷远处，或来自无穷远处止于负电荷，或来自无穷远处止于负电荷，)但不构成闭合曲线，在没有电荷的地方但不构成闭合曲线，在没有电荷的地方也不中断；也不中断；性质性质2：归纳归纳5二、电通量二、电通量1 1、通过有向面元的电通量、通过有向面元的电通量2 2、通过有限面积的电通量通过有限面积的电通量3 3、通过闭合曲面的电通量、通过闭合曲面的电通量dSnES

3、dEdeSeSdESSdESeedSdSEcosSd1Sd20 de0 de约定：约定：闭合曲面以向外为曲面法线正方向。闭合曲面以向外为曲面法线正方向。61.e是对面而言，不是点函数。是对面而言，不是点函数。2.e 是代数量，有正、负。是代数量，有正、负。 的几何意义：的几何意义：esEsEedcosdd NsEdd 线条数）的（穿过ESNe cos ds=ds dsE 线线注意注意7三、高斯定理三、高斯定理1 1、以点电荷为球心的球面的、以点电荷为球心的球面的e e结论：结论：rS0qE（一）推导（一）推导0sd点电荷电场对球面的点电荷电场对球面的 与与 r 无关。无关。e00dSesE02

4、004dSrrseq0 q 8S0qSSq2 2、点电荷场中任意曲面的电通量、点电荷场中任意曲面的电通量 。外外在在，；内内在在， SqSqqe00 93 3、点电荷系的电场中任意闭合曲面的电通量、点电荷系的电场中任意闭合曲面的电通量 jjiiEEE（S外）外）sESed 0 内内qSsdiEEjEqiqj（S内）内）10 SVesEvd.1d0 4 4、将上结果推广至任意连续电荷分布、将上结果推广至任意连续电荷分布VdvS 11 SeqsE0d 内内（二）高斯定理表达式（二）高斯定理表达式 在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面的电在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面的电通等于该曲面所包围电量

5、的代数和除以通等于该曲面所包围电量的代数和除以 0 0 。几点说明几点说明1. 1. 由由 的值决定，与面外电荷无关的值决定，与面外电荷无关 ；e内内 q2.2. 是总场强，它由是总场强，它由q q内内和和q q外外共同决定；共同决定；E3.3. 高斯定理反映静电场是有源场。高斯定理反映静电场是有源场。12四、高斯定理的应用四、高斯定理的应用1 1、点电荷的电场、点电荷的电场高斯面：高斯面：关于点电荷对称关于点电荷对称, ,以点电荷为中心的球面，以点电荷为中心的球面，（过场点）（过场点）PrqE13PrqESd通过高斯面的电通量通过高斯面的电通量, 42ErdSEEdSSdEe电荷电量代数和电

6、荷电量代数和, /402qEr, q高斯定理高斯定理2041rqE方向沿半径向外方向沿半径向外 或向内或向内. )0( q)0( q142 2、无限长均匀带电直线的电场、无限长均匀带电直线的电场ePrS2S1lS3高斯面高斯面：关于无限长直线对称的面，关于无限长直线对称的面，以带电直线为中轴的筒面，以带电直线为中轴的筒面，外加两底面，外加两底面，构成圆柱面构成圆柱面15ePrS2S1lS3电通量电通量)(3SSdESdEe, 2 rlE)()()(321SSSSdESdESdE)(3SdSE)(3SEdS高斯面内净电量高斯面内净电量,le高斯定理高斯定理, /20lrlEe方向垂直于直线向外方

7、向垂直于直线向外 或向内或向内.)0(e)0(erEe20163 3、无限大均匀带电平面的电场、无限大均匀带电平面的电场eS3S2S1高斯面：高斯面： 关于带电平面对称的面关于带电平面对称的面 S S1 1 和和 S S2 2 ，外加侧面外加侧面 S S3 3 ，构成柱面构成柱面Pr17eS3S2S1Pr电通量电通量, 2ES)()(21SSEdSEdSSdEe电量电量, /20SESeSe高斯定理高斯定理20eE 垂直于带电面向外垂直于带电面向外 或指向带电面或指向带电面.) 0(e) 0(e18(3)(3) 计算高斯面内的电量代数和，结合计算高斯面内的电量代数和，结合( 2 )( 2 )由

8、高由高斯定理求出场强。斯定理求出场强。4 4、应用高斯定理求场强的一般方法与步骤、应用高斯定理求场强的一般方法与步骤(1)(1) 进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分析场强分布的对称性。分析场强分布的对称性。(2)(2) 过场点选取适当的高斯面，使通过该面的电过场点选取适当的高斯面，使通过该面的电通量易于用场强表达。通量易于用场强表达。19高斯面选取的原则：高斯面选取的原则：注意注意1）需需通过待求通过待求 的区域；的区域；E2）在在S S上待求上待求 处处，EsEd且等大，且等大，使得使得 ， sEsEdd。或，或 d 0 0dsEEsE其余处必须有

9、其余处必须有20以上各种对称分布的组合以上各种对称分布的组合 常见的对称性有以下几种常见的对称性有以下几种球对称性球对称性 点电荷、球体、球面、球壳、同心点电荷、球体、球面、球壳、同心球面、同心球壳等电荷分布；球面、同心球壳等电荷分布；轴对称性轴对称性 无限长均匀带电直线、圆柱、柱面、无限长均匀带电直线、圆柱、柱面、圆筒、同轴柱面、同轴圆筒等电荷圆筒、同轴柱面、同轴圆筒等电荷分布；分布；面对称性面对称性 无限大均匀带电平面、平板、平行无限大均匀带电平面、平板、平行平面、平行平板等电荷分布；平面、平行平板等电荷分布；利用场强叠加原理利用场强叠加原理说明说明21例例 已知：已知：均匀带电球壳均匀带

10、电球壳 。21)(RRq、或或 求：求：电场强度的电场强度的分布。分布。 （q）R1R2O22：的对称性的对称性分析分析 E球对称球对称rreEE )( 选高斯面选高斯面S S为与带电球为与带电球 （q）R1R2OSP（dq2= dq1）dq2dE2dq1dE1dE壳同心的球面，壳同心的球面，23rrerqerEE204)( 内内 SrsdOR2R124，内内 )(3431321RrqRrR 2 2）rerRrE)(32310 有有，内内 qRRqRr )(3431322 3 3）rerqE204 有有（同点电荷的电场）（同点电荷的电场）1 1） ；001 EqRr ，有有，内内251.1.E E 的分布的分布2.2.特殊情况特殊情况 20043reqrEr E0rR2 023 R2204RqE0rR2R12204Rq1 1）令）令R R1 1= 0= 0，得均匀带电球体情形，得均匀带电球体情形 （球内）（球内） （球外）（球外）讨论讨论26（球面外），（球面内） 4, 020reqErE0rR204Rq2 2