数学物理方法-第二章

1、第二章、复变函数的积分第二章、复变函数的积分重点重点第二章作业 复变函数的积分是研究解析函数的一个重要工具，本章将介绍复变函数的积分的定义和性质，再介绍Cauchy定理,然后是Cauchy积分公式.利用Cauchy积分公式可以得到高阶导数公式,最后讨论解析函数与调和函数的关系。 下面我们首先先介绍复变函数积分的基本概念。引言引言 2.1 复变积分复变积分一、复变积分的定义一、复变积分的定义图示见课本图示见课本llludyvdxivdyudxdzzf)(复变函数积分公式记住llludyvdxivdyudxdzzf)(复变函数积分公式注意1、如果l为闭曲线，那么沿此闭曲线的积分记做( )lf z

2、dz2、通常用两种方法把复变函数的积分化为实变函数的积分(1)将( )( , )( , ),( )( )llllf zu x yiv x y dzdxidyf z dzf z dzudxvdyi vdxudy代入可得转化为实变积分(2)如果曲线l可以用参数方程z(t)=x(t)+iy(t)表示，则将z(t)以及dz(t)=z/(t)dt代入可得21/( ) ( ) ( )ttlf z dzf z t z t dtt1,t2分别对应于曲线l的起点和终点.(3)复变函数的积分实质上是复平面上的线积分。二、复变积分的性质二、复变积分的性质、例题例题一定要牢记此公式，一定要牢记此公式，只要是闭合的曲线

3、只要是闭合的曲线都成立都成立.补充例题用参数法化为实补充例题用参数法化为实变积分变积分图示见课本图示见课本3 ,4 , 01xt ytt ( )3i4(3 4) , 01z ttti tt 11222001d(3 4i) d(3 4i)d(3 4i)2Cz zt tt t于是于是【解】【解】 直线的方程可写成直线的方程可写成同学们计算同学们计算 ，其中，其中C为从原点到点为从原点到点3+4i的直线段的直线段 dCz z2-2 Cauchy定理定理用用公式法公式法转化为实线转化为实线积分较为简单积分较为简单用公式法求积分一、单连通区域的一、单连通区域的Cauchy定理定理( )()() ( ,

4、)( , )()()()()()(llllslsslsf z dzudxvdyivdxudyQPP x y dxQ x y dydxdyxyvuvuudxvdydxdydxdyxyxyuvdxudyx证明：根据复变函数的定义，可得根据二元实变函数线积分的格林公式可得把上面的闭合围道积分化为面积分-)( )( )0lvdxdyyf zCRf z dz因为函数在单连通区域内解析.由条件，可得上面右端两个积分中的被积函数均为0，所以因为因为f(z)在在B上解析，因而上解析，因而f/ (z)在区域在区域B内连续内连续。即四个偏导数连续，在此条件下应用格林公式。G,uvvuxyxy ,lDldxdyPd

5、xQdylDxyD格林公式：设闭区域 由分段光滑的曲线 组成，函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则有QP(-)其中 是 的取正向的边界曲线。补充格林公式补充格林公式注：同学们只要记住该定理即可，定理的证明不过多要求。关键是单连通区域的柯西定理的运用。1.3CdzCzz2.求积分，其中 为正向圆周被积函数在积分区域内解析，由单连通区域柯西定理得积分为0.例题二、复连通区域的二、复连通区域的Cauchy定理定理图示见课本图示见课本自己自己画图画图复连通区域的单连通化0120)()()()(llllndzzfdzzfdzzfdzzf012( )( )( )( )( )0nlll

6、llf z dzf z dzf z dzf z dzf z dz引申该定理可得引申该定理可得闭复连通区域上的解析函数沿所有内外边界线的正方向积闭复连通区域上的解析函数沿所有内外边界线的正方向积分和为分和为0。其中由。其中由l0及及lk(k=1,2, n)所组成的复合闭路（其方所组成的复合闭路（其方向：向：l0为逆时针，为逆时针，lk为顺时针方向进行。数学表示为顺时针方向进行。数学表示如上面如上面所示。所示。012( )( )( )( )nllllf z dzf z dzf z dzf z dz复连通区域的复连通区域的Cauchy定理公式（牢记）定理公式（牢记）例题：利用例题：利用Cauchy定

7、理计算积分定理计算积分由复连通区由复连通区域的域的Cauchy定理公式定理公式这类例题一定要掌握，图示见课本。常用积分公式常用积分公式补充例题补充例题21,21Cdz Czz计算是圆周2121zziz 12解：在圆内，函数除了外均解析，做两个小圆分别包围这两个奇点的圆周C(圆心为i)C (圆心为-i).由复连通区域的柯西定理，有12112222211111111111122112002022CCCCCCCdzdzdzzzzdzdzdzdziziziiziziiiii在积分区域内解析例题有感： 借助于单连通和复连通区域的柯西定理，有些比较复杂的积分可以化为较为简单的函数的积分来计算它的值，并且经

8、常用到常用积分的公式02,110,1()nlindznzz奇点不在积分范奇点不在积分范围内，则解析围内，则解析 2-3 不定积分与原函数不定积分与原函数证明见课证明见课本，同学本，同学们自己看们自己看四、定积分的例题见课本四、定积分的例题见课本p:27 记住该题的结论记住该题的结论补充例题0izcoszdz求积分00111cossincos ,cos sincos sincos1.1122iizzudvuvvduzzzzzdzzzziiieeeeiei 解：函数在全平面内解析，用分布积分法可求得它有一个原函数所以2-4 Cauchy2-4 Cauchy积分公式积分公式证明：有界区域的证明：有界

9、区域的CauchyCauchy积分公式积分公式注意积分区域边界的正注意积分区域边界的正向向例：有界区域的积分例：有界区域的积分关键是要掌握关键是要掌握Canchy积分公式应用的条件：积分公式应用的条件：f(z)在区域内单值解析，在区域内单值解析，a在区域的内部，积分沿区域的在区域的内部，积分沿区域的正向边界正向边界.izd , :i1;iCezCzz2| | 2d(5)(i)zzzzzi( )zf zeiiii 1d2i2 iizzzzezeez 2( )5zf zz2z 2z 222| | 2i25dd(5)()i1 2i53zzzzzzzzzzizzz 【解解】根据柯西积分公式，得到22|

10、 | 52371( )d2i(371)| 2i(371)zf zzzz故得到故得到 ( )2i(67)fzz1 i( )|( 1 i)2i6( 1 i)7= 122i zfzf 补充例题补充例题2sin114,2122lzdzz计算积分其中l分别为:z+1z-1z12sin(sin)/(1)sin24442.1112zllzzzzdzdziizzz解：1、12sin(sin)/(1)sin24442.1112zllzzzzdzdziizzz2、-1212122211sinsin(sin)/(1)(sin)/(1)44441111sinsin22442 .2 .21122lllllzzllzzz

11、zzzdzdzdzdzzzzzzziiiiizz3、z= 1为奇点，做两个小圆 (z=1)和 (z=-1)。由复连通区域柯西定理- 解析函数的高阶导数公式解析函数的高阶导数公式高阶导数公式高阶导数公式柯西积分公式与高阶导数公式的柯西积分公式与高阶导数公式的使用与注意使用与注意即把f(z)求n阶导数后在a点的值要熟练掌握解题的思路做复变函数积分的步骤：1、复变函数的积分计算，当函数不是解析函数并且积分路径不是封闭曲线时，用公式法或者参数法做。2、当函数是解析函数时，积分与路径无关，可求出原函数。用不定积分公式或者定积分公式做。 对于做封闭曲线的积分，有以下几点：1、先看是否符合单连通区域的柯西定

12、理，如果符合，那么积分为0.2、如果不符合，就找出奇点，画出小圆，由复连通区域的柯西定理，那么积分就等于几个小圆区域的积分之和。然后在利用常用积分公式，单连通区域柯西定理，柯西积分公式和高阶导数公式做题。3、直接利用柯西积分公式和高阶导数公式做题。4、利用复连通区域的柯西定理做积分时，常用到柯西积分公式，高阶导数公式和常用积分公式。即这几种方法要灵活掌握。熟能生巧，一个题可能有几种作法。02,110,1()nlindznzzz0可以为任意的实数 1!,1,2,2nnlfnfzdniz设 f (z) 在区域 B 内解析，在边界 C 上连续，则1. 任意阶导数任意阶导数 在区域 B 内函数 f (z) 的任意阶导数存在，且： 2. 模数原理模数原理 定义在闭区域上的函数 f (z) 的模有界，且只能 在边界上取最大值。了解f(z)4. 中值定理中值定理 若 B 为圆 ，则有：可以参看柯西积分公式zaR 201e2if af aRd5. Morera 定理定理：设函数 f (z) 在区域 B 内连续，且沿区域内任意围线积分为零，则该函数在区域 B 内解析。3. Liouville(刘维尔刘维尔) 定理定理 若 B 为复平面，且z时，f (z) 有界，则 f (z) 必为常函数。, 2211k nnk knkn22222122122| | 1| | 1| | 10021d()d