线性代数考试复习题WORD

1、文档可能无法思考全面，请浏览后下载! 线性代数考试复习题P21例18计算下列行列式 3 1 1 1 1 3 1 1D= 1 1 3 1 。 1 1 1 3解：方法一 3 1 1 1 1 1 1 3 r2r1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 3 1 1 r4 r1 1 1 3 1 r3r1 0 0 2 2 r4r2 0 0 2 2D= 1 1 3 1 1 3 1 1 0 2 0 2 0 2 0 2 1 1 1 3 r3 r2 3 1 1 1 r43r1 0 2 2 8 r4r3 0 0 0 12 1 1 1 3 r2 r3 0 2 0 2 0 0 2 2 =122(12)=48 0 0 0

2、12解：方法二 6 1 1 1 1 1 1 1 r2r1 1 1 1 1 c1c2c3c4 6 3 1 1 1 3 1 1 r3r1 0 2 0 0D 6 1 3 1 =6 1 1 3 1 6 0 0 2 0 =61222=48 6 1 1 3 1 1 1 3 r4r1 0 0 0 2P39P41复习思考题1A a11 a12 a13 2a11 2a12 2a131如果D= a21 a22 a23 ，则 2a21 2a22 2a23 = (3) 。 a31 a32 a33 2a31 2a32 2a33(1)2D；(2)2D；(3)8D；(4)8D。解： 2a11 2a12 2a13 a11 2

3、a12 2a13 a11 a12 2a13 a11 a12 a13 2a21 2a22 2a23 =2 a21 2a22 2a23 =22 a21 a22 2a23 =222 a21 a22 a23 2a31 2a32 2a33 a31 2a32 2a33 a31 a32 2a33 a21 a22 a23 a11 a12 a13 2a11 2a12 2a13D= a21 a22 a23 ， 2a21 2a22 2a23 =222D=8D a31 a32 a33 2a31 2a32 2a33 a11 a12 a13 4a11 2a113a12 a132如果D= a21 a22 a23 =1，则4

4、a21 2a213a22 a23 = (2) 。 a31 a32 a33 4a31 2a313a32 a33(1)8；(2)12；(3)24；(4)24。12 / 12解： 4a11 2a113a12 a13 2a11 2a113a12 a13 2a11 3a12 a13 a11 a12 a13 4a21 2a213a22 a23 =2 2a21 2a213a22 a23 c2c1 2 2a21 3a22 a23 =22(3) a21 a22 a23 4a31 2a313a32 a33 2a31 2a313a32 a33 2a31 3a32 a33 a31 a32 a33 a11 a12 a1

5、3 4a11 2a113a12 a13D= a21 a22 a23 =1， 4a21 2a213a22 a23 =22(3)1=12 a31 a32 a33 4a31 2a313a32 a33 a11 a12 a13 a31 a32 a333如果D= a21 a22 a23 ，则 2a213a31 2a223a32 2a233a33 = (3) 。 a31 a32 a33 a11 a12 a13(1)D；(2)2D；(3)2D；(4)3D。解： a31 a32 a33 a31 a32 a33 a11 a12 a13 2a213a31 2a223a32 2a233a33 c23c1 2a21 2

6、a22 2a23 c3 c1 2 a21 a22 a23a11 a12 a13 a11 a12 a13 a11 a12 a13 a11 a12 a13 a31 a32 a33D= a21 a22 a23 ， 2a213a31 2a223a32 2a233a33 =(2)D=2D a31 a32 a33 a11 a12 a13 3xkyz=0，4如果 4yz=0，有非零解，则k= 1或3 。 kx5yz=0，解： 3 k 1 0 4 1 =34(1) (kk1) 1(5)0 (14k) 1(5)3 (10k) k 5 1 =k24k3=(k1)(k3)k=1或者k=3有非零解。 kx z=0，5

7、当k 2 时， 2xkyz=0，只有零解。 kx2yz=0，解： k 0 12 k 1 = 2k4，k=2。k2时只有零解。 k 2 1B计算下列各行列式 1 2 0 1 1 3 5 01 0 1 5 6 1 2 3 4解： 1 2 0 1 1 2 0 1 r2r1 0 1 5 1 r3 r2 0 1 5 1原式 0 1 5 6 0 0 3 3 =(1137)= 21 r4r1 0 0 3 3 r3 r4 0 0 0 7 1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 1 1 1 1 1解： r2r1 1 1 1 1 r3r1 0 2 0 0原式 0 0 2 0 =1(2)(2)(2)= 8 r

8、4r1 0 0 0 2 1 2 3 4 2 3 4 13 3 4 1 2 4 1 2 3解： r22r1 1 2 3 4 r32r2 1 2 3 4 r33r1 0 1 2 7 r47r2 0 1 2 7原式 0 2 8 10 0 0 4 4 =1(1)(4)40=160 r44r1 0 7 10 13 r4r3 0 0 0 40P87-P89习题241求下列方阵的逆阵 a b(1) c d ，其中adbc0；解： a bA= c d ，A= adbc0，则A可逆，A11=(1)1+1d= dA12=(1)1+2c=cA21=(1)2+1b=bA22=(1)2+2a= a 1 1 A11 A2

9、1 A-1= A*= A A A12 A22 1 d b = ad-bc c a5设n阶方阵A满足A2A2E=O，证明A可逆，且求A-1。证明：当A0时，方阵A可逆A2A2E=OA2A=2E 1A (AE) =E 2AB=BA=E，A是可逆的； 1又AB=BA=E ，则A-1=B，A-1= (AE)。 2P95复习思考题2B5设 2 0 0 A= 0 3 5 0 1 4且AB=AB，求AB。解： AB=AB ABB=A (AE)B=A B=(AE) -1A设AE=C，则B=C-1A 2 0 0 1 0 0 1 0 0C= 0 3 5 0 1 0 = 0 2 5 =65=10 0 1 4 0 0

10、 1 0 1 3 2 5 0 5 0 2C11=(1)1+1 1 3 =1，C12=(1)1+2 0 3 =0，C13=(1)1+3 0 1 =0； 0 0 1 0 1 0C21=(1)2+1 1 3 =0，C22=(1)2+2 0 3 =3，C23=(1)2+3 0 1 =1； 0 0 1 0 1 0C31=(1)3+1 2 5 =0，C32=(1)3+2 0 5 =5，C33=(1)3+3 0 2 =2。 1 0 0 1 0 0C*= 0 3 5 ，C-1=1 0 3 5 0 1 2 0 1 2 1 0 0 2 0 0 120000 100301 100504B= 0 3 5 0 3 5

11、= 0230(5)0 0033(5)1 0235(5)4 0 1 2 0 1 4 02(1)020 00(1)321 00(1)524 2 0 0= 0 4 5 0 1 3 2 0 0 2 0 0 4 0 0AB= 0 3 5 0 4 5 = 0 7 0 0 1 4 0 1 3 0 0 76设4阶方阵A=(A1，A2，A3，A4)，B=(A1，A2，A3，B4)。其中A1，A2，A3，A4，B4都是四元列向量，已知A=1，B=2，求行列式A2B。解：A2B=(A1，A2，A3，A4)2(A1，A2，A3，B4) =(A1，A2，A3，A4)(2A1，2A2，2A3，2B4) =3A1，3A2，

12、3A3，A42B4 =333A1，A2，A3，A42B4 =27(A1，A2，A3，A4A1，A2，A3，2B4)=27(A2B) =27(1)22=817设A为三阶方阵，A*是A的伴随阵，且A=a0，求下列行列式： 1(1) A* ； 3解：A为三阶方阵 1 3原式= A* 3又A*=An1 1 3 a2 = A2= 3 27(2)(2A) -1；解： 1原式= A-1 2A为三阶方阵 1 3= A-1 2 1又A-1= A 1 3 1 1 = = 2 A 8a 1(3) (2A) -1 A* ； 3 1 1解：A为三阶方阵，且A-1= ，A-1= A*，A*=AA-1=a A-1 A A

13、1 1 1 a 1 a 3原式= A-1 a A-1 = A-1 = A-1 2 3 2 3 2 3 1 a 3 1 = 2 3 aP109 0 1 0 a11 a12 a21 a22E(1，2)A= 1 0 0 a21 a22 = a11 a12 0 0 1 a31 a32 a31 a32 1 0 0 a11 a12 a11 a12E(2(k)A= 0 k 0 a21 a22 = ka21 ka22 0 0 1 a31 a32 a31 a32 1 0 0 a11 a12 a11 a12E(3，1(k)A= 0 1 0 a21 a22 = a21 a22 k 0 1 a31 a32 ka11a

14、31 ka12a32 P114例33 1 2 3 2 5设A= 2 2 1 ，B= 3 1 求矩阵X，使AX=B。 3 4 3 4 3解：X= A-1B，(AB) (EA-1B)。 1 2 3 2 5 r22r1 1 2 3 2 5(AB)= 2 2 1 3 1 0 2 5 1 9 3 4 3 4 3 r33r1 0 2 6 2 12r1r2 1 0 2 1 4 r12r3 1 0 0 3 2 0 2 5 1 9 0 2 0 4 6r3r2 0 0 1 1 3 r25r3 0 0 1 1 3r22 1 0 0 3 2 0 1 0 2 3r31 0 0 1 1 3 3 2X= A-1B= 2 3

15、 1 3P116P117习题312求各矩阵的行最简形。(1) 2 1 2 2 1A= 3 1 2 3 0 1 1 3 1 2解： r3 r1 1 1 3 1 2 r22r1 1 1 3 1 2原式2 1 2 2 1 0 1 4 4 3 r2 r3 3 1 2 3 0 r33r1 0 4 7 6 6 17 1 1 0 0 r34r2 1 0 1 3 1 r1r3 9 3 0 1 4 4 3 4 1r1r2 10 6 0 1 0 r39 0 0 1 r24r3 9 3 9 9 10 2 0 0 1 9 3(2) 1 2 2A= 2 1 2 1 1 0解： r1 r3 r1r2 r22r1 1 1

16、0 r2 r3 1 0 2原式 0 1 2 0 1 2 r3r1 0 1 2 r3r2 0 0 0(3) 2 3 1 3 1 2A= 4 2 1 1 1 0 1 0 2解： r5 r1 r4 r2 r23r1 1 0 2 r32r2 1 0 2 r53r3 1 0 0 r34r1 0 1 8 r4r2 0 1 2 r46r3 0 1 0原式 0 2 9 0 0 1 0 0 1 r4r1 0 1 2 r53r2 0 0 6 r22r3 0 0 0 r52r1 0 3 3 r35 0 0 3 r12r3 0 0 0 r1(1)(4) 1 2 1 0 2A= 2 3 3 4 2 1 1 2 4 0解

17、： r3r2 r22r1 1 2 1 0 2 r12r2 1 0 3 8 2 原式 0 1 1 4 2 0 1 1 4 2 r3r1 0 1 1 4 2 r2(1) 0 0 0 0 05求解下列矩阵方程 1 1 1 1(1) 0 2 2 X= 1 ； 1 1 0 2解：X= A-1B，(AB) (EA-1B)。 3 r3r1 r22r3 1 0 0 1 1 1 1 r3r2 1 1 1 1 r1r3 2(AB)= 0 2 2 1 0 2 2 1 1 1 1 0 2 r3(1) 0 0 1 0 r2(2) 0 1 0 r1r2 2 0 0 1 0 3 2X= A-1B= 1 2 0 1 2 3

18、3 0(2) 3 2 4 X= 2 7 ； 2 1 0 7 8解：X= A-1B，(AB) (EA-1B)。 r23r1 1 2 3 3 0 r32r1 1 2 3 3 0 (AB)= 3 2 4 2 7 0 4 5 11 7 2 1 0 7 8 r3r2 0 1 1 2 1 r12r3r24r3 1 0 0 4 5 r3(1) 1 0 0 4 5 0 0 1 3 3 0 1 0 1 2 r1r2 0 1 0 1 2 r2 r3 0 0 1 3 3 r3r2 4 5X= A-1B= 1 2 3 3P135P137例311和例3121求解线性方程组 x1 x23x3 x4=1， x15x29x3

19、8x4=0， 3x1 x23x34x4=4，解： 1 1 3 1 1 r2r1 1 1 3 1 1A= 1 5 9 8 0 0 4 6 7 1 3 1 3 4 4 r33r1 0 4 6 7 1 3 3 5 1 0 r24 2 4 4 3 7 1r1r2 0 1 r34r2 2 4 4 0 0 0 0 0R(A)= R (A)=24方程组有无穷多解 3 3 5 x1 x3 x4= 2 4 4 3 7 1 x2 x3 x4= 2 4 4设x3=2k1，x4=4k2，得： 5 x1=3k13k2 ， 4 1 x2=3k17k2 ， 4 x3=2k1， x4=4k2。得通解： 5 x1 3 3 4

20、1 x2 = 3 k1 7 k2 (k1，k2R) 4 x3 2 0 0 x4 0 4 02取何值时，线性方程组 x1 x2 x3= 1， x1x2 x3=， x1 x2x3=2有唯一解？有无穷多解？无解？解：方法2 1 1A= 1 1 =(1)2(2)。 1 1 当1且2时，A0，方程组有唯一解；当=1时 1 1 1 1 r3r1 1 1 1 1 A= 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 r2r1 0 0 0 0 A=0，R(A)= R(A)=13，方程有无穷多解；当=2时 2 1 1 1 r1 r3 1 1 2 4 r32r1 1 1 2 4A= 1 2 1 2 0 3 3 6

21、 0 3 3 6 1 1 2 4 r2r1 2 1 1 1 r3r2 0 0 0 3R(A)=2R (A)=3，方程组无解。P140P141习题331判别下列线性方程组是否有解；若有解，求出它的通解。 4x12x2 x3=2，(1) 3x1 x22x3=10， 11x13x2 =8；解： 4 2 1 2 r1r2 1 3 3 8 r311r1 1 3 3 8 A= 3 1 2 10 0 10 11 14 0 10 11 14 11 3 0 8 r23r1 11 3 0 8 r33r2 0 0 0 116 R(A)=2R (A)=3，方程组无解。 2x1 x2 x3x4=11，(2) 4x12x

22、22x3x4=2， 2x1 x2 x3x4=1；解： r22r1 2 1 1 1 11 r3r1 2 1 1 1 11 A= 4 2 2 1 2 0 0 0 1 20 2 1 1 1 1 r32r2 0 0 0 0 30 R(A)=2R (A)=3，方程组无解。 2x13x2 x3= 4，(3) x12x24x3=5， 3x18x22x3= 13， 4x1 x29x3=6；解： r1 r2 r32r2 2 3 1 4 r22r1 1 2 4 5 r4r2 1 0 2 1 A= 1 2 4 5 0 7 7 14 0 1 1 2 3 8 2 13 r33r1 0 14 14 28 r27 0 0 0 0 4 1 9 6 r44r1 0 7 7 14 r12r2 0 0 0 0 R(A)=R(A)=23，方程组有无穷多解 x1=2 x31， x2= x32， x3