2020届河南省郑州市高考数学三模试卷(理科)有答案(已审阅)

1、/2019年河南省郑州市高考第三次模拟考试数学试卷（理科）项是符合题、选择题：本大题共 12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有目要求的.1 .设命题 p: ? x>0, log 2X2x+3,贝p为（）A.? x>0, log2X>2x+3B.?x>0, log 2X>2x+3C.? x>0, log2x< 2x+3D.?x<0, log 2x>2x+32 .已知复数 m=4- xi , n=3+2i ,若复数- RR,则实数x的值为（）niA. - 6 B. 6 C.D.-：33223.已知双曲线 1+上一=1,

2、焦点在y轴上，若焦距为4,则a等于（）a-3 2-a31A.B. 5 C. 7D.224.已知9cos（-2 日）工irA.B. C.3D.5.设集合A=x 1, x2x3x4xi - 1 , 0, 1, i=12,4,那么集合A中满足条件“2222X 1 +x2 +x3 +x4/w 3”的元素个数为（A. 60 B. 65C.80D.816.如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（K+y-607 .设实数x, y满足 *+2yT4<0,贝U 2xy的最大值为（）2x+y-10=C 0A. 25 B. 49C. 12 D. 248 .已知等比数列an,且a6+a8= J和16-/七

3、,则a8 (a4+2a6+a8)的值为()A.兀 2 B. 4712 c. 8兀 2 D. 16 兀 29 .若实数 a、b、cC R+,且 ab+ac+bc+2旗二6-”，贝U 2a+b+c 的最小值为()A.r 'B.C 工 D.2210.椭圆幺+2_=1的左焦点为F,直线x=a与椭圆相交于点 M N,当 FMN的周长最大时， FMN的面积5 4是()A _1 B，- C.D ” 三555511.四面体 A- BCD中，AB=CD=10 AC=BD=2与，AD=BC=2/,则四面体 A- BC3卜接球的表面积为 ()A. 50 兀 B. 100 兀 C. 200 兀D. 300 兀

4、212.设函数 f(x)满足2x2f(x)+x3f(x)=ex,f (2)=J_,则 xC,求函数 h (x)的最小值；8(2)对任意 x C = cos (-+2 0 ) =-cos2 (+0 )=-=-,解得： sin 2 (-+ 0 ) ,36969故选：B.5.设集合 A=x 1, x2, x3, x4, xi - 1, 0, 1, i=1 , 2, 3, 4,那么集合 A中满足条件"x i2+X22+X32+X42w 3”的元素个数为（）A. 60 B. 65C. 80D. 81【考点】1A:集合中元素个数的最值.【分析】将x的取值分为两组：M=0, N= - 1, 1,

5、A中的四个元素中有 1个取值为0, 2个取值为0,个 取值为0, 4个取彳1为0,进行分类讨论，由此能求出集合A中满足条件“x i2+X22+X32+X42W3”的元素个数.【解答】解：集合A=xi,X2,X3,x4,x« 1, 0, 1, i=1 ,2,3, 4,集合 A满足条件 "x i2+X22+X32+X42W3”，设 M=0, N= - 1 , 1,A中的四个元素中有1个取值为0,另外3个从M中取，取法总数有：C；X 2、=32 ,A中的四个元素中有 2个取值为0,另外2个从M中取，取法总数有：2工=24 ,A中的四个元素中有 3个取值为0,另外1个从M中取，取法

6、总数有：C；X 2 =8 ,A中的四个元素中有 4个取值为0,取法总数有：C； =1,.集合A中满足条件“x 12+X22+X32+X42 W3”的元素个数为：32+24+8+1=65.故选：B.6 .如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）CA.B.D.【考点】L!:由三视图求面积、体积.【分析】由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体.【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体.这个几何体体积 V蒋 X 7T X 12X 1+j-X （亚）2X 2=2+二. ,占乙乙故选：A.算+产-6>07 .设实数x, y满足, "2yT4

7、<0,贝U 2xy的最大值为（）12x+yT04 0A. 25 B. 49 C. 12 D. 24【考点】7C:简单线性规划.【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可.【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知y< 10- 2x,则 2xyW2x （10-2x） =4x （5-x） < 4 （工）2=25,当且仅当x=1, y=5时，取等号，经检验（W 5）在可行域内，故2xy的最大值为25,故选：A.8 .已知等比数列an,且a6+a8= f / 16r'd工,则as (a4+2a6+a8)的值为()A.兀 2 B. 4712 c.

8、8兀 2 D. 16 兀 2【考点】67:定积分.【分析】先根据定积分的几何意义求出a6+a8= J i6r2d£=4兀,再根据等比数列的性质即可求出.【解答】解：J表示以原点为圆心以 4为半径的圆的面积的四分之一，故 a6+a8= J工2(=4兀, a8 (a4+2ae+a8)=a8a4+2a8a6+a8 =a6 +2a8a6+a8 = (ae+aa) =16 兀.故选：D9 .若实数 a、b、cC R+,且 ab+ac+bc+25$-,贝U 2a+b+c 的最小值为()A ： 'B.C 45 r D 飞月二【考点】RR 一般形式的柯西不等式.【分析】因为(2a+b+c)

9、2=4a2+b2+c2+4ab+2bc+4ca,与已知等式比较发现，只要利用均值不等式b2+c2>2bc即可求出结果.【解答】解：= ab+ac+bc+2 诉=6-叁'，a2+ab+ac+bc=6 2在(6-2/)x 4= (a2+ab+ac+bc) x 4=4a2+4ab+4ac+4bc< 4a2+4ab+b2+c2+4ca+2bc= (2a+b+c) 2,所以 2a+b+cR2加-2,故选D.2210 .椭圆工一+? =1的左焦点为F,直线x=a与椭圆相交于点 M N,当 FMN的周长最大时， FMN的面积5 4)Ws Wf 蛎B z C.D.【考点】K4:椭圆的简单性

10、质.【分析】设右焦点为 F',连接MF , NF ,由于|MF |+| NF | > |MN| ,可得当直线x=a过右焦点时，FMN的周长最大.c而力=1 .把c=1代入椭圆标准方程可得：上=1 ,解得y,即可得出此时 FMN勺5 4面积S.【解答】解：设右焦点为F',连接MF , NF' , | MF |+| NF | > |MN|,当直线x=a过右焦点时， FMN勺周长最大.由椭圆的定义可得： FMN的周长的最大值=4a=4脏.c=4=1把c=i代入椭圆标准方程可得：工H =1 ,解得y=±-5寸V5此时 FMN勺面积SX2X2xg=®

11、;5.2 V5 5故选：C.11.四面体 A- BCD中，AB=CD=10 AC=BD=27稻，AD=BC=M五，则四面体 A- BCD7卜接球的表面积为 （）A. 50 兀 B. 100 兀C. 200 兀 D. 300 兀【考点】LE:棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABC而四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10, 2痴,2山五为三边的三角形作为底面，且以分别为x, y, z,长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x, y, z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积.【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到

12、四面体ABCD勺四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以io, 2，前，2yl为三边的三角形作为底面，且以分别为x, y, z,长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x, y, z的长方体，并且 x2+y2=100, x2+z2=136, y2+z2=164,设球半径为 R,则有（2R） 2=x2+y2+z2=200,-4R2=200,，球的表面积为 S=4tt R2=200兀.故选C.2i x x12.设函数 f(x)满足2x2f(x)+x3f(x)=ex,f(2)=e,贝U x =e2-=J_(x 2),8xx当 xC_.【考点】9H:平面向量的基本定理及其意义

13、.【分析】根据题意画出图形，结合图形，设外接圆的半径为r,对而=p+q标两边平方，建立p、q的解析式，利用基本不等式求出p+q的取值范围.冗【解答】解：如图所示， ABC中，/ Ar，/ BOC-;设I赢日mI二|充=,则O为 ABC外接圆圆心;酊OM=POB+q 而匕；=；口0£-二：=r；即 p2r2+q2r2+2pqr 2cos-=r1- p2+q2- pq=1 , . . (p+q) 2=3pq+1;又M为劣弧AC上一动点,0< p< 1, 0<q< 1,1- p+q>2/p<,!一 ： J二1< ( p+q) 2< (p+q)

14、 2+1,解得 1 & ( p+q) 2< 4,1< p+qW2;即p+q的取值范围是.故答案为：.三、解答题(本大题共 7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.在ABC 中，角A、BC 所对的边分别是a、b、c,已知 sinB+sinC=msinA(mC R,且a2 -4bc=0.(1)当 a=2,5吁4时，求b、c的值;(2)若角A为锐角，求m的取值范围.【考点】HR余弦定理.【分析】(1) sinB+sinC=msinA (mC R),利用正弦定理可得:b+c=mq 且 a2 - 4bc=0. a=2航宁时，代入解出即可得出.(2)利用余弦定

15、理、不等式的解法即可得出.【解答】解：(1)由题意得b+c=mq a2-4bc=0.当 a=2t up时，b+c=?，bc=1 ,解得b=21或，c=2 -2 2l 222 /i u v 2 rt* 2 ma.b +c a b+c) -2bcaa22bc2bc2一二 2m2-3L0, 1).2，晟又由b+c=ma可得m>0,所以.1218.为了研究学生的数学核素养与抽象(能力指标x)、推理(能力指标y)、建模(能力指标z)的相关性,并将它们各自量化为 1、2、3三个等级，再用综合指标 w=x+y+z的值评定学生的数学核心素养；若w>7,则数学核心素养为一级；若 5<w<

16、 6,则数学核心素养为二级；若 30加4,则数学核心素养为三级，为了 了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：学生编号AA2A3A4AA6AA8AA10(x, y,(2, 2,(3, 2,(3, 3,(1, 2,(2, 3,(2, 3,(2, 2,(2, 3,(2, 1,(2, 2,z)3)3)3)2)2)3)2)3)1)2)(1)在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；(2)从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a,从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b,记随机变量 X=a- b,求随机变量X的分布列及

17、其数学期望.【考点】CH离散型随机变量白期望与方差；CG离散型随机变量及其分布列.【分析】(1)由题可知：建模能力一级的学生是外；建模能力二级的学生是X,A4,A5,A,Aio;建模能力三级的学生是 Ai, A3, A6, As.记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A,利用互斥事件与古典概率计算公式即可得出，P(A).(2)由题可知，数学核心素养一级：A,A2,X,A5,A6,隧,数学核心素养不是一级的：A4,a,A9,Ao;X的可能取值为1, 2, 3, 4, 5.利用相互独立事件、互斥事件与古典概率计算公式即可得出P (X=k)及其分布列与数学期望.【解答】解：(1)由题可知：建模能力

18、一级的学生是A;建模能力二级的学生是A2,A4,人,A7,A10；建模能力三级的学生是 A, A3, A6,隧.记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A,1645(2)由题可知，数学核心素养一级Al,A2,A3,A5,A6,A8,数学核心素养不是一级的：A4,A,A),A10;X的可能取值为1 , 2 ,c"； I3 , 4 , 5. p(x=l)=T4下 ； P(X=2)=匕5 JP(X-3)=7C；C；+C；C； i狎；P(X=4)=二五；P(X=S)=X12345P1117711IL24前囱124；，随机变量X的分布列为:17EX=1X 宁+2X 壶”724+4乂含+5>

19、;<o工二名24-129 It19.如图，在四边形 ABCD, AB/ C口 / BCD3四边形ACFE为矩形，且CFL平面ABCD AD=CD=BC=CF(1)求证：EFL平面BCF;(2)点M在线段EF上运动，当点 M在什么位置时，平面 MABW平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二 面角的余弦值.【考点】MT二面角的平面角及求法；LW直线与平面垂直的判定.【分析】(1)在梯形ABCM,设AD=CD=BC= 1由题意求得AB=2,再由余弦定理求得 AC2=3,满足AB=AC+BC2,得则BC! AC再由CFL平面ABCD导AC! CF,由线面垂直白判定可得 ACL平面BCF.进一步得

20、到 EFL平面BCB分别以直线 CA CB CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 AD=CD=BC=CF=1令 FM=X (04£的)，得到C, A, B, M的坐标，求出平面 MAB的一个法向量，由题意可得平面 FCB的一 个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当 入=0时，cos 0有最小值为 华,此时点M与点F重合.【角军答】(1)证明：在梯形 ABCM,AB/ CQ设AD=CD=BC=,1/2九又 ZBCD=-,AB=2,AC2=AB2+BC2- 2AB?BC?cos60 =3.AB2=AC2+BC2,则 BCJ_ AC C。平面 ABCD AC?平面

21、ABCD .AdCF,而 CFn BC=C .AC!平面 BCF EF/ AC, .EFL平面 BCF，（2）解：分别以直线 CA CB, CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设 AD=CD=BC=CF=1 令 FM=X （ Q 1k无），则 C （0, 0, 0）, A（加, 0, 0）, B （0, 1, 0）, M（入，0, 1）,，屈= L 军，1，0），谛（入 , T，1），设；=（x, y, z）为平面MABB勺一个法向量，；焦项43"y=0 一付 nBM = 0、x-y+z=O,取 x=1,则二（1,比，、R-K），宗（1, 0, 0）是平面FCB的一个

22、法向量, cos< n, n> =n-mIn I I m I /+3+ （炳-X）2 * 1 寸（%2+4，点M与点MD20.已知圆G : x2+y2=r2 （r >0）与直线相切，点A为圆C1上一动点,AN! x轴于点N,且0入 止,，当入=0时，cos 0有最小值为 半,F重合时，平面 MABW平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为动点M满足而+24=（26-2）65,设动点M的轨迹为曲线C.（1）求动点M的轨迹曲线C的方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点 P、Q且满足以PQ为直径的圆过坐标原点 O,求线段PQ长度的取 值范围.【考点】KR圆锥曲线的范围问

23、题；J3:轨迹方程；KL:直线与椭圆的位置关系.【分析】（1）设动点M （x, y） , A （x0, v。），由于AN!x轴于点N.推出N （x0, 0）.通过直线与圆相切，求出圆的方程，然后转化求解曲线C的方程.(2)假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m,设P (xi, yi), Q (x2, y2),联立直线与椭圆方程,结合韦达定理，通过而前二C，以及弦长公式，利用基本不等式求出范围.若直线l的斜率不存在，设OP所在直线方程为y=x,类似求解即可.【解答】解：(I )设动点M (x, y), A(X0, y(o),由于AN!x轴于点N.，N(X00).又圆5：工2+V2二与直线1

24、o ；x+""V5 即支= c 相切，3代| _圆 C ： J+v，=9.由题意，而+2标工(2泥-2)不，得(心6+2(工七o，y-y0) = C2V2-2)(x0r。), (3x-2x0. 3y-2yQ) = (2V2-2)xQ 。).3K_3y将：知22堂)代入x2+y2=9,得曲线C的方程为 jj1d84(II ) (1)假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m,设P (xi, yi), Q (x2, y2),x2+4kmx+2m 8=0.- 2m：% /*、t X 9n-()1 2 1+2k2y=kx+n联立” : / ，可得(1+2k2)1 124 1由求根

25、公式得0+ 乂以二一?1 - 1+21?以PQ为直径的圆过坐标原点 O,0P10Q 即而*xix2+yiy2=0.即. .xix2+ (kxi+m) (kx2+m)=0.化简可得，(M+】)工演工+km (町+ X2)+ m2=0.2 2将(*)代入可得 3m .一W 二c,即 3m2-8k2-8=0.l+2kz即小叫垃，又同二百 町1毋押吸迎3l+2kz.当且仅当白二处:即卜二十坐时等号成立.又由 与_丁)。，网|>、匡二手,M- 21+41?+4k21 ' V 33多屋 |PQ|<2姓(2)若直线l的斜率不存在，因以 PQ为直径的圆过坐标原点 O,故可设OP所在直线方程

26、为y=x,联立，/ / 解得p(呼L, 2不),同理求得q(呼制号故|PQl二邛 综上，得华<|PQ|<2注 0021.已知函数 f (x) = (x+a) ln (x+a),g (x)2 +axx.(1)函数 h (x) =f (ex-a) +g' (ex), x ,求函数 h (x)的最小值;1 +汽(2)对任意xC上h' (x) > 0, h (x)递增，h (x)的最小值为h(-l)=a当1va 1v1 即 0vav2 时，在 xC 上 h' (x) < 0, h (x)为减函数，在在 x C 上 h' (x) > 0, h

27、 (x)为增函数.h (x)的最小值为 h (a-1) = - ea+a.当 a - 1> 1 即 a>2 时，在上 h'(x)<0,h(x)递减，h(x)的最小值为 h (1) = (1 - a)e+a.综上所述，当aw。时h (x)的最小值为&上包，当0vav2时h (x)的最小值为-ea7+a,当a> 2时，he(x)最小值为(1-a) e+a.(II )设 F(k)二玲-as，F'(x) =ln (x 1) +1+a (x1) (x> 2).F (x)的最小值为F (2) =0,当 a>0 时，在 xC 2 , +8)上 F&

28、#39; (x) >0, F (x)在 xC 2 , +8)递增,不可能有 f (x-a-1) - g (x) W0.当1时，令F"二台西0,解得:F"F' (x)在2, +8)上递减.< F' (x)的最大值为 F' (2) =a+1<0, F (x)递减.F (x)的最大值为 F (2) =0,即 f (xa 1) g(x)w0 成立.当1vav 0 时，此时 2<1，当犬 E (2, l'"4,F" (x) >0, F' (x)递增，当 (12，+8) aaa时，F'' (x) v 0, F' (x)递减.(k)二 F (1)= ln (a) > °，又由于 F' =a+1>0,，在 x6 12, 1-)上 F' (x) >0, F (x)递增，又 F=0,所以在kE 2, 1 -)± F (x) >0,显然不合题意. a综上所述：a< - 1.22 .以直角坐标系的原点。为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程为可E” (t为参数,0V 0 V兀)，曲线C的极坐标方程为P sin2。- 2COS0 =0.