2020届湖南省长沙市湖南师大附中高三高考模拟数学(文)试题Word版含解析

1、2020届湖南省长沙市湖南师大附中高三高考模拟数学(文)试题一、单选题1.设A、B是两个非空集合，定义集合 A B x|x A且x B ,若A x N|0 x 5 ,.2_. _一Bx|x7x100,则 AB ()A.0,1B,1,2C.0,1,2D.0,1,2,5【答案】D【解析】由题意可得：A 0,123,4,5 ,B x|2 x 5 ,结合题中新定义的集合运算可得：A B 0,1,2 5.本题选择D选项.112 .已知a、b是实数，则“ a2b ab2”是“11”的()a bA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：若潴，即/

2、占-则/空4一！、0,显然。工0力hO ,所 b a以工一一:。，即一二£,即口寸 白白一是一 丁的充分条件；若一,即一一二式。,显然 b aa ba ba b a b口 HO力=。，则口%二1-3一0,即口，券也T ,所以是的必要条件.故应选C. a ba b【考点】充分条件与必要条件.3 .已知数列an是等比数列，数列bn是等差数列，若a2 a6/ 30, “ b6 bl1 7 ,则tan b2 b10 的值是()1 a3 为A. 1B. qC.D. . 3【答案】D【解析】根据等比数列和等差数列的性质求得 法和b6,同时利用下标和的性质化简所求式子,可知所求式子等价于tan,利

3、用诱导公式可求得结果3【详解】Qan是等比数列a2a6a10a33J3b6Qbn是等差数列bib6b113b6714b2 bio2b6T7tan 一 3tan tan2 tantan 1 a3 a91 a61 33本题正确选项：D【点睛】本题考查等差数列、等比数列性质的应用，其中还涉及到诱导公式的知识，属于基础题4 .某校为了解本校高三学生学习的心理状态，采用系统抽样方法从困口人中抽取口人参加某种测试，为此将他们随机编号为LZ-,800,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的 号码为?抽到的4。人中，编号落在区间U3D0的人做试卷再，编号落在L.560的人做试卷",其余的人做试卷

4、 ; 则做试卷。的人数为（）101213B . C28- 300 - 40= 20【解析】，【答案】B ,由题意可得抽到的号码构成以I®为首项，以小为公差的等差变 e 口止5MA、3七八一、, tin = 18 + 20（n 1） = 20n 2 .56LSOO g i列，且此等差数列的通项公式为1,落入区间的人做问 卷由561c "印。，即孙工父印乙解得田正兰其闩的酬再由比为正整数一/日 29 < n < 40, “心上40 29 + 1 = 12_可得，做问卷的人数为，故选B.5 .执行如图的程序框图，则输出的 值为（）/愉也/n K网十I是9_ 1A. 1

5、 B . ' C . 鼻 D . 0【答案】DCia 1I -n I ji 2O19eS = cosO + cos-HF cos-F + cos【解析】由图知本程序的功能是执行333COSO + CO5 T + cos = + cos317 . 4 ITT+cosT此处注意程序结束时无=即由余弦函数和诱导公式易得:4- cos = 02020 = 336 X6-43,周期为，S = cosO + cos-+ cos -+ + msw* = 356 *0+1 + +一巳一L = 0333226.多面体""叫底面。为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视

6、图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则 的长为 （）后 遍 通 22A.B . C . D .【答案】C【解析】试题分析：如图，分别是勺中点，由正视图可知MM = 2,CF=4由侧视图可知多面体的高为2,BC= 2FK 二 L MF 二 d# +-F = 5 .所以J（西）三 +12 =【考点】空间几何体的三视图上的图7,下图是函数" = 4（， + *） （MEK,心0, 3）。 二）在区间L G象，为了得到这个函数的图象，只需将 产 岫"jER）的图像上所有的点（）A.向左平移8个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变rr1B.向左平移&

7、个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变rrC.向左平移m个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变rt1D.向左平移 ,个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变【答案】DT=2=2tt ®【解析】由函数图象可得：6 g ，则x=-l当 &时:=2fc JT + -3中或+ p= 2 X ( - -) + = 2knr g?令*可得： "M 函数的解析式为:y= si»(2r +6由函数图象的平移变换和伸缩变换的知识可得:将y= 5的，（上飞用的图象上所有的点向左平移万个单位长度，再把所得各点的横坐标缩

8、短到原iy = sin（2r + -）的图象.来的、纵坐标不变即可得到3点睛：由y = sin x的图象，利用图象变换作函数 y = Asin（x+（|）（A>0,>0）（xCR）的 图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区别.先平移变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|小|个单位；而先周期变换（伸缩变换） 再平移变换，平移的量是"个单位.1、= Iniz = 5F8.设A.工<”/ b . Vd c JW d . e<【答案】C【解析】分析：由*求出式的表达式，先比较蒐'的大小和范围，再求出石的范围，根据它

9、们不同的范围，得出它们的大小。详解：由31有JT = log32-=I0管- = 10£2* 一 ，因为2 > 1。助3 > log* > 12 > ->1工F工 .，而U,选 C.L一士111z = 5 s = -j-= < -7遥 '所以点睛：本题主要考查比较实数大小，属于中档题。比较大小通常采用的方法有：（1）同底的指数或对数采用单调性比较；（2）不同底的指数或对数采用中间量进行比1较，中间量通常有0,1 ,等。9.已知平面 I平面 直线l ,点A、C ，点B、D ，且A、B、C、D l ,点M、N分别是线段AB、CD的中点，则下列说

10、法正确的是（）A.当|CD| 2 AB时，M、N不可能重合B. M、N可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C.当直线AB、CD相交，且AC/1时，BD可与l相交D.当直线AB、CD异面时，MN可能与l平行【答案】B【解析】根据直线与直线的位置关系依次判断各个选项，排除法可得结果.【详解】A选项：当|CD| 2 AB时，若A,B,C,D四点共面且ACBD时，则M,N两点能重合，可知A错误；B选项：若M,N可能重合，则AC/BD ,故AC/l ,此时直线AC与直线l不可能相交，可知B正确；C选项：当AB与CD相交，直线AC/l时，直线BD与l平行，可知C错误；D选项：当AB与CD是异面直线时，M

11、N不可能与l平行，可知D错误.本题正确选项：B【点睛】本题考查空间中直线与直线的位置关系相关命题的判断，考查学生的空间想象能力x y 010 .若存在实数x, y使不等式组x 3y 2 0与不等式x 2y m 0都成立，则实数m的取 x y 6 0值范围是（）A. m 0 B.m3 C.m1 D.m3【答案】B【解析】由题意作出其平面区域，x 2y m 0表示了直线上方的部分，故由y,解得 x=3, y=3,所以3-3X2+rnC 0,解得存3.本题选择B选项.-jztrt 2 3 4 5、1x+f-6-O点睛：简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问

12、题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题.而逆向求参数问题, 是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值.若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所 经过的可行域内的点（即最优解），将点的坐标代入目标函数求得参数的值.0,b 0的一条渐近线为l ,圆C:x22，、“y b 4与l父于弟2211 .已知双曲线yY 1 a a b象限A、B两点，若 ACB ,且OB| 3OA,其中。为坐标原点，则双曲线的离心率为（） 3A"B爪33C ”D.商53【答案】D【解析】根据 ACB 一可知 ABC是等边

13、三角形，从而可求得OB和OA ；在 OBC , OAC 3中，利用余弦定理可构造出关于b的方程，解出b ;利用圆心到渐近线的距离为 V3即可得到a,c的关系，从而求得离心率【详解】双曲线 勺 41 a 0,b 0的一条渐近线为：y bx a ba圆C:x2 y b 2 4的圆心坐标为0,b ,半径为2Q ACB ABC是边长为2的等边三角形3AB 2,圆心到直线y bx的距离为 a又 AB OB OA 2 OAOB 3cos BOC圆心到直线OAC中，由余弦定理得:-2,2, 2/cos AOC、解得：b 后bab一x的距离为73,有：/ 22aa bab 、.3cc 7e a 3213本题正

14、确选项:【点睛】 本题考查双曲线离心率的求解，关键是能够通过余弦定理求得b,利用点到直线距离构造出a,c 的关系式，从而得到离心率.1 ,且对任意的实数x, y R ,等式12.已知函数y f x的定义域为R,当x 0时f1Lf x f y f x y成立，若数列an满足f an 11 n N ,且 a1 f 0 ,则下1 an列结论成立的是（）A f a2016 f a2018B. f a2017f a2020C f a2018 f a2019D.f a2016f a2019【解析】通过赋值可求得1且当x 0时，0x 1 ；利用单调性的定义可判断出函数单调递减；根据f an 1,f an 1

15、 an1 an,11,、，一f0可得an1利用递推关系式可知数列an是以3为周期的周期数列，进而可得各个自变量的具体取值，根据函数单调性判断出结果.0, y1,则f0时，f x0时,令y当x 0时,令X2X1 ,则 X2x1 >0X1 f X2 X1f x2X2f X1X2X10,1X在R上单调递减anan 1 ff1 anan11 an111an，a212;令n2,a323,a4 1数列an是以3为周期的周期数列a2016a32 ,a2017al1 ,a2018a2a2019a32,a2020al 1在R上单调递减f a2016f a2018 , f a2017fO2020f a201

16、8f a2019,fa2016f a2019本题正确选项：A【点睛】本题考查抽象函数性质的应用、根据递推关系式确定数列的周期问题 .关键是能够通过赋值法 求得特殊值，利用单调性的定义求得函数单调性并得到递推关系式， 通过递推关系式得到数列 的周期性，难度较大.二、填空题,rr一 rr. ，一 r.r13 .已知a 3,4, b t, 6,且a, b共线，则向量a在b方向上的投影为.【答案】5【解析】根据向量共线求得t ；再利用r a cosa,babb求得结果.【详解】r . r .9由a与b共线得：36 4t 0,解得：t 929 rr r 3-46r r r r ra b2向量a在b方向上

17、的投影为：a cos a,b 方 2=本题正确结果：5 【点睛】,一一,、 ，一 r . r 一，一本题考查向量共线定理、向量a在b方向上的投影的求解问题，属于基础题14 . ABC的内角A, B,C的对边分别为a,b,c,已知V3 acosC ccosA b, B 60 ,则A的大 小为.【答案】75【解析】 由亚acosC ccosA b ,根据正弦定理得 V3 sinAcosC sinCcosA sinB ,即x3sin A C、32，-1 -sin A C ,A C 30 , 26又因为 A C 180 B 120 ,所以 2A 150 ,A75故答案为75 .15.已知点A 2,0、

18、B 0,2 ,若点C是圆x2 2ax y2 a2 1 0上的动点，ABC面积的最 小值为3 V2,则a的值为【答案】1或5【解析】根据圆的方程可得圆心和半径;根据 A,B坐标可得直线AB;利用点到直线距离公式可求得圆上的点到直线距离的最小值 d%2 1;利用ABC面积的最小值构成关于a的方程，解方程求得结果.【详解】2由题息知，圆的标准方程为：x ay2 1 ,则圆心为a,0，半径r 1又A 2,0 , B 0,2 ,可得直线AB方程为:x 丫 1 ,即 x y 2 02 2圆心到直线AB的距离：d则圆上的点到直线AB的最短距离为：d ra 2|21又 AB| ，4 4 272S ABC mi

19、n 2 |ABd r 版与夕 1解得：a 1或5本题正确结果：1或5【点睛】本题考查圆上的点到直线距离的最小值的应用,关键是能够明确最短距离为d r ,从而利用面积的最值构造方程.16,已知函数,"LT-为自然对数的底数）与"8 =2膜的图象上存在关Y于 轴对称的点，则实数 的取值范围是【答案】Q） = m - / （L M h，4百w =?inr【解析】因为函数口为自然对数的底数）与"I幻 川口）的图象上存在了，一*- x2 =- 21rLrm = 2 nx x21-,e,在L*上有解，设r=2瓜,一好求导得外幻三二一上付=1有唯关于'，由对称的点，等价

20、于在上单调递增，在比目上单调递减，="1）=T=2 I fg）Mf G）汽工）士,的值域为12一£"故方程一"2&7在Q上有解等价于"Y 1,从而小的取值范围是U'/_ 21,故答案为He .为解答题17,已知数列凡）前”项和为鼠，以=2 ,且满足又一科二十 （圮EW*）.（1）求数列1心）的通项公式;（2）设以=（4nT*，求数列协的前九项和门2 r M = 1【答案】（1）3强+L n>2-2+(加 2),3昨+2M；(2)''S口 n +1 '-J 0【解析】（I）利用”的递推公式，求得的关系

21、式；再通过构造辅助数列的方法求数 列"的通项公式，最后注意对n=1是否满足数列凡的通项公式进行讨论。（n）数列伯"）为等差数列乘以等比数列，根据错位相减法求数列 伯的前"项和兀。【详解】(I)5r =冯心+nH-1 =；-十（丸一1）(n12)对 i江 n = 7fln+l即小广区25之2）,即7 a"7 1 王 4,当的"时，出=2 , e&_1）以电_1=1为首项，3为公比的等比数列，；册1 = 1 , 3" 一，即汽=寸+ 1Tt2n = 131vz + 1 n > 2(n ) %=3-2)*l (4吟 Gf 尸

22、+ C4B-2)讨.一一一%；=2，31 + 63工 + (4n-6)3n-1+(4n-2)3fl-»由一得，一为 j型+4 （3” +犷）一（4一）3 工货(4月-2+ 0n,二丁4=2 + (加一 2) 3" + =2+ (2n -2)-3n +2n2上【点睛】本题考查了利用递推公式和构造辅助数列的方法求数列的通项公式，并利用错位相减法求数列的前n项和，注意计算要准确，属于中档题。18.如图所示，四棱锥 P ABCD ,底面ABCD为四边形，AC BD , BC CD, PB PD , 平面 PAC 平面 PBD , AC 2忑3, PCA 30 , PC 4（1）求证

23、：PA平面ABCD;（2）若四边形ABCD中，BAD120 , AB BC, M 为 PC 上一点，且MMC2，求三棱锥M PBD体积.【答案】（I ）证明见解析（H ） 必【解析】(I )根据题意，设AC BD O ,连接PO ,易证PA BD ;再在三角形PAC中应 用余弦定理证明PA AC ,进而可证PA 平面ABCD。 PM2(H)根据 2可知点M到平面PBD的距离是点C到平面PBD的距离的-，因而可先MC3求得Vp BCD ； Vp BCD的体积可利用等体积法求得。【详解】(I)设 AC BD O,连接 PO,QBC CD, AC BD ,。为 BD 中点又Q PB PD , PO

24、BD , Q平面PAC 平面PBD ,平面PAC 平面PBD POBD 平面 PAC , PA 平面 PAC PA BD在PCA中，由余弦定理得PA2 PC2 AC2 2PC ACcos30oPA2 16 12 2 4 2向4,而 PA2 AC2 PC2 2PA ACPA BD PA 平面 ABCDBD AC O PM2(H )因为 2 ,可知点M到平面PBD的距离是点C到平面PBD的距离的-,MC322 .0Vm PBD -Vc PBD -Vp BCD ,在四边形 ABCD 中， BAD 120 , AB BC, 33则 BAC 600, AB ACsin300 后 BC 3,则 SBCD

25、32 妪,44Vm pbd-Vp BCD3【点睛】 本题考查了立体几何线面垂直的证明，等体积法在立体几何中的简单应用，属于基础题。19.某公司计划购买1台机器，且该种机器使用三年后即被淘汰.在购进机器时，可以一次 性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次50元.在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数， 则每维修一次需支付维修服务费用 500元，无需支付小费.现需决策在购买机器时应同时一 次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期间的维修次数，得如下统计表：维修次数89101112频数102030

26、3010记X表示1台机器在三年使用期内的维修次数，y表示1台机器在维修上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的维修服务次数.(1)若n 10,求y关于x的函数解析式；(2)若要求“维修次数不大于n”的频率不小于0.8,求n的最小值；(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买10次维修服务或每台都购买11次维修服务, 分别计算这100台机器在维修上所需费用的平均数，以此作为决策依据，判断购买 1台机器 的同时应购买10次还是11次维修服务？.【答案】(1) y50x 2000,x 10,x N ；500x 2500,x 10,(2)见解析；(3) 10次.【解析】根据题意写出分段函数

27、即可计算出“维修次数不大于10或者11次”的频率，比较得结果利用表格得到费用的所有可能取值及相应频率， 再利用平均数公式进行求解，最后比较两个平均数即可得结论【详解】(D y200 10 50x,x 10,250 10 500 x 10 ,x 10,50x 2000,x 10, x e A500x 2500,x 10,(2)因为“维修次数不大于10”的频率10 20 30 0.6 0.8,100“维修次数不大于11”的频率=10 20 30 30 0.9 0.8,100所以若要求“维修次数不大于n”的频率不小于0.8,则n的最小值为11.(3)若每台都购买10次维修服务，则有下表:维修次数x8

28、9101112频数1020303010费用y24002450250030003500此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为2400x 10 + 2450x20十2500x30 + 3000x30 + 3500x 102730,100若每台都购买11次维修服务，则有下表:维修次数x89101112频数1020303010费用y26002650270027503250此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为260。x 10 + 2650>20+2700x30 + 2750 算30 + 3250工 10一-一 2750 (兀)因为“工入，所以购买1台机器的同时应购买10次维修服务.【

29、点睛】本题主要考查了数学建模思想，变量的平均值等知识，意在考查学生的数学应用能力和基本计 算能力，属于基础题rx、520.已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴，焦距为2,且长轴长是短轴长的倍.r 一(1)求椭圆 的标准方程；(2)设出2°),过椭圆左焦点?的直线交于'两点，若对满足条件的任意直线1 ,不等式()恒成立，求 的最小值.= 1 A-【答案】(1):(2)的最小值为2【解析】试题分析：（1）依题意，求出”匕可得椭圆的标准方程；（2）设川卬山）产（也必），b * -TT? 17可得P' ""=（工1一学一 N） +）”，首先讨论当直线，垂直于

30、工轴时，尸内尸工.当直线不垂直于父轴时，设直线'：¥=他+ 1）与椭圆方程联立，得到/+需，/ = 则凡同=（工为公卷十将Vi=k（x1 + L） y2 =处石 +1）.4k12k1-2r,+=距Xn 7*及 珏注，一4代入可得P4.PB = -X-b）+-F2（-bl）+l） =y-<v . 心.，要使不等式* k11717PA PB K 岳 Rfe （PA - P8）皿j v ?lV（）恒成立，只需 ''"即的最小值为2 .ti 二 b f 1试题解析：（1）依题意，_ n h- = 1r+ ir = 1解得 一 ，.椭圆 的标准方程为二.

31、山3）风也门）旧户1PE = （，1 一孙）（修一。）=（工工一2）（利 -2） +火门 2/ <5j5 A/Tj当直线垂直于工轴时，对=LT产=一"且“”:止匕时而=一 叫港丽=（-3>-= ?所以一 .当直线不垂直于 天 轴时，设直线：""Li）,i （，+1）,由白+犷=2,整理得（1+2婷+很"2好-2 =。r,十， 所以 亦1而,4=4勺-&%+必)+4 + Q(，1 +1)(/2 + 1)=(1+ 解)文/之 十 (Y - 2) G1 + *)+ 4 + 片=(m)宾-(fc2 - 2) 芈+ 4+好v ，、* 1+2 F

32、17+2 _ 1713172+12 鼠妹皿 2 要使不等式”PB”产区)恒成立，只需触(LK- -y,即入的最小值为【考点】椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系21.已知函数f x lnx ax ( a为实常数)(1)求函数f x的单调区问；一一.、一2(2)若a 0,求不等式f x f - x 0的解集；a2(3)若存在两个不相等的正数玉、x2满足fx,fx2,求证：xix2-.a【答案】(I)当a 0时，f(x)的单调递增区间为(0,+ )，当a 0时，f(x)的单调递增区问1.11 2为(0,1),单调递减区间为(1,); (II )(,2)； (III )证明见解析.aaa a【解析】

33、试题分析：(I)首先确定函数的定义域，再利用求导法则对其求导并结合对a的讨论，即可得到函数f(x)的单调区间；(II )根据函数的定义域先确定自变量的取值范围，再通 过构造函数并判断其单调性，进而可得出所求不等式的解集；(III )先对a进行讨论并结合(I)的结论及题目条件即可证得所需结论.试题解析：(I) f(x)的定义域为(0,+ ), f (x) 1 a L_ax , x x(1)当a 0时，包有f (x) 0,故f(x)在(0,+ )上单调递增；,，.，、1.,11一(2)当a 0时，由f (x) 0得0 x -,故f(x)在(0, 一 )上单调递增，在(-,)上单调递减 aaa综上(

34、1) (2)可知：当a 0时f(x)的单调递增区间为(0,+ )；当a 0时，f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(工，).2(11) f(x)的定义域为(0,+ )，所以X 0,且一x 0,而a 0, a设 F (x) f (x) f (- x) In x ax In(- x) a(- x) aaa，2In x In( x) 2ax 2, a1 12a(x-,1F (x) +2a 一厂a 0,且当且仅当x=一时取等号, x - x x(- x)aaa一,21 ,1所以F(x)在(0,)上单调递增，又因为x=时，F(x)=F() 0 aaa 一 1_,1 2_所以当 x (0,)

35、时，F(x) 0,当 x (一,)时，F(x) 0. aa a故 f(x) f(2 x) 0 的解集为(1,2).aa af卜)，(III )由(I)知a 0时，f(x)在(0,+ )上单调递增，若f(x1) 则X x2不合题意；一 一一 ，11故a 0,而f(x)在(0,)上单调递增，在(-,)上单调递减，aa1 一 ，右存在两个不相等的正数x1，x2酒足f(x1) f ( x2 ),则X、x2必有一个在(0,一)上，另一个在 a1(-,),不妨设,a-21则一 X (,).aa一 .，12又由(II)知x (0,1)时，F(x) 0,即 f(x) f(- x) 0,aa2所以 f (x1) f (- x1).a2因为 f(x1) f (x2),所以 f (x2) f (- x1)，a,1 一2又因为f(x)在(一，)上单调递减，所以x2 x1，aa一-2即 x1 x2 一a【考点】导数在函数研究中的