2020年九年级数学典型中考压轴题训练：《反比例函数综合》(含答案解析)

1、2020年九年级数学典型中考压轴题训练：反比例函数综合1 .如图，已知C D是双曲线y=用在第一象限分支上的两点，直线CM别交x轴、y轴于乂A B两点.设C (Xi, yj、D(X2, y。，连接 OC OD(O是坐标有点)，若/ BOG/AOD= a ,且 tan a =，OC= J 0 .(1)求C D的坐标和m的值；(2)双曲线上是否存在一点 P,使得 POGDA POD勺面积相等？若存在， 给出证明，若不存在，说明理由.解：(1)过点C作CGL x轴于 G则 CG= yi, OG= Xi,在 RtOCG, / GC® / BOC= a ,yL即 y i= 3xi,又 OC=J

2、1O,11 xi +yi = 10,即 x；+ (3x1)2=10,解得：x1=1或x=- 1 (不合题意舍去) x = 1, y1 = 3,.点C的坐标为C (1, 3).又点C在双曲线上，可得： m= 3,过D作DHLx轴于H,则DH=必,OH= x?在 RtAODhfr, tan “ =返二,OH 3.产21七W即 X2= 3y2,又 x»2= 3, 1- y2= 1或y2= - 1 (不合舍去),1 1 X2= 3 , y2= 1 ,.点D的坐标为D (3, 1);(2)双曲线上存在点 P,使得SApoc= Sa pod这个点就是/ COD勺平分线与双曲线的yn立交点 点 D

3、 (3, 1),. OD= ri,. OD= OC 点P在/ COD勺平分线上，则 / COP= / POD 又 OP= OPPO等 POD2 .已知：在矩形 AOB仲，OB= 4, OA 3.分别以OB OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.F是边BC上的一个动点(不与 B, C重合)，过F点的反比例函数了金(k>0)的图象与 AC边交于点E.(1)求证： AOEW BOF勺面积相等;(2)记S= SAoef- SAecf)求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少?(3)请探索：是否存在这样的点 F,使得将CEF沿EF对折后，C点恰好落在 OB±?若存在，求

4、出点F的坐标；若不存在，请说明理由.y2= Y k2,、公， AO四 FOB勺面积分别为 S, S2,由题意得yi=K Lk,S=S2,即 AO臼 FOB勺面积相等;(2)解：由题意知 E, F两点坐标分别为 E ( SA EC-EOCF=£(4-白(3-SA EOF= S 矩形AOBU SAAOE- SA BO丁 SA ECF= 12 k k SA ECF=12 k SA ECF S= SOEF- SAECF= 12 - k _ 2SAECF=12- k- 2X (4k) (3S=一112k2+k,即 S=-F (k- 6) 2+3,当k = 6时，S有最大值.S最大值=3；(3)

5、解：设存在这样的点 F,将 CE秫EF对折后，C点恰好落在 0珊上的M点, 过点E作EISLOB垂足为N.由题意得：EN=A0=3, EM= EC=4-ik, MFCQ3一二k,34 / EMNZ FMB=Z FMBZMFB=90 , ./ EMN=Z MFB又/ ENM=Z MB曰 90 , . EMNA MFB,KNIB -MF'o 4-k 4（卜得-k）“B 3+今 k）g 4. M备BP= MRc 2 i 2 i 2pi%）+（&）=（3k），解得 k=".4.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+1的图象交y轴于点D,与反比例函数 yOC= 4,过点E

6、的反比例函数y=KX(x>0)的图象与边 BC交于点F.当点E运动到什么位置时，四边形OAEF勺面积最大，其最大值为多少?/ OAE= 90 ,SAOAE=F(4,鼻)，(1)若OAE勺面积为1,求反比例函数的解析式;(2)若点E是边AB上的一个动点(不与点 A B重合)，3O/?AE= x 2AE= 1 .AE= 1,即点E的坐标为(1,2),点E在反比仞函数y弋上, 把 E (1, 2)代入 y = G得，k=2,反比例函数的解析式为y=k(2)根据四边形 OABC；矩形，OA= 2, OC= 4,设E (广BE= 4 一看 BF= 2777k2- k+4, 16,o 1 k、 /

7、c-SABEF= (4 - -)(2-； oc7Tx 4X，S 矩形 OAB 8，+4 = S 四边形 OAEF= S 矩形 OABCT SA BEF SAOCF= 8 一(-4)2+5,，当k= 4时，S四边形oaef= 5,此时AE= 2,当点E运动到AB的中点时，四边形 OAEF勺面积最大，最大值是 5.= 的图象在第一象限相交于点xA过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点 RC.(1)点D的坐标为(0, 1);(2)当AB= 4AC寸，求k的值;(3)当四边形 OBAO正方形时，直接写出四边形 ABCDf AC面积的比.当 x = 0 时，kx+1= 1y=kx+1的图象与y轴的交

8、点,所以点D的坐标为(0, 1);故答案为：(0, 1);(2)设 AC= x,则 AB= 4x,所以点 A (x, 4x)由于点A在反比仞函数y=上,所以16=x?4x,整理，得x2=4, 所以x= 2或x= - 2 (舍去)， 所以点A (2, 8),因为A在一次函数y=kx+1的图象上, 所以 8=2k+1,解得：k=3.5;16(3)由于点A在反比仞函数y=±,所以 AB?AC= 16四边形 OBA基正方形, . OB= AB= AC= OC= 4,. OD= 1, CD= 3, S四边形abdC=(3+4) X 4=14Sk acd=AC?C>X4X 3=622，则四

9、边形 ABDg AC面积白比7: 3.5.已知：如图，一次函数 y= - 2x的图象与反比例函数 y=上的图象交于 A B两点，且点B的坐标为(1, ni .(1)求反比例函数y=-的表达式；x(2)点C (n, 1)在反比例函数 y=上的图象上，求 AOC勺面积；(3)在(2)的条件下，在坐标轴上找出一点P,使 APC等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点 P的坐标.解：(1)把B (1,m代入y = - 2*得m= 2,.B点坐标为(1, - 2),k把 B (1, - 2)代入 y=:得 k= - 2X 1 = - 2,2|反比例函数解析式为y=;(2)作CELLx轴于E, ADD-x轴

10、于D,如图,点A与B点是一次函数y=- 2x的图象与反比例函数 y=的图象交点, 点A与点B关于原点对称， 点A的坐标为(-1,2),2|把 C (n, 1)代入 y =-二得 n = - 2,x .C点坐标为(-2, 1),AOC= S梯形 ADE+S ADCT SA CEO=X (1+2) x1+- X 2 X 1 一 - X 1 X 2 =-22(3)如图，P点坐标为(0, 1)、 (0, 0)、 (- 1, 0)6.如图，将矩形 CAB(M置在平面直角坐标系 xCy中，点A C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(2, 1),将矩形CABCg着A点顺时针旋转90°得到矩形FADE

11、双曲线经过点B,且交DE于点M(1)求k的值和直线MF勺解析式;(2)若直线 MF交y轴于点N,连接BM BN,求 BMN勺面积.解：(1)把 B (2, 1)代入 y=Q得 k=2X 1=2,反比例函数解析式为y=p.矩形OAB啖着A点顺时针旋转90°得到矩形FADE .FA= OA= 2, AD= AB= 1,，F点坐标为（2, 2） , D点坐标为（3, 0）,把x = 3代入y =y=23一 21' M点的坐标为（3,一）设直线MF的解析式为y = ax+b,2a-H5=2把 F (2, 2) , M (3,）代入得2，解得l3直线MF的解析式为y=-(2) Sabm

12、n= Sa bfn+ Sa BFMX (2-1)7.如图，已知直线 y = 4-x与反比例函数y=（m»0, x>0）的图象交于 A B两点，与x轴，y轴分别相交于C, D两点.（1）如果点A的横坐标为1,利用函数图象求关于 x的不等式4-xv1的解集;（2）是否存在以AB为直径的圆经过点 P （1, 0） ?若存在，求出 m的值；若不存在，请说明理由.解：（1）将x=1代入直线y= 4x得，y=41=3,则A点坐标为(1, 3),将 A (1, 3)代入 y= (m> 0, x>0)得,m= 3,则反比例函数解析式为y=组成方程组得解得，y=1, x= 3,则B点

13、坐标为(3, 1).当不等式4-xv,0vxv 1 或 x>3.(2)存在.点 A、B 在直线 y=4-x 上，则可设 A (a, 4 - a) , B ( b, 4 - b) 如右图所示，过点 A作AMLx轴于点 M 则A阵4- a, P阵1-a； 过点B作B已x轴于点E,则B& 4- b, P& b- 1. 点P在以AB为直径的圆上，/APB= 90° (圆周角定理).易证 RtAAMP RtAPEBPE BE' b-1 4-b'整理得：5 (a+b) - 2ab=17 点A B在双曲线y=±, xa (4- a) = rq b (

14、4-b)=簿 22 a - 4a+m= 0, b - 4b+m= 0,，a、b是一元二次方程 x2- 4x+rm= 0的两个根， - a+b= 4, ab=m代入式得：5X 4- 2m= 17,解得：存在以AB为直径的圆经过点 P (1, 0),此时m=-|8.直线y= x+b与双曲线y= (x<0)交于点A(-1, - 5),并分别与x轴、y轴交于(1)直接写出b=- 4 , m5(2)根据图象直接写出不等式x+bv的解集为x< 1(3)连接OA求/ OAB勺正弦值.(4)若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D C B构成的三角形与 OABW似？若存在，请求出D的坐标；若不存在，

15、请说明理由.解：(1)将 A( -1, - 5)代入直线 y= x+b 中，得：-5 = - 1+b,即 b= - 4,将A ( - 1, - 5)代入双曲线解析式得：-5=-v，即m 5;-1(2)由图象可得：不等式x+bv岩的解集为xv T;故答案为：(1) - 6; 5; (2) xv - 1;(3)过O作OHL BC垂足为H,对于直线y=x-4,令y = 0求出x=4,即C (4, 0),令x = 0求出y= - 4,即B (0,-4),. OB= OC= 4,即 BO等腰直角三角形，BC=而识尿 .O庄-BC= 2在，由点 0(0, 0) , A ( - 1, - 5),得：O是后,

16、在 Rt OAhfr, sin /OAB=X = _£H_；72613（4）由（3）可知， OB学等腰直角三角形， O* B+ 2、巨,在 RtAAOhl43,根据勾股定理得： AH=q2 -QH2=a/2&-8 = 372， .AB= AH- BH=3，当点D在C点右侧时，/ OBA= Z DCB= 135° ,当CD BACB BO'=亚4时，解得CD= 2,.C (4, 0)，即 OC= 4OD= OCCD= 2+4=6,此时D坐标为（6, 0）;CDCB BA时，解得CD= 16,. C (4, 0),即 OC=4, OD=OCCD=16+4=20,

17、此时D坐标为（20, 0）,0)或(20, 0).P作x轴、y轴的垂线，分别交x(1)图1中，四边形 PEOF勺面积S产 18(2)图2中，设P点坐标为(-4, 3)判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论;记&= SA pef Sa oef 求=k2+k1 = 12+6 = 18证明：如图，由题意可得:A( 4, 0) , B (0, 3) , E( 4, -1) , F(2, 3),又. / APB= / EPFAPEB EPF/ PAB= / PEFEF/ AB;S2没有最小值，理由如下:过E作EML y轴于点 M 过F作FNL x轴于点N,两线交于点 Q轴、y轴于A、B两点，交

18、双曲线y=±于E、F两点.解：(1)四边形PEOF勺面积S=四边形PAOB勺面积+ OAE勺面积+ OBF勺面积=| k1|+ k2(2)EF与AB的位置关系为平行，即EF/ AB.PA= 3, PE=,PB= 4, PF= 4+2=6,PF = PE '3' PE由上知M (0,N Nl (2, 0) , Q (2-3.)2 ，而 S»aefQ= Sa PEE贝U S2= SA PEF- SA OEf SAEFQ SA OEF=Sa eo+Sa fon+S 矩形OMQN=12X-+6X-+2X22=6+3+3= 12.故答案为12.上10.如图，已知反比例

19、函数W0),其中一次函数与m y=(m是常数，廿0), 一次函数 y= ax+b (a、b为常数，ax轴,y轴的交点分别是 A(-4, 0) , B (0, 2).(1)求一次函数的关系式;(2)反比例函数图象上有一点P满足：PAL x轴；P0=V17 (O为坐标原点)，求反比例函数的关系式;Q的坐标，判断点 Q是否在该反比例函数的图象上.(3)求点P关于原点的对称点- 4a+b=0, b=2,y轴的交点分别是 A(-4, 0) , B (0, 2),一次函数的关系式为：y=/x+2；(2)设 P (- 4, n),也-4) %解得：n= ± 1,由题意知n= - 1, n= 1 (

20、舍去)， 把P ( - 4, - 1)代入反比例函数m= 4,反比例函数的关系式为：y =(3) P (- 4, - 1),，关于原点的对称点 Q的坐标为Q (4, 1),把Q (4, 1)代入反比例函数关系式符合题意，. Q在该反比例函数的图象上.11.如图，在直角坐标平面内，反比例函数 尸?(x>0, m是常数)的图象经过点 A(1, 8).(1)求m的值；(2)过点A的直线l与反比例函数图象相交于另一点 B (a, b),其中a>1.过点A作x轴的垂线，垂足为 G过点B作y轴的垂线，垂足为 D BD与AC相交于P点，连 接AD DC CB如果直线l与反比例函数了二个图象的交点

21、B的横坐标为8,求ABM面积； 是否存在点B (a, b),使得四边形 ABC时平行四边形；若存在，试求直线l的函数解析式；若不存在，请说明理由.解：(1) 反比例函数V=H (x>0, m是常数)的图象经过点 A (1, 8) .m= 8;(2)将x=8代入y =，得 y= 1,.点B的坐标为(8, 1),SabL4bD?AP=-X8X(81)=28,假设存在.根据平行四边形的性质，AC与BD互相平分,a= 2,点 B (2, 4),将点A B坐标代入直线l的函数解析式y = kx+b,k+b=82k+b=4即得 k= - 4, b= 12,，直线l的函数解析式y= - 4x+12.1

22、2.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标系原点，矩形 OABC勺边OA OC分别在x轴和(x>0)的图象经过 BC边上的中点y轴上，其中 OA= 6, OO 3.已知反比例函数 y =D,交AB于点E.(1) k的值为 9(2)猜想 OCD勺面积与 OBE勺面积之间的关系，请说明理由.解：= OA= 6, OC= 3,点D为BC的中点,.D (3, 3)k=3x 3=9故答案为9;(2) S>A OCD= Sa OBE理由是：点 D, E在函数的图象上,1' SA OCD= SA oaE= ,- Saoab= -X 6X3=9,SAobe= 9SA ocD= SaOBE13

23、.如图1,反比例函数 y= (x>0)的图象经过点 A(2/3, 1),射线 AB与反比例函数图象交于另一点 B (1, a),射线AC与y轴交于点C, / BA975。，ADLy轴，垂足为D.(1)求k的值;(2)求tan / DAC勺值及直线 AC的解析式；(3)如图2, M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过 M作直线l，x轴，与AC相交于点N,连接CM求 CMNT积的最大值.解：(1)把A (21后，1)代入y=得 k = 2*fjx 1 = 2收:;(2)作 BHHLADT H,如图 1,把B (1, a)代入反比例函数解析式 y=得 a = 2/3,.B点坐标为(1,24

24、)，. A+ 2/3-1, B+ 2/3-1,. ABH等腰直角三角形， ./ BAH= 45/ BAG= 75/ DAG= / BAG / BAH= 30° ,1. tan / DAG= tan30V3 ; .ADLy 轴, .OD= 1, AD=电,. tan / DAG= DA 3. CD= 2,. OG= 1,.C点坐标为（0, - 1）,设直线AC的解析式为y = kx+b,把 A (2:一:，1)、C (0, - 1)代入2/§k+b= 1 b=l直线AC的解析式为y=*(3)设 M点坐标为(t, -) (0vt v2j),直线l，x轴,与AC相交于点N,.N点

25、的横坐标为t,N点坐标为(t,2*t - 1),"等一争-1)=平偿+1,Sa cm二?t?(红匚乌+1)=-弓(t -孕 2+等(0<t<2V3),214.如图，一次函数 y=ax+b与反比例函数y二一£的图象交于 A B两点.过 A点分别作轴、y轴的垂线，E、F为垂足.(1)请直接写出矩形 AEOFF勺面积；(2)设一次函数y=ax+b与x轴、y轴的交点分别为 C D,当OG= 3OEM.试求 OCD勺面积；当OE= 1时，以BD为直径作。N,与x轴相交于P点，请求出P点的坐标.解：(1)如图1,.,点A在反比例函数 片上的图象上, x且 AE!x 轴，AF

26、Ly 轴， S 矩形 aeoF= | 2| = 2.矩形AEOF勺面积为2.(2)如图1,设 OE= m (m> 0),则 E ( m 0)9，C (3mi 0) , A ( - rq 三)m9. OC= 3m CE= 4ml AE=.m . AE!x 轴、AFLy 轴， DO© / AEC= 90° .又. / DCO= Z ACE DO。 AEC必以AE CEOD=2 g SAOC WOCDO=Wx 3mx'=?22 2m 4 .OCD勺面积为4.4过点N作NGLy轴，垂足为G,过点B作BHLy轴，垂足为H,过点N作NMLx轴，垂足为M连接NP如图2所示.

27、 OE= 1,1. m= 1.A ( 1, 2) , C (3, 0),一点A点C在直线y=ax+b上,-a+b=2k3a+b=0_!237当x = 0时，y =O氏一.与反比例函数y=-2图象的交点,13_ 2解得：Xi= - 1, X2= 4.当 x1= - 1 时，y1= 2;当 X2=4 时，#2=4.点B的坐标为（4, 4）. Ui .BH=4, 0H=.DH=2. / BHB=90 , i- BD=Vdh2+BH2=22 + 42=275 .PN=、后.NGLy 轴，BHLy 轴 . NG/ BH . DGNA DHB,DG = GN = DN一 DR一亩一亩. DN=DBDG=-

28、DH NgJbH=2. riLaicLj1 Q.点N在直线¥二号x号上，点 N（2,.）. NM=3. NMLPP ,PM=PZ M / NMR=90°. pn=Vsn”？ Turn 2 lfBT2 19 . PM =NP -MM -pP' M=p.p点的坐标为(2且豆，0)或(亘+2, 0)22ky=- (x>0)的图象上,直线BP与直线AM的位置关系，并说明理由.15.如图，点 A (1, 6)和点M (mi n)都在反比例函数(1) k的值为 6 ；(2)当rn 3,求直线AM勺解析式;(3)当rn> 1时，过点M作MPLx轴，垂足为P,过点A作A

29、B，y轴，垂足为B,试判断解：(1)将A (1, 6)代入反比例解析式得： k=6;故答案为：6;(2)将x=3代入反比例解析式 y=也得：y = 2,即M (3, 2),x设直线AMB析式为y=ax+b,把A与M代入得：卜*"6 ,L 3a +b-2解得：a= - 2, b= 8,直线AMB析式为y=- 2x+8；(3)直线BP与直线AM的位置关系为平行，理由为：当mr> 1时，过点 M作MPLx轴，垂足为 P,过点A作AB!y轴，垂足为B,. A (1, 6) , M(m n),且 mn= 6,即 n=一,m B (0, 6) , P (mi 0),6-n 6直线 AM ID 6m-6 G(irr D 且1-m_6-0_ 6k直线BP一八 一 ,0-m m即k直线am= k直线bp,则 BP/ AM16.如图，将透明三角形纸片PAB勺直角顶点P落在第四象限，顶点 A、B分别落在反比例k函数y =一图象的两支上，且 PBLx于点C, PAL y于点D, AB分别与x轴，y轴相交于点 E、F.已知 B (1,3).(1) k=3 ；(2)试说明AE= BF;211(3)当四边形 ABCD勺面积为 N时，求点P的坐标.解：（1）把