2020年北京市西城区中考数学二模试卷-解析版

1、2020年北京市西城区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1 .下列各组图形中，能将其中一个图形经过平移变换得到另一个图形的是（）第13页，共22页2 .中国国家航天局2020年4月24日在“中国航天日”之际宣布，将中国行星探测任 务命名为“天问”，将中国首次火星探测任务命名为“天问一号”.火星具有与地 球十分相近的环境，与地球最近的时候距离约5500万千米，将5500用科学记数法 表示为（）A. 0.55 X 104 B. 5.5 X 103 C. 5.5 X 102 D. 55 X 1024.下列运算正确的是（）A. a - a2 = a3 B. a6 a2 = a3

2、 C. 2a2 a2 = 2 D. （3a2）2 = 6a45 .如图，实数小在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）% : 1 &-3-2-10123A. |a | 3B. -1 b 0 C. a 06 .如图，力BC内接于OO,若NA = 45。，OC = 2,则8c的长为（）A. y/2 B. 2V2 C. 2V3 D. 47 .某人开车从家出发去植物园游玩，设汽车行驶的路程为S（千米），所用时间为 t（分），S与r之间的函数关系如图所示.若他早上8点从家出发，汽车在途中停车加油一次，则下列描述中，不正确的是（）A.汽车行驶到一半路程时，停车加油用时10分钟8 .汽车一共行驶了

3、 60千米的路程，上午9点5分 到达植物园C,加油后汽车行驶的速度为60千米/时D.加油后汽车行驶的速度比加油前汽车行驶的速度快8.张老师将自己2019年10月至2020年5月的通话时长（单位：分钟）的有关数据整理 如表：2019年10月至2020年3月通话时长统计表时间10月11月12月1月2月3月时长（单位：分钟）5205305506106506602020年4月与2020年5月，这两个月通话时长的总和为1100分钟根据以上信息，推断张老师这八个月的通话时长的中位数可能的最大值为（）A. 550B. 580C. 610D. 630二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9 .若分式工在实

4、数范围内有意义，则x的取值范围是10 .因式分解：a3-a=.11 .如图，D, E分别是/8C的边43, AC的中点，若人0的 面积为1，则力8C的面积等于.12 .如图，乙4 =乙力8。=乙。=乙。=4E,点F在AB的延长线上, 则4C8F的度数是.13 .如图，双曲线y =：与直线y =交于A, 8两点，若点A的坐标为（2,3）,则点8的坐标为.14 .如图，用10个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个宽为50。的大矩形，设每 个小矩形的长为宽为）。几，则可以列出的方程组是.15 .某调查机构对某地互联网行业从业情况进行调查统计，得到当地互联网行业从业人 员年龄分布统订图和当地90后从事

5、互联网行业岗位分布统计图：互联网行业从业人员年龄分布统计图兜后从事互联网行业岗位分布图其它匚=15%对于以下四种说法，你认为正确的是（写出全部正确说法的序号）.在当地互联网行业从业人员中，90后人数占总人数的一半以上在当地互联网行业从业人员中，80前人数占总人数的13%在当地互联网行业中，从事技术岗位的90后人数超过总人数的20%在当地互联网行业中，从事设计岗位的90后人数比80前人数少16 . 一个袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒.每次 从袋中任意取出两个球，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒：如果 先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入丙盒.重复上述过

6、程，直到袋中所有的球 都被放入盒中.(1)某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球 的颜色是.(2)若乙盒中最终有5个红球，则袋中原来最少有 个球.三、解答题(本大题共12小题，共68.0分)17 .计算：V12 +(7T - 2020) - 3tan30 + |73 - 1|.18解方程：士+1 =急19 .已知关于的一元二次方程42一(2儿+i)x + 2/c = 0.(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若该方程有一个根大于2,求女的取值范围.20 .下面是小明设计的“在已知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外 两边的距离相等”的尺规作图过程：已知

7、： ABC.求作：点。，使得点。在8C边上，且到AB, AC边的距离相等.作法：如图，作乙氏4。的平分线，交BC于点D.则点。即为所求.根据小明设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)：(2)完成下面的证明.证明：作0E_L/8于点E,作。于点F,FD 平分 48,=()(括号里填推理的依据).21 .如图，在中，乙4CB = 90。，。为A8的中点， AE/DC, CE/DA.(1)求证：四边形月。CE是菱形：(2)连接。E,若力。=2百，BC = 2,求证：ADE是 等边三角形.22 .某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生 理指

8、标x，y,于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取20人作为调 查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图如图： 指标)：注“ ”表示患者，“ ”表示非患者根据以上信息，回答下列问题：(1)在这40名被调查者中，指标y低于0.4的有 人：将20名患者的指标X的平均数记作五，方差记作贷，20名非患者的指标X的平 均数记作方差记作或，则五n,Si呢(填“”，=”或 “V”)；(2)来该院就诊的500名未患这种疾病的人中，估计指标x低于0.3的大约有人；(3)若将“指标X低于0.3,且指标y低于0.8”作为判断是否患有这种疾病的依据, 则发生漏判的概率是.23 .如图，48是O。的直径，C，D

9、是O。上两点，且曲=品, 连接。C, BD, 0D.(1)求证：0C垂直平分8D；(2)过点。作。的切线交A8的延长线于点E,连接AD CD.依题意补全图形：若力。=6, sin乙4EC =：,求C。的长.324 .如图，在力BC中，AE平分匕8月C交8C于点E, D 是AB边上一动点，连接CQ交AE于点P,连接8P. 已知力8 = 6cm,设8,。两点间的距离为B, 尸两点间的距离为y 1 czn, A，P两点间的距离为y 2 cm 小明根据学习函数的经验，分别对函数为，随自 变量x的变化而变化的规律进行了探究.下而是小明的探究过程，请补充完整：(1)按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量

10、， 分别得到了外，丫2与刀的几组对应值：(%，又2)，并画出函数为，%的图象:x/cm0123456yjcm2.492.642.883.2S3.804.656.00yz/cm4.S94.243.803.2S2.S10.00(2)在同一平而直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(%),(3)结合函数图象，回答下列问题：当月P = 2BD时，AP的长度约为 cmx当8P平分乙力BC时，BD的长度为。，乩25 .在平面直角坐标系xO-v中，函数y = ?(%0)的图象G与直线/： y = kx-4k + l交于点4 (4,1),点8 (1,九)(九之4,为整数)在直线/上.(1)求，

11、的值：(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象G与直线/围成的区域(不含边界)为 W.当其=5时，求4的值，并写出区域W内的整点个数：若区域W内恰有5个整点，结合函数图象，求*的取值范闱.26 .在平面直角坐标系xO.v中，抛物线y = / + bx + c与x轴交于点A, 8(4在8的左 侧)，抛物线的对称轴与x轴交于点。，且0B = 20D.(1)当b = 2时，写出抛物线的对称轴：求抛物线的表达式；(2)存在垂直于x轴的直线分别与直线/：y = x+等和抛物线交于点P, Q,且点P, 。均在x轴下方，结合函数图象，求的取值范围.27 .在正方形ABCO中，七是。边上一点(CEDE),

12、 AE, 5。交于点F.(1)如图1，过点F作G”_L/E,分别交边AD, BC于点G, H.求证：Z-EAB = Z.GHCi(2)/E的垂直平分线分别与AD, AE, BD殳于点、P, M, N,连接CN.依题意补全图形：用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明.28 .对于平面直角坐标系xOy中的定点尸和图形F,给出 如下定义：若在图形尸上存在一点N,使得点。，点 P关于直线ON对称，则称点。是点P关于图形厂的 定向对称点.(1)如图,4(1,0)，8(1,1)，P(0,2),点P关于点B的定向对称点的坐标是：在点C(0, - 2),。(1,一机)，E(2,-l)中， 是点P关于线

13、段AB的定向对称点.(2)直线/： y = qx+b分别与x轴，)，轴交于点G, H, OM是以点M(2,0)为圆心， 3r(r 0)为半径的圆.6当r=l时，若0 M上存在点K,使得它关于线段G的定向对称点在线段GH上，求的取值范围：对于b0,当r = 3时，若线段G上存在点人使得它关于。M的定向对称点在。M上，直接写出的取值范围.答案和解析1 .【答案】A【解析】解：各组图形中，选项A中的图形是一个图形经过平移能得到另一个图形， 故选:A.根据平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选出正确答案.本题考查平移的性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的 线段平行且相等，对应

14、线段平行且相等，对应角相等.2 .【答案】B【解析】解：5500 = 5.5 X 103,故选：B.科学记数法的表示形式为a X 10的形式，其中1 |a| 10时，是正数：当原数的绝对值VI时，是负数.此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax 10”的形式，其中|a|V10, 为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值.3 .【答案】D【解析】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱.故选：D.侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱.本题考查的是三棱柱的展开图，考法较新颖，需要对三棱柱有充分的理解.4 .【答案】A【解析】【分析】根据同底数耗乘除法的运算法则，合并同类项

15、法则，塞的乘方与积的乘方法则即可求解: 本题考查实数和整式的运算；熟练掌握同底数甯乘除法的运算法则，合并同类项法则, 甯的乘方与积的乘方法则是解题的关键.【解答】解：Aa-a2 = a1+2 = a3,故A 正确：B.a6a2 =a6-2 = a4,故 5 错误：C.2a2 a2 = a2,故 C错误;D.(3a2)2 = 9a4,故。错误;故选A.5 .【答案】C【解析】解：选项A,从数轴上看出，“在一3与一2之间，|a| 1, B选项化简后0 V b V 1故选项8不合题意：选项C，从数轴上看出，在一3与一2之间，在1和2之间，-b在一 1和一2之间，a b,故选项C符合题意；选项。，从数

16、轴上看出，“在一3与一2之间，在1与2之间，-3 a 0,所以a+ b 0,故选项。不合题意.故选：C.根据数轴的性质以及有理数的运算法则进行解答即可.本题考查了实数和数轴以及有理数的运算，掌握数轴的性质，实数的性质是解题的关键.6 .【答案】B【解析】解：由圆周角定理得，8。= 2乙4=90。，BC = V2OC = 2&，故选：B.根据圆周角定理得到NB。= 2乙4 = 90。，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论. 本题考查的是圆周角定理及解直角三角形的知识，掌握圆周角定理是解题的关键.7 .【答案】D【解析】解：A、车行驶到一半路程时，加油时间为25至35分钟，共10分钟，故本选 项正

17、确，不符合题意：B、汽车一共行驻了 60千米的路程，上午9点05分到达植物园，故本选项正确，不符 合题意；C、汽车加油后的速度为30 +等 =60千米/时，故本选项正确，不符合题意；D、汽车加油前的速度为30+舒=72千米/时，60 山= =3的面积为1, 力8。的面积为4, 故答案为：4.根据三角形中位线定理得到DEBC, DE = BC,证明ADE ABC,根据相似三角形的性质计算，得到答案.本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的而积比 等于相似比的平方是解题的关键.12.【答案】72【解析】解：/ = /-ABC =乙。=乙。=4E, 五边形ABCQE是正

18、多边形， 正多边形的外角和是360。，Z-CBF = 360。+ 5 = 72.故答案为:72.正多边形的外角和是360。，这个正多边形的每个外角相等，因而用360。除以多边形的边 数，就得到外角的度数.本题考查了多边形的内角与外角.根据正多边形的外角和求多边形的边数和外角的度数 是常用的一种方法，需要熟记.13.【答案】(-2,-3)【解析】解：，双曲线y =：与直线y = 交于A, 8两点， 点A与点5关于原点对称，而点A的坐标为（2,3）, 点5的坐标为（一2,3）.故答案为（-2,-3）.利用正比例函数和反比例函数的性质可判断点A与点8关于原点对称，然后根据关于原 点对称的点的坐标特征

19、写出B点坐标.本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标, 把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两 者无交点.也考查了反比例函数的性质.14 .【答案】2x = x + 4y x + y = 50【解析】解：依题意，得:2x = x + 4y x + y = 50 故答案为:2% = x + 4y x + y = 50 *根据矩形的对边相等及大矩形的宽为50cm,即可得出关于x, y的二元一次方程组，此 题得解.本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程 组是解题的关键.15 .【答案】【解

20、析】解：对于选项，互联网行业从业人员中90后占调查人数的56%,占一半以 上，所以该选项正确：对于选项，在当地互联网行业从业人员中，80前人数占调查总人数的3%,所以该选 项错误；对于选项，互联网行业中从事技术岗位的人数90后占总人数的56% X 41% = 23%, 所以该选项正确：对于选项，互联网行业中，从事设计岗位的9。后人数占调查人数的56% X 8% = 4.48%,而80前从事互联网行业的只占1 56% - 41% = 3%,因此该选项不正确； 因此正确的有：， 故答案为：.根据扇形统计图可以得出各个年龄段的人数占调查总人数的百分比，再根据条形统计图 可以得出90后从事互联网行业岗

21、位的百分比，进而求出90后从事互联网行业岗位占调 查总人数的百分比，就可以比较，做出判断.考查条形统计图、扇形统计图的意义和应用，理解各个统计图中“百分比”的意义是正 确判断的前提，将“百分比”都转化为“占总调查人数的百分比”是关犍.16 .【答案】红色30【解析】解：（1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒， 放入了乙盒， 先放入甲盒的球的颜色是红色.（2）由题意，可知取两个球共有四种情况：红+红，则乙盒中红球数加1,黑+黑， 则丙盒中黑球数加1，红+黑（红球放入甲盒），则乙盒中黑球数加1,黑+红（黑球 放入甲盒），则丙盒中红球数加1.那么，每次乙盒中得一个红球，甲盒可得到2

22、个红球， 乙盒中最终有5个红球时，甲盒有10个红球， 红球数=黑球数，袋中原来最少有2(5 + 10) = 30个球.故答案为：红色；30.(1)根据放球规则，可知若取出的球都没有放入丙盒，则放入了乙盒，由此得出先放入 甲盒的球的颜色是红色；(2)由题意可知取两个球共有四种情况：红+红，黑+黑，红+黑，黑+红.那 么，每次乙盒中得一个红球，甲盒可得到2个红球，以及红球数=黑球数，即可求解. 本题考查了推理与论证，训练了学生的逻辑思维能力，有一定难度.根据题意得出取两 个球共有四种情况，进而分析得到结论是解题的关键.17 .【答案】解：原式=2百+13X更+再一 13= 273 + 1-V3+V

23、3-1=2技【解析】根据二次根式的性质、零指数基、特殊角的三角函数值、绝对值的性质计算即 可.本题考查的是实数的运算，掌握二次根式的性质、零指数寤、特殊角的三角函数值、绝 对值的性质是解题的关键.18 .【答案】解：2,即/c 1.k的取值范围为k 1.【解析】(1)求出方程的判别式的值，利用配方法得出()，根据判别式的意义即可 证明；(2)设方程的两个根分别是血,不，利用公式法求方程的解，然后根据一元二次方程根 与系数的关系求得k的取值范围.本题考查了根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及韦达定理.20 .【答案】。E DF角平分线的性质【解析】解：(1)补全图形如图所示

24、：(2)证明：作0E_L4B于点作OF_L/C于点4D平分48月C,DE = DF(角平分线的性质)，故答案为：DE, DF,角平分线的性质.(1)根据题意补全图形即可： (2)作DE JL月8于点,作。尸_LnC于点?，根据角平分线的性质即可得到结论.本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判 定与性质.21.【答案】(1)证明：-AEf/CD, CE/AB,.四边形AOCE是平行四边形， 又.乙4cB = 90。，。是AB的中点,： CD = AB = BD = AD * 2 平行四边形AOCE是菱形；(2)解：,在班 力8C中，乙4cB = 90。，AC

25、 = 26 BC = 2,c BC 限 tan乙C4B =， AC 3 乙CAB = 30, 四边形AOCE是菱形， LEAD = 2Z.CAB = 60% AE = AD, 川是等边三角形.【解析】(1)先证明四边形AOCE是平行四边形，再证出一组邻边相等，即可得出结论： (2)根据三角函数的定义得到，C4B = 30。，根据菱形的性质得到乙E/D = 2CAB = 60。, AE = AD,于是得到结论.本题考查了菱形的判定，等边三角形的判定，直角三角形的性质，正确的理解题意是解 题的关键.22.【答案】9 100：4【解析】解：(1)根据图象，可得指标y低于0.4的有9人.故答案为：9：

26、将20名患者的指标X的平均数记作五，方差记作贷，20名非患者的指标X的平均数 记作名，方差记作食,则 S2-故答案为：V，； (2)500 x= 100(A).故答案为：100； (3)根据图象，可知“指标x低于0.3,且指标)，低于08”的有15人，而患者有20人, 则发生漏判的概率是：1一言=也故答案为：.4(1)根据图象，数出直线y = 0.4下方的人数即可；根据图象，可知20名患者的指标x的取值范围是OKxVO.5,且有16名患者的指标 “V 0.3： 20名非患者的指标x的取值范围是0.2 4xv 0.6,且位置相对比较集中，因此 即可求解：(2)利用样本估计总体，用500乘样本中非

27、患者指标x低于0.3所占的百分比即可：(3)先求出样本中“指标x低于0.3,且指标y低于0.8”的人患病的概率，再用1减去这 个概率即可求解.本题考查了平均数、方差的意义，利用样本估计总体，以及概率公式，准确识图，从图 中获取有用信息是解题的关键.23.【答案】解：(1)证明：？& =/， 乙COD =乙COB.,: OD = OB, oc垂直平分8。；，,CE是O。的切线，切点为C， . OC 1 CE于点C.记OC与8。交于点F,由(1)知OCJLBD, 乙OCE =乙OFB = 90. DB/CE, Z.AEC =乙ABD. 在中，AD = 6, sinZ-ABD = sinZ.AEC

28、=5:.BD = 8, AB = 10. .OA = OB = OC = 5.由(1)可知。平分8。，即。尸=8尸，BF = DF = 4,。/为力BD的中位线， OF = AD = 3, CF = 2. 在Rt CFD 中，CD = /CF2 + DF2 = 2如.CD的长为2遍.【解析】(1)由同弧所对的圆心角相等可得NC0D=NC08,再由等腰三角形的“三线合 一 ”性质可得。=。8,从而问题得证：(2)依照题意补全图形即可：由切线的性质可得OC_LCE：由同位角相等可证 DB/CE,由等角的正弦值相等可得sin4力8D =sin&EC = =,从而可求得8。、A3、04、。8和。的值，

29、由OC垂直平分8。，可得8尸及O尸的值；由三角形的中位线定 理可得OF的值，进而求得CF的值，最后在RtaCFD中，由勾股定理可得CQ的长. 本题考查了线段的垂直平分线的判定、切线的性质、解直角三角形、三角形的中位线定 理及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.24.【答案】1.35 2.88 3【解析】解：(1)用光滑的曲线连接力图象现有的点，在图象上，测量出=5时,y = 1.35( 答案不唯一)；故答案为:1.35,注：y= 1.35是估计的数值，故答案不唯一；(2)绘制后以、力图象如下：%千T图1(3)当/P = 2BD时，即 = 2%,在图象上画出直线y = 2心该图

30、象与火的交点即为所求，即图中空心点所示,空心点的纵坐标为2.88,故答案为2.88；从表格数据看，当 = 3时，% =%=3.25,即点。在AB中点时，月=打，即此时点尸在A8的中垂线上，则点。在A3的中垂线 上，则ABC为等腰三角形，故当8P平分乙4BC时，此时点P是力8C的内心，故点。在AB的中点，第15贞，共22页 BD = -AB = 3, 2故答案为3.(1)用光滑的曲线连接图象现有的点，在图象上，测量出X = 5时，y的值即可；(2)描点连线即可绘出函数图象：(3)当月P = 2BD时，即、2 = 2和 在图象上画出直线y = 2x,该图象与内的交点即为 所求；从表格数据看，当x

31、= 3时，% = % = 3.25,故当5尸平分乙48c时，此时点P是A ABC 的内心，故点。在AB的中点，即可求解.本题考查动点问题函数图象、内心的有关知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题, 属于中考常考题型.25.【答案】解：(1)把4(4,1)代入y = 2a 0)得m = 4X1 = 4；(2)当n= 5时，把 8(1,5)代入直线/： y = kx-4Z+l得，5 = /c-4/c + l,解得k =如图1所示，区域W内的整点有(2,3), (3,2),有2个; 如图2,直线/： y = Zx - 4Z + l过(1,6)时，k = _：,区域W内恰有4个整点, 直线，：y =

32、 /ct-4/c + l过(1,7)时，k = -2,区域卬内恰有5个整点, .区域W内恰有5个整点，攵的取值范围是一2KZ V-【解析】(1)把4(4,1)代入y = (% 0)中可得利的值：(2)当n= 5时，8(1,5),将8(1,5)代入 = /-4/ + 1,求得即可，画图可得整点 的个数；分两种情况：直线/： y = kr - 4/c + 1过(1,6),直线/： y = kr - 4% + 1过(1,7),画 图根据区域W内恰有5个整点，确定女的取值范围.本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标, 利用数形结合的思想是解题的关键.26 .【答案】

33、解：(1)当b = 2时，抛物线y = %2 + b% + c化为y = / + 2% +以抛物线的对称轴x = 一5=一全=一1抛物线的对称轴为直线 = 1, 点。的坐标为(一1,0)，OD = 1. OB = 20 D,OB = 2. 点A,点8关于直线4 = -1对称，.点5在点。的右侧. 点5的坐标为(2,0). 抛物线y = x2 + 2x + c与x轴交于点8 (2,0),4 + 4 + c = 0.解得c = -8. 抛物线的表达式为y = x2 + 2x-8.(2)设直线y = x + ?与x轴交点为点E,eg匕+ 2 7 = 0 时，% = - - E（一等,0）. ,抛物线

34、的对称轴为 = .，点。的坐标为(一10), 当bo时，0D = :, OB = 20D, . OB = b. .点A的坐标为（一240）,点8的坐标为（50）.如图1,当-2bV-时，存在垂直于X轴的直线分别与直线/: y = %+一和抛物线 22交于点P,。，且点尸，。均在X轴下方，解得b I当b VO时，-b0. 。= 一 g, v OB = 2OD, OB = -b. 抛物线 = / +版+。与x轴交于点A, B,且A在8的左侧,如图2,当0一等时，存在垂直于工轴的直线分别与直线/： y = X +等和抛物线交于点P, 0，且点P,。均在x轴下方，解得b 0时，得出点A的坐标为(一2瓦0), 点8的坐标为(40),则一2b一彳，解不等式即可:当b J2CN.【解析】(1)由平行线的性质可得出1G =乙G”C.证得NE/8 =