常数项级数和的研究

1、陕西理工学院毕业论文题目常数项级数和的研究学生姓名屈明学号1109014101所在学院数学与计算机科学学院专业班级数应1102指导教师王树勋完成地点陕西理工学院2015年5月30日陕西理工学院毕业论文常数项级数和的研究屈明（陕西理工学院数计学院统计专业1102班，陕西 汉中72300x）指导老师：王树勋摘 要 本文介绍了常数项级数求和的常用方法一般直接用定义法、拆项消去法、公式及四则运算法、利用逐项求导与逐项求积分法、利用幂级数法。下面对常数项级数求和的方法举例说明。关键词 常数项级数 微分 积分 1引言数学史上级数出现的很早，在两千多年前人们就有了粗糙的级数思想。古希腊时期，亚里士多德(Ar

2、istotle，公元前384-公元前322)就知道公比小于(大于零)的几何级数可以求出和数。芝诺(Zeno，公元前490约公元前425)的二分法涉及到把1分解成无穷级数。阿基米德(Archimedes，公元前287公元前212)在抛物线图形求积法一书中，使用几何级数去求抛物线弓形面积，并且得出了级数的和。中国古代庄子·天下中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”含有极限的思想，用数学形式表达出来也是无穷级数。到了中世纪，由于数学家和哲学家对一些涉及到无穷思想的悖论展开了激烈的争论，使得关于无穷级数的研究开展起来.最具代表的是法国数学家奥雷姆(Nicolas Orense，1323一135

3、2)用最初等的方法证明了调和级数的和为无穷，用现在的形式可表示为 中世纪的级数理论，从本质上看没有突破性进展，它的主要贡献并不在于所得到的具体结果，而是在于促使人们接受一种新的观点，即在数学中可以自由的承认无限过程。这对后来理解无穷过程做了铺垫，为形式化处理级数奠定了思想基础。早期数学家仅凭直觉就认为级数是可以收敛的，并将级数从有限项自然的拓展为无限项使用，这导致了有限法则无限拓展的产生。17世纪，伴随着微积分的产生，许多数学家通过微积分的基本运算与级数运算的形式化结合，得到了一些初等函数的幂级数展开式，并且级数在解析运算中被普遍用来代表函数而成为微积分的有力工具，这就使得无穷级数成为微积分不

4、可缺少的部分。1669年，牛顿(Isaac Newton，1643-1727)在他的用无限多项方程的分析 学中，用级数反演法给出了的幂级数，和的级数展开.格雷戈里(James Gregory，1638-1675)得到了等函数的级数，莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-1716)也在1673年独立地得到了和等函数的无穷级数展开式，以及圆面积和双曲线面积的具体展开式。17世纪后期和18世纪，为了适们面前的问题之一是函数表的插值.由于对函数表的精确度要求较高，数学家们开始寻求较好的插值方法，牛顿和格雷戈里给出了著名的内插公式1715年泰勒(Brook Taylor

5、，1685-1731)发表了增量方法及其逆(Methods Increment rum Direct et Inverse)，奠定了有限差分法的基础。17世纪，牛顿、莱布尼茨等人曾研究过有限差分问题，泰勒的工作则使有限差分法从局限的方法(如二项式定理、有理函数的长除法、待定系数法等等)过渡到了一般的方法.这本书中他给出了单变量幂级数展开的著名公式，即泰勒级数泰勒是第一个发表此级数的人，但他不是第一个发现此级数的数学家.在他之前格雷戈里、牛顿、莱布尼茨、约翰·伯努利 (John Bernoulli，1667-1748)和棣莫弗(Abrahamde Moivre)，1667-1754)等

6、数学家都研究过此级数。1717年泰勒运用这个级数求解方程，取得了很好的结果，但是他的证明是不严格的而且没有考虑收敛问题，在当时影响并不太大。直到1755年，欧拉在微分学中将泰勒级数推广应用到多元函数，增大了泰勒级数的影响力，随后拉格朗日用带余项的泰勒级数作为函数论的基础，才正式确立了泰勒级数的重要性。后来麦克劳林(Maclanrin colin，1698-1746)重新得到泰勒公式在时的特殊情况，现代微积分教材中一直将这一特殊情形的泰勒级数称为“麦克劳林级数”。2定义给定一个数列将各项依次相加，简记为，即称上式为无穷级数，其中第项叫做级数的一般项，级数的前项和称为级数的部分和。即 3常数项级数

7、的求和方法3.1根据定义求级数的和利用定义求级数的和就是求级数部分和数列的极限。由于当时，部分和的项数无限增多，因此为了求的极限，必须设法把加以简化直至解出极限。但是如何加以简化并没有一般的方法，下面通过例题加以介绍。例1 求级数的和解 由于 所以,原级数的和 。例2 求级数的和解 =所以，原级数的和。例3求级数的和解 所以，原级数的和。3.2拆项消去法对于常数项级数，若能将其一般项写成数列的相邻两项之差:且极限存在，则中间各项相互抵消掉了,最后只剩下首尾两项了。例4 求级数的和解 由于 于是所以，原级数的和。例5 设，求级数之和解 =因为 ，所以 因此，原级数的和。这种方法还可以是多项相消，

8、如下：例6 求级数的和解 （当时）所以，原级数的和。连锁消去法在级数求和法中是一种很重要的方法，它的关键使级数的一般项分解成部分分式的形式。3.3利用公式及四则运算求和利用一些常见数列的求和公式，如等差数列、等比数列等求和公式，结合其四则运算性质求出级数的和。例7 求级数的和解 所以，原级数的和。例8 求级数的和解 首先注意，因为，所以 ， 同理可得 又 于是，根据收敛级数可以逐项加减等性质，可知=所以，原级数的和= 。3.4利用逐项求导与逐项求积分利用逐项求导或逐项求积分，将级数化为已知的展开式求和例9 求级数的和解 显然级数的收敛域为，设 由于 由于幂级数在收敛区间上是连续的，所以上式对也

9、成立，即 令 ， 则原级数数的和 。例10 求级数（当时，）的和解 因，两边从积分到得再做一次得 左边级数正是原级数。3.5利用幂级数展开式3.5.1幂级数求和利用函数的幂级数展开式以把收敛区间内的数带入展开式中，从而可求出一些数项级数的和。例11 设是等差数列，求级数的和解 设，则 。首先我们有 。设 ，则于是 ，所以 从而得到原级数的和。例12 求级数的和解 因为 令 ， 得 于是，原级数的和 。3.5.2利用解微分方程求和先找出要求和的级数所满足的微分方程（或微分方程组）以及初始条件，然后解这个微分方程（或微分方程组）。例13 求无穷级数的和解 易知该幂级数的收敛故在内处收敛，且可逐项求

10、导，令 又 当时， 解一阶微分方程得， 即 。例14 求下列无穷级数的和（1） （2）解 易知级数(1),(2)的收敛半径均为，当时，令 逐项求导，得 又 解微分方程组为此，对式关于再求导，得又当时，这样，微分方程组就转换为二阶常系数齐次微分方程 解之，从而，即当时，有， 注：求幂级数函数的和一种有效方法是先导出幂级数函数与其导数的关系，然后通过解微分方程求出幂级数函数的和。参考文献 1裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.北京:高等教育出版社,1993.5,335.2宋国柱.分析中的基本定理和典型方法.北京:科学出版社,2004,102.3舒斯会.数学分析选讲.北京:北京大学出版社,2007,

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13、23000，Shaanxi）Tutor:WangShuxunAbstract: This paper introduces the define the method, Using the formula of arithmetic, crack a phase elimination, using the method of power series expansion is known , item by item, differential and integral method item by item , use of Abel theorem 2 , these constant term series summation method . T