5数论体系-中国剩余定理及余数性质拓展.教师版

1、5-5-4.中国剩余定理及余数性质拓展5-5-4.中国剩余定理及余数性质拓展.题库教师版page 12 of 12匍仙!由教学目标1 .系统学习中国剩余定理和新中国剩余定理2 .掌握中国剩余定理的核心思想，并灵活运用即知识点拨一、中国剩余定理中国古代趣题(1)趣题一中国数学名著孙子算经里有这样的问题：今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰： 七十三。”此类问题我们可以称为物不知其数”类型，又被称为 韩信点兵”。韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6

2、人。刘邦茫然而不知其数。我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945 (注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小 公倍数为这些数的积)，然后再加3,得9948 (人)。孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说 上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国 剩余定理(Chinese Remainder Theorem)在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。(2)趣题二我国明

3、朝有位大数学家叫程大位，他在解答物不知其数”问题(即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？)时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知.”这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为中国剩余定理 ”(Chinese RemainderTheorem),是我国古代数学的一项辉煌成果.诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘.五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘.七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘.除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍

4、数，减得差就是所求的数.此题的中国剩余定理的解法是：用 70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的 余数，把这3个结果加起来，如果它大于 105,则减去105,所得的差如果仍比105大，则继续减去105,最后所得的整数就是所求.也就是2X70 3X2142X15 = 233, 233105 = 1非，128105 = 23为什么70, 21, 15, 105有此神奇效用？ 70, 21, 15, 105是从何而来？先看70, 21, 15, 105的性质：70被3除余1,被5, 7整除，所以70a是一个被3除余a而被5与7整除的数；21是5除余1,被3与7整除的数，因此21b

5、是被5除余b,被3与7整除的数；同理15c 是被7除余c,被3、5整除的数，105是3, 5, 7的最小公倍数.也就是说， 70a十21）十是被3除余a,被5除余b,被7除余c的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍 数.了解了剩余定理”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答.二、核心思想和方法对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以孙子算经 中的问题为例，分析此方法：今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3, 5, 7后，得到三个余数

6、分别为2, 3, 2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1 ,并且还是5和7的公倍数。先由5工7 = 35,即5和7的最小公倍数出发，先看 35除以3余2,不符合要求，那么就继续看5和7的 下一个“倍数35 X2 = 70是否可以，很显然 70除以3余1类似的，我们再构造一个除以5余1,同时又是3和7的公倍数的数字，显然 21可以符合要求。最后再构造除以7余1,同时又是3, 5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算： 2x70 + 3x21 + Zx45±E3,5,7 = 233-A3E<|,其中 k是自然数。也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果

7、根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。例如对上面的问题加上限制条件满足上面条件最小的自然数 ”，那么我们可以计算2 X70-F3XZL + 2X+5-2X 3,5,7 = 23得到所求如果加上限制条件 满足上面条件最小的三位自然数”，我们只要对最小的 23加上3,5,7即可，即23+105=128。"蒯1£例题精讲模块一、余数性质综合【例1】 一个数除以3的余数是2,除以5的余数是1,则这个数除以15的余数是。【考点】余数性质综合【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，8题【解析】除以3余2的数有：2、5、8、11、14除以5余1的数有：

8、1、6、11、16、21观察得到符合条件的答案是 11【答案】【例2】 有一群猴子正要分 56个桃子.每只猴子可以分到同样个数的桃子。这时.又窜来4只猴子。只好重新分配，但要使每只猴子分到同样个数的桃子，必须扔掉一个桃子.则最后每只猴子分到桃子 一个。【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，初赛，第19题，6分【解析】56的约数有：1、2、4、7、8、14、28、56,55 的约数有：1、5、11、55,其中只有11=7+4,所以原来有7只猴，后来有11只猴，每只猴子分到55 41=5个.【巩固】一群猴子分桃，桃子共有 56个，每只猴子可以分到同样多的桃子。但在它

9、们正要分桃时，又来了 4 只猴子，于是重新分配这些桃子，结果每只猴子分到的桃子数量相同，那么最后每只猴子分到 个桃子。【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第7题，4分【解析】56的因数有1, 2,4,7, 8, 14,28,56,其中只有4和8相差4,所以最后有猴子8只，每只猴子分到56 6=7个桃子。例3 一个小于200的数，它除以11余8,除以13余10,这个数是几？【考点】余数性质综合【难度】3星 【题型】解答【解析】根据总结，我们发现这两个除数与余数的差都等于11-8 = 13 - 10 = 3,观察发现这个数加上 3后就能同时被11和13整除，

10、所以11、13=143,所以这个数是143-3=140。【答案】140【巩固】不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组 5人，其他人按8人一组围在外圈；另一 种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈。问最多有多少名同学？【考点】余数性质综合【难度】3星 【题型】填空【关键词】华杯赛，初赛，第 10题【解析】 此题实际是一个不足 100的整数，减去5能被8整除，即除以8余5,减去8能被5整除，即除以5 余3,求其最大值。13除以8余5,除以5余3, 8和5的最小公倍数为 40, 13+2M0=93,为满 足条件的整数，即最多有 93名同学。【答案】93【例4】5年级3班同学上体育课

11、，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6排多5人, 问上体育课的同学最少 人。【考点】余数性质综合【难度】2星 【题型】填空【关键词】小数报，初赛【解析】 题意相当于：除以3余2,除以4余3,除以5余4,除以6余5,这样我们根据总结知道都只能凑缺”，所以都缺1,这样班级人数就是3、4、5、6-1=60-1=59人。【答案】59【巩固】有一个自然数，除以 2余1,除以3余2,除以4余3,除以5余4,除以6余5,则这个数最小 是。【考点】余数性质综合【难度】2星 【题型】填空【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第7题，10分【解析】这个数加1能同时被2, 3, 4, 5, 6整除，而2

12、, 3, 4, 5, 6=60所以这个数最小是60 1=59 。【巩固】m除以2余I,除以3余2,除以4余3,除以S余亮 ，除以16余15。Ti最小为。【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空【关键词】走美杯，5年级，决赛，第1题，8分【解析】期加上1后变成1 e 16的公倍数，所以 也十1最小为16 乂 7X 11X13 =720720 , «最小为【答案】72C7L9【巩固】小朋友们要做一次“动物保护”宣传活动，若1人拿3个动物小玩具，则最后余下2个动物小玩具； 若1人拿4个动物小玩具，则最后余下 3个动物小玩具；若1人拿5个动物小玩具，则最后余下 4 动物小玩具。那么这次活

13、动中小朋友至少拿了 个动物小玩具。【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空【关键词】学而思杯，3年级，第9题【解析】那么再加一个玩具，玩具总数就能同时被3,4金整除，能同时被3人5整除最小整数位60。所以这次活动小朋友至少拿了 59个玩具。【答案】59【巩固】小朋友们做游戏，若 3人分成一组，则最后余下 2人；若4人分成一组，则最后余下 3人；若5人 分成一组，则最后余下 4人。那么一起做游戏的小朋友至少有 人。【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第15题，6分【解析】 这个数除以3余2,除以4余3,除以5余4,那么加上一个人这些小朋友的数量能整除3

14、、4、5,3 >4X5=60,那么小朋友至少 59人【例5】一个自然数被【考点】余数性质综合【解析】这个数被7, 8： 所以这个数加上【答案】597, 8, 9除的余数分别是1, 2, 3,并且三个商数的和是570,求这个自然数.【难度】2星【题型】解答9除的余数分别是1, 2, 3,所以这个数加上6后能被7, 8, 9整除，而7,8用=504 ,6后是504的倍数.由于这个数被 7, 8, 9除的三个商数的和是 570,那么这个数加上6后被被7,8,9除的三个商数的和是570- 1+1-1=573,而504二 9十 504= 8 十 504 丁 7 = 7x8 十 7乂q十 8K9 =

15、 1弓1 573 : 191 = 3 所以这个数加上 6等于504的3倍，这个数是504x3 -6= 1506.【答案】1506【例6】 数119很奇特：当被2除时，余数为1;当被3除时，余数为2;当被4除时，余数为3;当被5 除时，余数为4;当被6除时，余数为5.问：具有这种性质的三位数还有几个？【考点】余数性质综合【难度】3星【题型】解答【解析】1, 2, 3, 4, 5, 6=6。三位数中60的倍数15个.所以，除了 119外，还有151 = 14 （个）.【答案】14【巩固】有一批图书总数在1000本以内，若按24本书包成一捆，则最后一捆差2本；若按28本书包成一捆， 最后一捆还是差

16、2本书；若按32本包一捆，则最后一捆是30本.那么这批图书共有 本.【考点】余数性质综合【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，六年级，初赛， 3题【解析】由题意可知，这批书如果再多 2本，那么按24本，2日本，32本一捆全书时，都将恰好分成整数本.所以这批书的本数加上 2之后是24, 28, 3工的公倍数，而24,28,32 = 672 ,所以这批书的本数是 67“一2 （k是整数）.由于这批书少于1D。本，所以土只能为1 ,这批书有67c本.【答案】670本【例7】 某个自然数除以2余1,除以3余2,除以4余1,除以5也余1,则这个数最小是 。【考点】余数性质综合【难度】3星【题型】填空

17、【关键词】希望杯，五年级，初赛，第5题，6分【解析】 除以2余1,除以4余1,除以5余1的最小的数减去1能被2、4、5整除，所以，所以这个数可以 表示为20n+1,n是自然数，所以20n+1中除以3余2的最小数是41.【答案】41【例8】 一个大于10的自然数，除以5余3,除以7余1,除以9余8,那么满足条件的自然数最小为多少？【考点】余数性质综合【难度】4星【题型】解答【解析】根据总结，我们发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是5 3 = 7 1 = 8,这样我们可以把余数都处理成8,即一个数除以5余3相当于除以5余8,除以7余1相当于除以7余8,所以可以 看成这个数除以 5、7、9的余数

18、都是8,那么它减去8之后是5、7、9的公倍数.而瓦7,9 = 315 , 所以这个数最小为315-8 = 323.【答案】323【巩固】一个大于10的数，除以3余1,除以5余2,除以11余7,问满足条件的最小自然数是多少？【考点】余数性质综合【难度】4星【题型】解答【解析】法：仔细分析可以发现 3工2+1 = 5+2 = 7,所以这个数可以看成被3、5、11除余7,由于3511 = 165,所以这个数最小是 165- 7 = 172.法二：事实上，如果没有 大于10这个条件，7即可符合条件，所以只需要在7的基础上加上3、5、11的最小公倍数，得到 172即为所求的数.【答案】172 【例9&q

19、uot;是一个三位数.它的百位数字是4,0十9能被7整除，口一7能被9整除，问n是多少？【考点】余数性质综合【难度】4星【题型】解答【解析】Q十9能被7整除，说明n 9 7 =2能被7整除；。一7能被9整除，说明。一7 + 9 =工+2能 被9整除；7X9 = 63,则白3 2 =61符合上述两个条件.（因632 =61,则Q可以写成这样的形式：=+61）.又口是一个百位数字是4的三位数，估算知，H = 63 K 6 61 = 439.【答案】43S【例10】一个八位数，它被 3除余1,被4除余2,被11恰好整除，已知这个八位数的前6位是257633,那么它的后两位数字是 。【考点】余数性质综

20、合【难度】4 【题型】填空【关键词】101中学，入学测试【解析】 设后面这个两位数为 ab,前面数字和为26除以3余2,所以补上的两位数数字和要除以3余2。同理要满足除以4余2;八位数中奇数位数字和为（2+7+3+a）,偶数位数字和为（5+6+3+ b）这样要求 a=b+2,所以满足条件的只有 86。【答案】86模块二、中国剩余定理【例11】 民间流传着一则故事一一韩信点兵秦朝末年，楚汉相争.一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战.苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人.忽有后军来报，说有楚军 骑兵追来，韩信便急速点兵迎敌.他命令士兵3人一排，结果多出 2名；接着命令士兵 5人

21、一排，结果多出3名；他又命令士兵 7人一排，结果又多出 2名.韩信马上向将士们宣布：我军有 1073 名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人.”根据故事中的条件，你能算出韩信有多少将士么？【考点】中国剩余定理【难度】3星 【题型】解答【分析】 也就是说：一个自然数在 1000和1100之间，除以3余2,除以5余3,除以7余2,求符合条件的 数.方法一：先列出除以 3余2的数：2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26,；再列出除以5余3的数：3, 8, 13, 18, 23, 28,.这两列数中，首先出现的公共数是8. 3与5的最小公倍数是15.两个条

22、件合并成一个就是8+15X整数，列出这一串数是 8, 23, 38,，再列出除以7余2的数2, 9, 16, 23, 30,，就得出符合题目条件的最小数是23.而3, 5, 7= 105,我们就把题目转化为：求之间被105除余23的数.韩信有105 X 10 - 23 =（个）将士.方法二：我们先找出被 3 除余 2 的数：2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 44；被 5 除余 3 的数：3,8,13, 18, 23, 28, 33,38, 43,48, 53, 58-；被 7 除余 2 的数：2,9,16, 23, 32,

23、 37, 44,51.三个条件都符合的最小的数是23,以后的是一次加上 3, 5, 7的公倍数，直到加到1000和1100之间.结果是23+ 105x10= 1073.具体到实际的做题过程中时，从较大的除数 开始做会方便一些.方法三：利用程大位的解法，将题目转化为：求 233加上105的倍数在lODD-llOO之间的数.通过 尝试可以求出这个数是 233 +105X8 = 1073 .【答案】1073【例12】一个数除以3余2,除以5余3,除以7余4,问满足条件的最小自然数【考点】中国剩余定理【难度】3星【题型】填空中国剩余定理【解析】方法一、根据总结，我们发现前面两种都不符合，所以我们只能用

24、最普遍的3、5的公倍数3、7的公倍数5、7的公倍数15213530427045631056084140找出除以7余4的除以5余3除以3余2可以找出分别是：606335可见60+63+35=158满足我们的条件，但不是最小的自然数，处理方法就是减去最小公倍数的若干倍，使结果在最小公倍数之内。所以答案为：158-105=53。方法二：逐步构造符合条件的最小自然数，首先求符合后面两个条件的最小自然数，依次用7的倍数加4,当4被加上两个7时得到18,恰好除以5余3,此时符合后两个条件；再依次用7和5的最小公倍数的倍数加 18,当18被加上1个35个，得到53,检验符合三个条件.所 以所求的最小自然数就

25、是53.【答案】53 【例13】一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1,被5除余2,被7除余3,求符合条件的数.【考点】中国剩余定理【难度】3星【题型】解答【解析】方法1:中国剩余定理3、5的公倍数3、7的公倍数 5、7的公倍数15213530427045631056084140找出除以7余3的 除以5余2 除以3余1可以找出分别是：454270可见45+42+70=157满足我们的条件，但不是1000到1200之间的数，处理方法就是加上最小公倍数 的若干倍，使结果在最小公倍数之内。所以答案为：105工10 + 52 = 1102。方法2:我们先找出被3除余1的数：1, 4, 7,

26、10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31 , 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52,；被 5 除余 2 的数：2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47, 52, 57,；被 7 除余 3 的数：3, 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52,；三个条件都符合的最小的数是52,其后的是一次加上 3、5、7的最小公倍数，直到加到1000和1200 之间.结果是 105 Y 1。+ 5Z = 1102.方法3:先列出除以3余1的数：1, 4, 7, 10, 13, 16,；再列出除以5余2的数：2, 7, 12, 17,

27、 22, 27,；这两列数中，首先出现的公共数是7. 3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是7十15X整数，列出这一串数是7, 22, 37, 52,；再列出除以7余3的数：3, 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52,；就得出符合题目条件的最小数是52.事实上，我【答案】【例14【考点】【解析】【答案】【例15【考点】【解析】们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余52.那么这个数在1000和1200之间，应该是105 H 10 十 52 = 1102.方法4:设这个自然数为 小被3除余1,被5除余2,可以理解为被3除余3 x 2+1,被5除与5十2 , 所以满足

28、前面两个条件的 q = 15m+7 g为自然数），只需15m+7除以7余3,即15m除以7余3, 而15+7 =21,只需 m除以7余3, m最小为 3,所以满足三个条件的最小自然数为 3ML5十7 = 52,其后的是一次加上 3、5、7的最小公倍数，直到加到 1000和1200之间.结果是 105 K 10 + 52 = 1102.1102】一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5,求符合条件的最小的数.中国剩余定理【难度】3星【题型】解答法一：将3、5、7、11这4个数3个3个一起分别计算公倍数，如表：女工11公偌救3、 11公倍数3,111合倍熟工工7公传教的2311口577

29、04623302101155693495315a 1 l - a .J 1 . d i. A . b _ .：除三金。的最小 愚:是1TC隙5余3的量小 值是6羽除7金4的孟小ftJt 1653、5、7的公倍数中被11除余5的数不太好找，但注意到210除以11余1,所以=1050 被11除余5,由此可知770T 693+ 165+1050 = 2政后是符合条件的一个值， 但不是最小值， 还需要减去3、5、7、11的公倍数使得它小于它们的最小公倍数.由于3、5、7、11的最小公倍数是1155,所以267吕一 1155x2 = 3SE是符合条件的最小值.法二：对于这种题目，也可以先求满足其中3个余

30、数条件的，比如先求满足除以3、5、7的余数分别是2、3、4的，既可采用中国剩余定理，得到 70乂 2十21X3+IS X4 =263是满足前3 个余数条件的，从而其中最小的是 263105算2=53；由于53除以11的余数为9, 105除 以11的余数为6,可知9十6黑3 = ?7除以11的余数为5,所以53 105x3 =368是满足条 件的最小数.也可以直接观察发现这个数乘以2之后除以3、5、7的余数分别是 4、6、8,也就是除以3、5、7的余数都是1,所以满足前三个条件的数最小为 （3 X 5 X 7 + 1） + 2 = 53 , 后面的步骤与上面的解法相同.53有连续的三个自然数o十

31、1、a-1-2,它们恰好分别是 9、8、7的倍数，求这三个自然数中最小的数至少是多少？中国剩余定理【难度】3星【题型】解答法一：由a十1是8的倍数，得到口被8除余7,由口十2是7的倍数，得到值被7除余5,现在相当于一个数a除以9余0,除以8余7,除以7余5.运用中国剩余定理求。（用逐步满足的方法也可以）7和M 亡”.、信轼了和9 的公倍数和9 的公传教56砧72L121261441(53您21C52242522鸵2SD3154417和8的公倍数中除以 9余1的最小为280; 7和9的公倍数中除以8余1的最小是441; 8和9的 公倍数中除以7余1的最小是288,根据中国剩余定理，230*。十4

32、41X7十288X 5 =4527符合各个余数条件，但 4527不是最小的，还需要减去7、8、9的公倍数，可知4527-（7* 8X 9）X8 = 495是满足各个余数条件的最小值，所以 0至少是495. 法二：仔细观察，可知由于 口、口十1、口十2恰好分别是9、8、7的倍数，那么a十9、以一1+8、a十2 7 也分别是9、8、7的倍数，即a十9是9、8、7的公倍数，那么。十9的最小值是9 X R N 7 = ,即 a至少是 504 9 = 495.【答案】495模块三、余数性质的拓展应用 新中国剩余定理【例16】有一个数，除以3余2,除以4余1,问这个数除以12余几?【考点】余数性质的拓展应

33、用 一一新中国剩余定理【难度】3星【题型】解答【关键词】首师大附中，分班考试【解析】方法一：除以3余2的数有：2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23,;它们除以12的余数是：2, 5, 8, 11, 2, 5, 8, 11,；除以 4余 1 的数有：1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29,；它们除以12的余数是：1, 5, 9, 1, 5, 9,；5是共同的，因此这个数除以12的余数是一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5.方法二：一个数，除以 3余2,除以4余1,可以理解为除以 3余3+2,除以4余4 + 1,所以这个数减去5后，既能被3整除，又

34、能被4整除，设这个数为a,则。= 12m + 5, （m为自然数）所以这 个数除以12余5【例17如图，在一个圆圈上有几十个孔 （不到100个），小明像玩跳棋那样，从 4孔出发沿着逆时针方向， 每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到 A孔.他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到 B孔.他 又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到 B孔.最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到 A孔，你知道这 个圆圈上共有多少个孔吗 ？【考点】余数性质的拓展应用 新中国剩余定理【难度】3星【题型】解答【关键词】华杯赛【解析】设想圆圈上的孔已按下面方式编了号：A孔编号为1,然后沿逆时针方向顺次编号为2, 3, 4,，B孔的编号就是圆

35、圈上的孔数.我们先看每隔2孔跳一步时，小明跳在哪些孔上？很容易看出应在1, 4, 7, 10,上，也就是说，小明跳到的孔上的编号是 3的倍数加1.按题意，小明最后跳到B孔，因此总孔数是 3的倍数加1.同样道理，每隔 4孔跳一步最后跳到 B孔，就意味着总孔数是 5的倍数加1;而每隔6孔跳一步最 后跳回到A孔，就意味着总孔数是 7的倍数.如果将孔数减1,那么得数既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数.这个15的倍数加上1就 等于孔数，设孔数为 a,则。=15m十1 （团为非零自然数）而且口能被7整除.注意15被7除余1, 所以15X6被7除余6, 15的6倍加1正好被7整除.我们还可以看出，1

36、5的其他（小于的7）倍数加 1都不能被7整除，而15K 7 =已经大于100. 7以上的倍数都不必考虑，因此，总孔数只能是15Kb+ 1 = 91.【答案】91【例18】三个连续三位数的和能够被 13整除，且这三个数中最大的数被9除余4,那么符合条件的三位数中最小的数最大是。【考点】余数性质的拓展应用 一一新中国剩余定理【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，6年级【解析】 设中间数是d,三个连续自然数的和是中间数的3倍即3白，由13|3以得13|3口，所以中间数能被 13整除，而其中最大的数被 9除余4,说明中间数被 9除余3,从1000往下试能被13整除的数为988, 975,， 97

37、5符合两个条件。所以符合条件的三位数中的最小的数的最大是975-1=974.【答案】974【例19】某小学的六年级有一百多名学生.若按三人一行排队，则多出一人；若按五人一行排队，则多出 二人；若按七人一行排队，则多出一人.该年级的人数是 .【考点】余数性质的拓展应用 一一新中国剩余定理【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，二试，第6题，5分【解析】符合第一、第三条条件的最少人数为3 >7+1=22人，经检验，22也符合第二个条件，所以 22也是符合三个条件的最小值，但该小学有一百多名学生，所以学生总人数为22+3 5歹=127。【答案】127【例20】智慧老人到小明的年级访问

38、，小明说他们年级共一百多名同学，老人请同学们按三人一行排队， 结果多出一人，按五人一行排队，结果多出二人，按七人一行排队，结果多出一人，老人说我知【难度】3星【题型】填空道你们年级原人数应该是（）人。【考点】余数性质的拓展应用一一新中国剩余定理 【关键词】华杯赛决赛第 6题，10分a,【解析】根据条件，该数除以 3余1,除以5余2,除以7余1,逐级满足法，令该数为则a+ 3.1a+ 5.2a+ 7.1符合条件的有1,4, 7, 10, 13, 16.符合条件的有2, 7, 12.同时满足 、的最小值为7,以后a=7+15m均满足、；现在来看（7+15m） + 7-11则15m+ 7-，.1则m

39、最小取1,符合，最小的符合的数为a=22。以后每隔3 5 7 = 105即符合。该年级有100多名学生，为22+1-5=127。【例21】三个连续的自然数，从小到大依次是4、7、9的倍数，这三个自然数的和最小是 .【考点】余数性质的拓展应用 一一新中国剩余定理【难度】3星【题型】填空【关键词】 学而思杯，6年级，1试，第3题【解析】 本题看起来是一个关于整除或约数、倍数的题，但实际上不大用得上被4、7、9整除的数的特征或者约数、倍数的一些性质，而如果以这三个连续的自然数中的某一个为基础，比如以中间的那个数 为基础，那么另外的两个数分别为这个数减1和这个数加1,那么题目变为：一个数除以4余1,除

40、以9余8,且能被7整除，且这个数的最小可能值.这是一个余数问题，我们可以采用逐步满足法， 也可以采用中国剩余定理来解.方法一：逐步满足法.除以4余1的数有：1, 5, 9, 13, 17, 21,； 除以9余8的数有：8, 17, 26,.可见同时满足这两条的数最小为17,由于49 = 36,那么满足除以4余1且除以9余8的数有：17, 53, 89, 125, 161, 197 其中能被7整除的数最小为161,所以所求的3个连续自然数的中间的那个数最小为161,那么它们的和最小为161X3 =483.方法二：代数表示法.根据题意，设这三个数分别为7上一1、7K 7k + l像是整数），那么7上一1是4的倍数，了上一1 是9的倍数，由于7上一1 =映一伏+ 1）, 7k + l = 9k-（2k-y ,所以上+1是4的倍数， 1是9的倍数，由自+ 1是4的倍数知次+ 2是8的倍数，设= 那么 2k-h2=9n + 8 = 8n-bn-h3,所以福十3是8的倍数，也最小为5,相应地1fc最小为23,那 么这三个自然数的和最小为 7X23X3 = 433.小结：本题并不难，以上四种解法中法1、法2是同余问题的解法，尤其是法 2,是对中国剩余定理的典型应用，需要学生掌握.而法 3、法4则是采用代数方