摆动法测量转动惯量

1、实验4用复摆测量刚体的转动惯量一、实验目的1 学习掌握对长度和时间的较精确的测量；2 掌握重力加速度的方法，并加深对刚体转动理论的理解；3 学习用作图法处理、分析数据。二、实验仪器JD-2物理摆、光电计时器等三、实验原理1.单摆如图4-1 （单摆球的质量为m ）当球的半径远小于摆长I时，应用动量矩定理，在角坐标系可得小球自由摆动的微分方程为:时,式中t为时间，g为重力加速度，I为摆长。则（4-1 ）式可简化为:(4-1)当711 (rad )很小(4-2)图4-1单摆原理令（4-3 ）式的解为:(4-3 )(4-4)(4-5 )冃-v10 sinC心)式中刊0 ,:由初值条件所决定。周期Ti(

2、4-6)2 物理摆一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆或物理摆。如图4-2，设物理摆的质心为C,质量为M，悬点为O,绕O点在铅直面内转动的转动惯量为J。，OC距离为h，在重力作用下，由刚体绕定轴转动的转动定律可得微分方程为二-Mgh sin -(4-7)-2MghJ0(4-8 )图4-2 物理摆（复摆）-)sin(：)(4-9)(4-10)仿单摆，在二很小时，（4-7 ）式的解为:J0；M gh设摆体沿过质心 C的转动惯量为Jc，由平行轴定理可知:Jo=Jc Mh2(4-11)将（4-11 ）代入（4-10 ）可得:(4-12)（4-12）式就是物理摆的自由摆动周期T和（4-13 ）式右端各参变量

3、之间的关系。实验 就是围绕（4-12 ）式而展开的。因为对任何Jc都有Jc % M，因此（4-13 ）式的T与M无关，仅与M的分布相关。(4-13 )令J二Ma , a称为回转半径,则有 一次法测重力加速度g由（4-12 ）式可得出2 2(4-14 )4二(Jc Mh )Mh测出（4-14 ）右端各量即可得 g ;摆动周期T,用数字计时器直接测出，M可用天平称出，c点可用杠杆平衡原理等办法求出，对于形状等规则的摆，Jc可以计算出。 二次法测g一次法测g虽然简明，但有很大的局限性，特别是对于不规则物理摆，Jc就难以确定，为此采用如下“二次法”测 g :当M及其分布（C点）确定以后，改变h值，作两

4、次测T的实验，运用（4-13 ）式于是有2Ti2J c Mh i=4 二Mgh12,2 Jc Mh2=4 二Mgh2222 2Mgh1T14二 Jc4二 Mh-i =0222 2Mgh2T2 -4二 Jc4二 Mh20(4-15)(4-16)联立解（4-15 ）、（ 4-16 ）式，可得出g =4 2h/ - h222 2人2丁2(4-17)这样就消去了 Jc，所以（4-17 ）测g就有着广泛的适用性。从（4-17 ）式，更可十分明确地看到T与M的无关性。虽然，任意两组（h1,T1 ），（ h2,T2）实测值，都可以由（4-17 ）式算出g ;但是，对 于一个确定的“物理摆”选取怎样的两组（

5、h,T ）数据，使能得出最精确的 g的实测结果 呢？为此必须研究T （ h ）关系：将（4-12 ）式平方，于是可得出工亘24 二 Mgh g(4-18 )从此式可以看出T2与h的关系大体为一变形的双曲线型图线：当h趋于0时Ttr,当h*, T亦趋于a；可见在 h的某一处一定有一个凹形极小值。为此，对（4-18 ）作一次求导并令其为0；即由巴=o,可得dhJCMgh(4-19 )(4-20 )Mh2 =JC =Ma2即移动摆轴所增加的转动惯量恰为质心处的转动惯量，即h =a处所相应的T为极小值（为什么？）。（注意：体会称a为回转半径的含义）将（4-13 ）式取二次导数为研究T （ h）关系特在

6、0.6m长的扁平摆杆上，间隔 2cm均匀钻出直径为1cm的28个孔以作为O点的Hi值（i= ±1 , ±2 , ±3, ±14）于是可得出如图 4-3所示的图4-3摆动周期T与摆轴离中心距离h的关系曲线。在共轭的A , B二极小T值点以上，沿任一 T h画一条直线，交图线于 C, D , E, F 四点；皆为等T值点，错落的两对等T值间的距离（hD+h e）= h c + h f被称为等值单摆长。 为理解这一点，将（4-17 ）式的Ti与Te （或Td）对应，T2与Tf （或Tc）对应，hi为与Ti对应的hE，h2为与T2对应的hF，并将(4-17)式改

7、形为:2 2 2 2 2(4-22)4"TiT2Ti -T2g _2(hi h2)2(hi 弋)（4-22 ）与（4-17 ）的等同性同学们在课后去用代数关系式验证。从（4-22 ）可知,当Ti = T 2 （ =T ）时，即化为单摆形式的公式（4-6 ），故称（hE+hF）、（ hc+h d）为等值单摆长。从（4-20 ）式可知： OB = OA = a ；而 ax2 = h e+ h i从图4-3可知，A，B二共轭点为T（ h）的极小值点，若在它附近取二个h值来计算g则将引起较大的误差。所以欲取得精确的g的测量值，就只能取最大的F点和相应的E点来计算g值。因孔的非连续性，E只能取

8、Te近乎于Tf的点代入（4-22 ）式。还可取略大、略小的两组值都计算出再取平均。A或B在实验上虽然不利于测量出较精确的g，但运行在Tb （或Ta）值下的摆，其 性能最稳定。 可倒摆为提高测g的精度，历史上在对称结构的物理摆的摆杆上，加两个形体相同而密度不 同的两个摆锤对称地放置。于是质心 C点随即被改变，图4-3的图线也随之改变，特别是 Tc （即Ti）, Tf （即T2）所相应的he （即hi），hF （即h2）也随之改变。但曲线的形状依 归。所以，用此时的 T（ =Tf =Te）和hi（ =h e），h2（ =h f）按（4-22 ）式来计算出 g。 当然，由于摆杆孔的非连续性，所以仅能

9、用Tc Tf的实测值，这时（4-22 ）式的右端的第2项仅具很小的值。所以（Ti - T2）很小，而（hi - h2）较大。所以实验须先在重铁锤的摆杆的下端测出Ti后，将摆倒置过来，从远端测出大于Ti的值然后逐渐减h2直至T2小于Ti为止。将加有二摆锤的摆叫作可倒摆（或称为开特氏摆）；（4-22 ）式就称为可倒摆计算式。摆锤用两个而不是用一个，而且形体作成相同，是因为倒置以后在摆动过程中，摆的 空气阻尼等对摆的运动的影响可消除。由物理摆的理论可知，可倒摆（开特摆）仅是物理摆的特例。 锤移效应a 加锤摆的摆动周期 Tm设原摆为一带刻度的摆杆。摆的质量为 M，质心为C （设为坐标原点），摆心为0,

10、 C0距离为h，质心C处与摆心0处沿0Z轴的转动惯量为 Jc、Jo。以上条件皆固定不 变。然专业资料*图4-4 *加锤摆(4-24)Tm =2 二Ma2 Mh2 mr2 m(h-x)2(M m) g (h5mmX)(4-28 )后再加一个圆柱形的摆锤，锤的回转半径为r，质量为m ;正轴与上述各轴平行。锤移动沿 CO方向为+X。置锤于X处，如图 4-4所示。摆的总质量为M '二M m（4-23）质心变为C',由一次矩平衡原理可得出CC' m X /（M m）所以新的摆长h' = h CC hm X/(M m)(4-25)由平行轴定理，可得Jo，= Ma2 Mh2

11、mr2 m(h-X)2(4-26)设重力加速度g已知（不变），则带锤的摆动方程式仿（4-7 ）、（4-10 ）式为：（动量 矩定理）J0v - -(M m) g hm X /(Mm) si(4-27)i .加锤摆的周期公式 Tm为:在研究锤移效应时，令（固定不变）2 2 2C 二 Ma mh mr所以有此式的特点:k =(M m) g(4-30) 4 f m(h X)2V k (hm x) M m(4-31 )它与无锤摆的形式相似，即原T ( h)关系与现在Tm (X)关系相似,(此时h为固定常数)由于X的取向等原因，所以 Tm ( X)相当于图4-3曲线的左叶，Tm(X)的渐近线亠X =0,

12、即XJh时,M mm而X的负向则为，XT Tm + mh，则Tm为复数(无意义)它也存在着极(小)值所以应由(4-32 )dT m ( X )dXdTmdXdTmdfdfdXc m(h X)2k(h-XX) m + X所以有2d c m (h _ X )M + M-0)X2U =C m(h -X),V =h m X , M +m代入u、d () uv . _ dX -dvdX2vduv X可得(h -X)2m(h-X) (-1)-C m(h-X)(G( 4-33)7X)2mm22(hX) (2mh-2mX) (-1)(c - mh -2mhX mX)=OM +mM +mm2X 22 m(c m

13、h2)M-m X -2mhX 2mh -7TT = 02 ,m22 m(c mh2)、2mh _ (2mh) -4：: 2mhM mM mX =分子，分母都除以2m （根号内除以4m2）得12mh2M mmM m2m(c mh )M m (M m)h-.(M m)2h2 -2mh2(M m) -m(c mh2)_ (M m)h 二 '- Mh 2 2Mmh2 m2h2 _2mh2M _2m2h2 _mc m2h2_ (M m)h 二. me M 2h2所以X 一定有解，T有极值T（ X）如前所述，T （X）函数与T （ h ）函数的性状是一样的， 所以此极值也一定是极小；（以 求密来判

14、定，略去）dxii 零质量摆锤的周期（公式）Tm°将m=0代入公式（4-28 ),可得Tm zSJC +Mh2 +O+Ox(h-X)2(M 0) g叽2Jc MhM g hgh g=Th(4-35)Th意义就是与X平行的，值为Th的T （X ）函数线。Th也就是无锤摆在CO = h时的摆动周期值，这也就是研究T （X）时为什么X的取向，原点都与原来的T （ h ）的h取向、 原点为一致的原因，而另取一个有别于h的符号X是为了讨论、理解得方便。理解这一点是弄 明下一点的前提。iii 周期Tm与Th （即m=0时的Tm）的交点，即有 Tm =T h也就是令（4-28 ）式与（4-13 ）

15、式相等，于是有:Ma2 Mh2 mr(M m) g (hm(h-X)2(4-36 )所以解得a2 h2ghMa2 Mh2 mr2 m(h-X)2(M m) g (hX)a2 h2 Ma2 Mh2 mr2 mh2 -2mhX mX2 ghg(M m)h -mX2 2 2 2 2mhX -m(h -a )X -mh(a -r ) =0hX2 _(h2 _a2)X _h(a2 _r2) =02X*(h-*)+4(a2-r2)2上式如下特点:它与m无关。即锤的结构、形状相同（r相同）而密度（即质量） 在X处摆的周期T相等。它在r : a条件下有两个实根。(h2 -a2)2 h2a24h2即虽然它与锤质

16、量无关，但它与质量的分布（回转半径r）相关,式时，无解。 当4h2a2 (h2 V 2h（4-37）不同的摆锤，（4-38）.r 满足（4-38）（4-39）时退化为只有一个解:h2-a22hiv.回到物理摆的周期公式（4-12 ）式或（4-13 ）式，在摆杆质心点当有类似情况。当m工0而rt0的质点锤置于摆杆的质心 C处时，并且悬挂点于 a处。当m丰0 , m变则T变，这与由（4-37 ）式算出的X处r不变T变，m变而T为 不变是有所不同的。v .（钟表摆的）T的微调远离于C, Xi , X2;调摆锤（或平衡锤一一亦可称之为摆的“平衡”锤）的质量或其质量的分布。移动 平衡锤。三、实验内容与步骤安装、调节好仪器以后：1 测出无锤摆杆的 T （ H ）关系；（可只测半截摆杆的）2 测出两个加锤摆的 Ti （X）, T2 （X）关系；两摆锤的形状、尺寸须相同，而质量 不同；3 然后按原理所述，进行数据处理。数据表格自列。四、注意事项专业资料1 .摆幅A须小于1 °,按R=0.3m（ 1摆杆）+0.03m（摆针）=330mm 计2倍振幅2 二 3