数学建模之层次分析模型

1、毕业后的选择小组成员：刘志达 58刘韵仪 0817020050诸勉充 0817010118李至玮 0817010042摘要：我们在日常生活中总会碰到许多抉择问题，而我们的抉择很多时候都是跟我们自己的主观因素有关。现在我们利用数学建模模型中的层次分析模型，前提来帮助自己在很快就要面临的离校之后的去向问题作出一个比较科学的选择。从两个方面（效益与代价）综合考虑，看看我们应该选择什么比较合适。关键字：数学建模；层次分析发；毕业后的选择一、问题提出的背景我们现在已经是大三了，而且是处于大三的第二学期，很快我们就会变成众大四中的一员，我们还有一年多的时间就得离开这个校园，而离开这个校园后我们又该何去何从

2、呢？因此，我们必须提前为自己个将来做一个打算。通常我们大四毕业后的去向有三个，分别是出国留学，考取本国的研究生，又或者踏入工作的阶段。二、解决问题的办法T. L. Saaty 等人在20世纪70年代提出了一种能有效地处理这样一类问题的使用方法，称层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简记AHP），这是一种定系个定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。我们打算运用这个方法来帮助自己在决定去向的问题上作出一个更加科学的选择。一般毕业后的去向主要有出国留学、考取研究生、工作三种，进行抉择的时候不外乎要从效益和代价两个方面考虑，这两个方面又各有若干准则加以度量，用AHP方法

3、处理应将效益和代表作为两个目标，分别建立层次结构。然后通过层次分析法的分析，结合两个目标做出选择。三、建立层次结构模型将决策问题分解为三个层次，最上层为目标层，中间层为准则层，最下层为方案层。目标层有两个，分别为效益和代价，准则层每个目标层都有四个，分别为潜力、就业、优越感、学识和花费、时间、生活习惯、压力，方案层都是出国留学、考研、工作，具体如下图所示。效益潜力就业优越感学识出国留学考研工作代价花费时间生活习惯压力出国留学考研工作四、构造成对比较阵假设矩阵A和矩阵C是分别目标效益和目标代价的准则层的成对比较阵。A=11111/51/21/51/25522131/31C=131/312411/

4、21/211/4211/221各个准则之间的侧重比如矩阵所示，这里就不详细说明了。五、计算权向量并做一致性检验成对比较阵的最大特征根和特征向量的计算方法有三种，分别是幂法、和法、根法。幂法与根法这里就不介绍了，一面介绍一下下面使用到的和法。和法的步骤如下：a. 将A的每一列向量归一化得b. 对ij按行求和得c. 将i归一化d. 计算特征值A=11111/51/21/51/25522131/31列向量归一化0.11110.11110.11110.11110.11540.10.11540.10.55660.55660.22220.22220.57690.60.19230.2按行求和0.43760.

5、43762.28810.8367归一化0.10940.10940.57190.2092=A2AA2=0.43780.43782.29350.8384，=4.0361一致性指标CI=-nn-1=0.012随机一致性比率 当n=4时，RI=0.90一致性比率CR=CIRI=0.0134<0.1，所以A的不一致程度在容许范围以内，可用其特征向量作为权向量。C=131/312411/21/211/4211/221列向量归一化0.480.42860.160.14290.33330.66670.16670.08330.240.14290.120.28570.16670.08330.33330.166

6、7按行求和1.90860.55290.63290.9057归一化0.47710.13820.15820.2264=C2CC2=2.11370.56860.64820.9385，=4.1968一致性指标CI=-nn-1=0.0656随机一致性比率 当n=4时，RI=0.90一致性比率CR=CIRI=0.0729<0.1，所以C的不一致程度在容许范围以内，可用其特征向量作为权向量。六、计算组合权向量并做组合一致性检验假设矩阵B1,B2,B3,B4分别为方案层在目标效益的准则潜力、就业、优越感、学识下的成对比较阵，D1,D2,D3,D4分别为方案层在目标代价的准则花费、时间、生活习惯、压力下的

7、成对比较阵。设出国留学为方案P1 ,考研为方案P2，工作为方案P3。在目标效益中，潜力方面，P1最好，P2次之；在就业方面，P1最好，P2次之；优越感方面，P1最好，P2次之；学识方面，P1最好，P2次之。在目标代价中，花费方面，P1最高，P2次之；时间方面，P2最高，P1次之；生活习惯方面，P3最高，P1次之；压力方面，P3最高，P2次之。B1=1351/3141/51/41， B2=1261/2141/61/41， B3=1261/2121/61/21，B4=1471/4131/71/31D1=1681/6131/81/31， D2=11/323151/21/51， D3=131/21/3

8、11/4241， D4=11/21/5211/3531这里矩阵Bk、Dk(k=1，,4)中的元素是方案对于准则的优越性的比较尺度。由目标效益的第三层的成对比较阵Bk计算出权向量k（3），最大特征根k和一致性指标CIk，结果列入下表。K1234k（3）0.61970.28390.09630.58690.32380.08930.61270.26930.1180.67520.25210.0727k3.08663.00943.01853.1264CIk0.04330.00470.00920.0632由于n=3时，随机一致性指标RI=0.58， 所以除了CI4均可以通过一致性检验。因此，要对B4进行修正

9、。修正后的B4=1471/4121/71/21，43=0.1750.18710.0978，4=3.0021，CI4=0.001，CR4=0.0017<0.1，所以B4的不一致程度在容许范围以内，可用其特征向量作为权向量。上表修正后的结果如下表。K1234k（3）0.61970.28390.09630.58690.32380.08930.61270.26930.1180.1750.18710.0978k3.08663.00943.01853.0021CIk0.04330.00470.00920.001下面的问题是由各个准则对目标效力的权向量A2和个方案对每一准则的权向量k（3），计算各方案

10、对目标的权向量，称为组合权向量，记作（3）。对于方案P1，它在潜力等4个准则中的权重用k（3）的第一个分量表示，而4个准则对于目标的权重又用权向量A2表示，所以方案P1在目标效益中的权重应为他们相应项两两乘积之和，即0.1094*0.6197+0.1094*0.5869+0.5719*0.6127+0.2081*0.175=0.5188，同样可以算出P2，P3在目标效益中的组合权重为0.2596和0.1082。，于是目标效益的组合权向量（3）=0.5188，0.2596，0.1082T。结果表明方案P1在抉择中占的权重超过1/2，远远大于P2，P3，在目标效益中应该选择方案P1。由目标代价的第

11、三层的成对比较阵Dk计算出权向量k（3），最大特征根k和一致性指标CIk，结果列入下表。K1234k（3）0.7530.17180.07520.22990.6480.11220.32020.12260.55710.12220.22990.684k3.0753.00333.01843.0038CIk0.03750.00170.00920.0019由于n=3时，随机一致性指标RI=0.58， 所以上面的CIk均可以通过一致性检验。同样可以得出目标代价的组合权向量（3）=0.4695，0.243，0.2944T。结果表明方案P2在抉择中占的权重最低，在目标代价中应该选择方案P2。七、结论当我们需要做

12、出抉择时不能只考虑单方面的情况，不能过于片面，不能只为了效益而忽视了代表，也不能为了降低代价而放弃效益，所以应该结合两个目标的影响来做出最后的抉择，从效益与代价的结合中找出一个适中的方案来作为自己最终的选择。因此，结合两个目标的组合权向量，组成一个新的组合权向量。 =0.5188*0.4695，0.2596*0.243，0.1082*0.2944T =0.2436，0.0631，0.0319T从最终的组合权向量可以看出，方案P2相对其他两个方案更加适中，所以应该选择方案P2作为最终的选择。从效益与代价两个方面综合考虑，按照出面得出的数据，毕业后的选择应该是选择去考研。相对于其他两个选择，选择考研比较适合。八、结语毕业后的路，每个人的选择都不同。选择很多时候都是由各自的主观想法决定的，这里我们只是以我们对待这些因素的看法作为一个例子，运用数学建模的方法来解决这个问题。每个人有