-麦克斯韦速率分布律

1、太原理工大学物理系太原理工大学物理系4-4 4-4 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 热力学系统中热力学系统中分子数量多分子数量多，分子速度的大小、分子速度的大小、方向方向千变万化，分子的速度分布、速率分布有千变万化，分子的速度分布、速率分布有无无规律规律? ?单个分子的速率无规则，但从大量分子的整体单个分子的速率无规则，但从大量分子的整体来看，在平衡状态下，分子的速率分布遵循一来看，在平衡状态下，分子的速率分布遵循一定的定的统计规律。统计规律。气体分子的平均平动动能气体分子的平均平动动能方均根速率方均根速率mkTv32分子速率的一种统分子速率的一种统计平均值计平均值221vmt太原理工大

2、学物理系太原理工大学物理系例例伽尔顿板实验中伽尔顿板实验中, 设粒子总数为设粒子总数为N，i为小槽为小槽的序号，的序号， Ni为落入第为落入第i个小槽的粒子数个小槽的粒子数每个槽内的钢球数与总数之比：每个槽内的钢球数与总数之比：NNNNNNi 21,1）与狭槽的与狭槽的宽度宽度有关有关( )iNfxxN NNi2）与狭槽的与狭槽的位置有关位置有关太原理工大学物理系太原理工大学物理系xxx x )(xfx0是位置的函数是位置的函数)(xf概率分布函数表示随概率分布函数表示随机变量机变量x处单位区间内处单位区间内的概率，所以概率分的概率，所以概率分布函数又称为布函数又称为概率密概率密度。度。称为称

3、为概率分布函数概率分布函数xNNxfi)(太原理工大学物理系太原理工大学物理系一、一、 速率分布函数速率分布函数 把速率分成很多相等的间隔把速率分成很多相等的间隔 + o 统计出每个统计出每个 间隔内的分子数间隔内的分子数 N + 间隔内分子数与分子总数间隔内分子数与分子总数N之比之比NN某某 处单位速率间隔内分子数与处单位速率间隔内分子数与总数之比总数之比v1NNv1NN只与速率只与速率v有关，只是有关，只是v 的函数。的函数。太原理工大学物理系太原理工大学物理系v1)(NNvf速率分布函数速率分布函数说明了理想气体分子速度大小的分布是说明了理想气体分子速度大小的分布是有规律有规律的，这一结

4、论由麦克斯韦的，这一结论由麦克斯韦 1859年用概率论证明年用概率论证明. 2223224)(vvvkTmekTmf二、麦克斯韦速率分布律二、麦克斯韦速率分布律反映反映理想气体在热动平衡条件下理想气体在热动平衡条件下，各速率区间分，各速率区间分子数占总分子数的百分比的规律。子数占总分子数的百分比的规律。太原理工大学物理系太原理工大学物理系麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线Ovpvv)(vf)(vf太原理工大学物理系太原理工大学物理系vvvddNNf)(vv d)(fNNvd表示分子速率在表示分子速率在vv+dv间隔内的分子数占总分子间隔内的分子数占总分子数的百分比。数的百分比。表示分子速

5、率在表示分子速率在v附近，单位速率间隔内的分子附近，单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比。数占总分子数的百分比。1）f (v ) 的意义的意义讨论讨论2）f (v ) dv的意义的意义f (v )为速率分布图上的一条为速率分布图上的一条竖线竖线 f (v ) dv为速率分布图上的一个为速率分布图上的一个窄条面积窄条面积 太原理工大学物理系太原理工大学物理系vO面积面积面积面积21d)(vvvvfNdNvvd)(f)(vf)(vfvd1v2v太原理工大学物理系太原理工大学物理系是速率分布曲线下的一个有限面积，表示速率是速率分布曲线下的一个有限面积，表示速率在在v1v2范围内分子数与总分子数之

6、比。范围内分子数与总分子数之比。4） 的意义的意义vv d0)(f1)(0vv df是速率分布曲线下的总面积是速率分布曲线下的总面积. .称为归一化条件称为归一化条件3） 的意义的意义21d)(vvvvf太原理工大学物理系太原理工大学物理系vv d)() 1 ( nfVNnNNf,dd)(vvvvnfd)(VNd表示单位体积内分布在速率区间表示单位体积内分布在速率区间 内的内的分子数。分子数。vvvd说说明明下下式式的的物物理理意意义义：为为分分子子数数密密度度，为为速速率率分分布布函函数数，nf)(v例例1太原理工大学物理系太原理工大学物理系vv d)()2(Nfvvdd)(NNfNdvv

7、d)(Nf表示分布在速率区间表示分布在速率区间 内的分子数。内的分子数。vvvd太原理工大学物理系太原理工大学物理系21d)()3(vvvvfnVNnNNf,dd)(vvvvvvd)(21fnVNNNVN表示分布在单位体积内，速率区间表示分布在单位体积内，速率区间 内内的分子数。的分子数。21vv 太原理工大学物理系太原理工大学物理系三、三、 气体的三种统计速率气体的三种统计速率0d)(d0pfvvv极值条件极值条件(1)最概然速率最概然速率:mkTp2vmolmolMRTMRT41. 12AAmNTkN2速率分布函数速率分布函数 中的极大值对应的分子速率中的极大值对应的分子速率)(vfpv太

8、原理工大学物理系太原理工大学物理系)(vfvpvO 平衡态下的理想气体平衡态下的理想气体, ,在一定温度下分布在最在一定温度下分布在最概然速率概然速率 附近单位速率间隔内的相对分子附近单位速率间隔内的相对分子数最多。数最多。pv太原理工大学物理系太原理工大学物理系气体分子速率的算术平均值。气体分子速率的算术平均值。NNvvN0dmkTv8(2)平均速率：平均速率：0d)(vvvfmolmolMRTMRT60. 18AAmNTkN8太原理工大学物理系太原理工大学物理系气体分子速率平方的平均值的平方根。气体分子速率平方的平均值的平方根。NNvvN022d02dv)v( fvmkT3(3)方均根速率

9、：方均根速率：AAmNTkNmkTv332molmolMRTMRT73. 13或由或由得出得出kTvmt23212太原理工大学物理系太原理工大学物理系2v)(vfvpvvO2pvvv三种速率均与三种速率均与 成成正正比比,与与 成成反比反比，但，但三者有一个确定的比例三者有一个确定的比例关系关系;三种速率使用于不三种速率使用于不同的场合。同的场合。molMT三种速率比较三种速率比较太原理工大学物理系太原理工大学物理系vp - - 用于讨论速率分布用于讨论速率分布-用于计算分子的平均平动动能用于计算分子的平均平动动能2v- - 用于讨论分子碰撞用于讨论分子碰撞v三种速率使用于不同的场合三种速率使

10、用于不同的场合 地球形成之初，大气中应有大量的氢、氦，地球形成之初，大气中应有大量的氢、氦， 但但很多很多H2分子和分子和He原子的方均根速率超过了地球表面原子的方均根速率超过了地球表面的逃逸速率的逃逸速率(11.2km/s)，故现今地球，故现今地球大气大气中已中已没有氢没有氢和氦和氦了。了。 N2和和O2分子的方均根速率只有逃逸速率的分子的方均根速率只有逃逸速率的1/25，故地球故地球大气大气中有中有大量的氮气大量的氮气 (占大气质量的占大气质量的76%)和和氧氧气气(占大气质量的占大气质量的23%)。太原理工大学物理系太原理工大学物理系)(vfvO3pv1pv2pv)(1pvf)(2pvf

11、)(3pvf3T2T1T321TTT温度越高，速率温度越高，速率大的分子数越多大的分子数越多同一气体不同温度下速率分布比较同一气体不同温度下速率分布比较太原理工大学物理系太原理工大学物理系321mmm同一温度下不同种气体速率分布比较同一温度下不同种气体速率分布比较分子质量越小，速率分子质量越小，速率大的分子数越多。大的分子数越多。)(vfvO3m2m1m1pv2pv3pv太原理工大学物理系太原理工大学物理系KT30011pv2pvKT12002v)(vfoKT3001KT12002例例1 N2 分子在不同温度下的速率分布曲线分子在不同温度下的速率分布曲线如图所示，已知如图所示，已知在曲线上标出

12、温度在曲线上标出温度太原理工大学物理系太原理工大学物理系2H2OpovHpvv)(vfo2O2H例例2 同一温度下两种气体同一温度下两种气体 和和 的速率的速率分布曲线如图所示，在曲线上标明气体。分布曲线如图所示，在曲线上标明气体。太原理工大学物理系太原理工大学物理系解：解：分子速率在最概然速率分子速率在最概然速率 vp附近附近dv 速率区间的速率区间的概率为概率为f(vp)dv ，在方均根速率在方均根速率 附近附近 dv速率区速率区间的概率为间的概率为 。利用。利用v2p =2kT/m，麦克斯韦麦克斯韦速率分布函数速率分布函数 f(v)可写为可写为 vvfd)(22vkTmvevkTmvf2

13、2232)2(4)(例例3 3 试求分子在最概然速率试求分子在最概然速率vp 附近与在方均根速附近与在方均根速率率 附近出现的概率之比。附近出现的概率之比。2v2222323223414ppvvpvvpevvevv太原理工大学物理系太原理工大学物理系在上式中取在上式中取v=vp , ,得得 114)(evvfpp取取 2vv ，并注意到，并注意到 22232233pvmkTmkTv22324)(pvvpevvvf太原理工大学物理系太原理工大学物理系2321234)(evvfp概率之比为概率之比为 10. 132)()(d)(d)(2122evfvfvvfvvfpp太原理工大学物理系太原理工大学物理系金属金属蒸汽蒸汽显示屏显示屏狭狭缝缝接抽气泵接抽气泵tL 四、分子速率的实验测定四、分子速率的实验测定1920年，史特恩从实验上证实了麦克斯韦分子年，史特恩从实验上证实了麦克斯韦分子按速率分布的统计规律按速率分布的统计规律. 1934年，中国科学家葛年，中国科学家葛正权对实验装置进行了改进。正权对实验装置进行了改进。太原理工大学物理系太原理工大学物理系 实验说明：实验说明：速度选择器两盘都有一个小凹槽，速度选择器两盘都有一个小凹槽，它们的夹角为它们的夹角为，约约20，都以角速度都以角速度旋转，分旋转，分子束通过两盘，它的速率须满足：子束通过两盘，它的速率