【高考二轮课程】数学文科全国通用版第9讲数列学案

1、高考二轮复习第9讲数列教材版本全国通用课时说明（建议）120分钟知识点等差（比）数列、数列求和、数列求通项.复习目标掌握递推数列、等差（比）数列求通项、求和复习重点等差（比）数列求通项、求和复习难点递推数列、新定义数列一、高考回顾近几年对数列的考查，一般是一道大题。大题主要考查递推数列、等差（比）数列通项、求和等，此 类题考查基本思想方法，难度中等，基本属于送分题。高考对本章的考查会保持相对稳定，即在题型、题 量、难度、重点考查内容等方面不会有太大的变化。细目全国I全国n全国W北京天津上海浙江江苏文科理科文科理科文科理科文科理科:文科理科文科理科文科理科文理2018题号174,14171717

2、4,159,2018186,1010,2014,20题型解选填解解解选解填解解解填选解填解分值2017题号:174,121715179,141510,2018184,15,196,11,229.19题型解选解1填解选填解填解解解填解选填解填解分值2016题号173,15171712,171512,20181811,17,238,176,13,208,20题型解选填解解选解解填解解解选填解选填选填解填解分值考纲解读数列1 .数列的概念和简单表示法（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）.2 2） 了解数列是自变量为正整数的一类函数.2.等差数列、等比数列 （1）理解等差数

3、列、等比数列的概念 .（2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n项和公 式.（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题 .（4） 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系命题趋势以选择填空解答形式出现.难度属于容易题，中档题或难题.重点考查等差等比数列的基本运算数列求通项公式，数列求和等内容.i二、知识清单1.思维导图符号化语言描述性语言等差(比)数列核心知识数列求通项数列数列求和思维载体核心方法利用函数思想研究性质利用函数思想研究求和思维特征利用方程方法求基本量函数数列2.知识再现知识点一、等差数列1、等差数列的概念及其公式(1)等差数列

4、的定义数列an从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母 d表示.即an1 an d(d是常数)或an an 1d n 2 .(2)等差中项如果在a与b中间插入一个数 A,使a,A,b成等差数列，那么 A叫作a与b的等差中项，即2A a b . (3)等差数列的通项公式若首项是a1，公差是d ,则这个等差数列的通项公式是 an a1 (n 1)d .(4)等差数列的前n项和公式设等差数列 an的公差为d ,其前n项和Sn或Sn na1 d .222、等差数列的判断与证明方法(1)定义法：an 1 an d (n N )或 an

5、 an 1 d (n N ,n 2) an 为等差数列(2)等差中项法：2ani an an 2 n Nan为等差数列.(3)通项法：an An B (A,B为常数) an为等差数列. 2(4)前N项和法：Sn An Bn (A,B为常数)an为等差数列.3.等差数列常用性质(1)单调性：d 0,等差数列 an单调递增；d 0,等差数列 an单调递减；d 0 ,等差数列 an为常数列.(2)在等差数列an 中，若 mnp qm,n,p,q N，则 amanap aq；若 mn 2p m,n, pN，贝U am an 2ap.(3)等差数列an的前N项和为Sn,则Sn, S2n 0 , S3n

6、S2n成等差数列.知识点二、等比数列1、等比数列的概念及其公式(1)等比数列的概念： 一般的，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，我们称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q表示q 0 .a1 q (常数)(n N )或旦q (常数)(n N ,n 2) anan 1(2)等比数列的通项公式：若等比数列 an的首项是a1，公比为q ,则这个等比数列的通项公式是an a qn 1 a1 0,q 015(3)等比中项：如果在a与b中间插入一个数 G ,使a , G ,b成等比数列，那么 G叫作a与b的等比中项，可得：G2 ab.n a1q 1(4)

7、等比数列的前N项和：Sna1 1 qnk q 12、等比数列的判断与证明方法(1)定义法：a q (常数)(n n )或色 anan 1q (常数)(n N , n 2)an为等比数列2(2)等比中项法：an 1an an 2 n Nan为等比数列(3)通项法：an ai qn 1 ai 0,q 0an为等比数列3、等比数列常用性质(1)在等比数列an中，若m np q m,n, p,q N ，贝U am an ap aq ；若 m n 2p m,n, p N ，贝U am an2ap(2)等比数列an的前N项和为Sn,则SnS2nSn，S3nS2n成等比数列.知识点三、数列通项公式的常用方法

8、1、已知数列 an为等差数列、等比数列，求数列an的通项公式等差数列ana1n 1 dn 1等比数列ana1q2、证明与an有关数列为等差等比数列，借助新数列通项求an通项3、已知数列an的前n项和Sn求通项解法：当n 1 , an S1当 n 2, anSnSn 1综上判断n 1是否满足n 2的通项式4、已知数列 an首项ai和递推关系式求通项(了解)数列递推式常见形式及其相应求解方法形式一：an 1 an f n或an an 1 f n n 2,n N 方法：累加法形式二：包二 £门或星 f n n 2,n N方法：累乘法a nan 1知识点四、数列前 N项和的常用方法1、已知数

9、列 an为等差数列、等比数列，求数列 an的前n项和至主珈到o n a1 ann n 1.等差数列Sn n& d22na1(q 1)等比数列Sna11 qn ,.、-(q 1)1 q2、已知数列 an的通项公式，求数列 an的前n项和分组转化把数列的每一项拆成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求和 裂项相消,11 11常见的拆项公式有：(1) -(- )n(n k) k n n k(2)1(2n 1)(2 n 1)111-()2 2n 1 2n 1错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的 推广.三、例题精讲题型一

10、等差数列的基本运算例1记Sn为等差数列an的前n项和，若a3 5,a713,则§。【易错点】 等差数列的通项及求和公式记错 .【思维点拨】 首先根据通项公式求出公差和首项，再根据求和公式，得出结果.例2设an为等差数列，公差d 2, Sn为其前n项和，若S10§1 ,则a1（）A 18B 20C 22D 24【易错点】 an 与 Sn 的关系式应用的不熟练，致使学生使用前n 项和进行求解，导致计算出错 .【思维点拨】 根据an 与 Sn 的关系式求出a11 ，再根据通项公式求出结果.例3设等差数列an的前n项和为Sn, Sm1=2, Sm=0, Sm1=3,则m=（）A 3

11、B 4C 5D 6【易错点】 an 与 Sn 的关系式，等差数列求和公式应用的不熟练.【思维点拨】 根据an 与 Sn 的关系式得出am ， am 1 ，再根据等差数列通项公式求出公差及m .例 4 记 Sn 为等差数列an 的前 n 项和，已知S9 a5 （ 1 ）若a34 ，求an 的通项公式；（2）若a10 ，求使得Snan 的 n 的取值范围【易错点】等差数列通项及求和公式记不熟练，一元二次不等式不会求解【思维点拨】(1)根据求和公式及通项公式得出首项和公差；(2)根据求和公式及通项公式得出不等关系,正确求解不等式.题型二等差数列的判定与证明例1在数列an中，若ai2,已知2an 1

12、1 2an,则数列an前10项的和为.例2已知数列小满足a11,412n 1anan 2n(n2n(1)证明数列 一 为等差数列;an(2)求数列an的通项公式.1例3已知数列 an的前n项和为Sn且满足an+ 2Sn Sn 1 = 0(n 2), a1=.求证：1是等差数列.(2)求an的表达式.【易错点】 忘记写：当n 2时或者不知道使用：an Sn Sn 1【思维点拨】等差数列的证明方法：(1)定义法：an 1 an d (n N)或 an an 1 d (n N ,n 2)an 为等差数列 等差中项法：2an 1 an an 2 n Nan为等差数列.(3)通项法：anAnB (A,

13、B为常数)an为等差数列. _2_(4)前N项和法：Sn An Bn (A,B为常数)an为等差数列.题型三等差数列前n项和及其最值例1记Sn为等差数列an的前n项和，已知a17 , S315.(1)求an的通项公式；(2)求Sn ,并求Sn的最小值.【易错点】求最值的时候计算出错.【思维点拨】 求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n项和Sn An2 Bn ( A,B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值题型四 等比数列的基本运算a11, S3 -例1记Sn为等比数列a

14、n的前n项和.若4 ,则S4=.【易错点】 等比数列的求和公式没记住 .【思维点拨】 等比数列的概念与运算.例2已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15,且a53a34a1，则a3A. 16B. 8C, 4D, 2【易错点】等比数列求和公式没记住.【思维点拨】 根据已知条件得出公比，再代入S4求出a1,进而得出结果.5 -例3已知数列an为等比数列，Sn是是它的前n项和，若a2a32a1，且a4与2a7的等差中项为一，则4S ()A. 35B. 33C. 3lD. 29【易错点】计算出错.【思维点拨】根据等比数列的通项及性质得出首项和公比，然后代入S5.例4设Sn为等比数列an的前n项和

15、，8a2 a§ 0贝US5 ()S2A. - 11B. - 8C. 5D. 11【易错点】等比数列求和公式易记错【思维点拨】 等比数列基本运算的解题方法(1)等比数列的通项公式及前 n项和公式，共涉及五个量 a1,an,d,n,Sn ,知其中三个就能求另外两个，体 现了用方程的思想来解决问题.(2)数列的通项公式和前 n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和q是等比数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.题型五 等比数列的判定与证明例 1 数列an的前 n 项和为 Sn, ai= 1, Sn+i = 4an+2(n C N ),设 bn=an+i 2an.(1)求证：b

16、n是等比数列；an(2)设Cn=1二，求证：g是等比数列.3n 1【易错点】等比数列的定义证明方法【思维点拨】 证明一个数列为等比数列常用方法：(1)定义法：包q (常数)(n N )或旦 q (常数)(n N ,n 2)2 为等比数列anan 12等比中项法：an 1 an an 2 n N %为等比数列.n 1(3)通项法：an a1 qa1 0,q 0an为等比数列.题型六等比数列求前n项和例1在等比数列an中，公比q = 2,前99项的和S99= 30,则a3 + a6+a9+ a99 =.【易错点】等比数列的公比求错【思维点拨】熟练掌握等比数列的性质.例2已知等差数列an和等比数列b

17、n满足ai bi 1, a2 a 10, b2b4 a§(1)求an的通项公式；(2)求和：bi b3 b5b2n 1.【易错点】等比数列求和时项数的确定【思维点拨】(1)数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项(2)通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之题型七分组转化法求和例1 在等差数列 an中，a2 4, a4 a7 15 .(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn 2an 2 n,求 b1 b2 b3 W b10 的值.【易错点】通项求错以及等比数列的求和公式记错【思维点拨】若数列Cn的通项公式为g an > ,且2口，必为等差或等比数列，可

18、采用分组求和法求数列cn的前n项和.题型八裂项相消法求和例1已知公差不为0的等差数列an的首项ai=2,且ai+1, 32 + 1, a4+1成等比数列.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=, nCN*, Sn是数列bn的前n项和，求使SnV：3成立的最大的正整数 n.anan+119【易错点】 裂项时易出错，解不等式时也易出错【思维点拨】(1)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.(2)将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.四、成果巩固题型一等差数列的基本运算1 .记Sn为等

19、差数列an的前n项和，若3S3=S2+S4, a1 = 2,则a5=()A. - 12B. 10C. 10D. 12一 . . .一 一 、. . . . . . . . . . . . . *2.已知an为等差数列，其公差为2,且a7是a3与a9的等比中项，Sn为a的前n项和，n N ,则S10的值为()A. 110B. 90C. 90D. 110题型二等比数列的基本运算5皿1.已知数列 an为等比数列，Sn是是它的前n项和，若a? a3 2a1，且a,与2 a7的等差中项为一，则S54A. 35B. 33C. 31D. 2912.已知等比数列an的前n项和为S = a2n 1+6,则a的值

20、为（1B.3C. - 2D.23.已知数列an是递增的等比数列，现a4 9, a2a38 ,则数列an的前n项和等于题型三 等差（比）数列的判定与证明1.数列an满足 an+1(an 1 an)=an1(an an+1),若 a1 = 2a2= 1,则 a20=()1 A.2101 B.291D.5题型四等差数列前n项的最值1.记Sn为等差数列an的前n项和,已知a17, S3（1）求an的通项公式;（2）求Sn,并求Sn的最小值.2.设等差数列 an的前n项和为Sna1>0且誓器则当S取最大值时，n的值为（）A. 9C. 11B. 10D. 123.在等差数列 an中，a1 7,公差为d ,前n项和为Sn,当且仅当n 8时Sn取最大值，则d的取值范题型五