-new二阶系统的时域分析

1、第三节第三节 二阶系统时域分析二阶系统时域分析第三章第三章 时域分析法时域分析法第三节 二阶系统的时域分析项 目内 容教 学 目 的 掌握二阶系统的数学模型和时域响应的特点。能够计算欠阻尼时域性能指标。教 学 重 点 欠阻尼时域性能指标的计算。阻尼系数和自然频率对系统输出的影响。教 学 难 点及 其 处 理 阻尼系数和自然频率对系统输出的影响。MATLAB作图、对比、总结。v定义：以二阶微分方程作为运动方程的控以二阶微分方程作为运动方程的控制系统，称为二阶系统。制系统，称为二阶系统。v重要性：二阶系统是最常见的一种系统，二阶系统是最常见的一种系统，很多高阶系统可简化为二阶系统，在控制很多高阶系

2、统可简化为二阶系统，在控制理论中更具有理论中更具有代表性代表性；它的动态性能指标；它的动态性能指标和系统参数之间的关系非常简明，分析和和系统参数之间的关系非常简明，分析和设计比较容易。设计比较容易。开环传函2( )2nnG ss s（）闭环传函:222( )( )1( )2nnnG ssG sss)2(2nnss)(sR)(sC-结构图一、二阶系统的数学模型2222( )( )2( )( )nnnd c tdc tc tr tdtdt微分方程:标准标准形式形式：阻尼系数：阻尼系数n：自然频率：自然频率(无阻尼振荡频率无阻尼振荡频率)v开环传函模拟电路开环传函模拟电路+R1R1R2R3C1积分积

3、分环节环节比例比例环节环节惯性惯性环节环节R(s)+R4R5C2C(s)2( )(2)nnG ss s211221122121( )()1sRC R C sRCR CRC s21( ) smsfsk机械力学系统的传递函数机械力学系统的传递函数两级滤波电路网络的传递函数两级滤波电路网络的传递函数222( )2nnnsss举例举例20122( )( )( )( )d c tdc taaa c tr tdtdt一般形式的二阶微分方程一般形式的二阶微分方程化为传函的标准形式化为传函的标准形式222( )2nnnsss举例举例221120202102002200( )1(11)C saR ssa sas

4、saaaaaassaaaaaa122, 1nns特征根：特征方程：0222nnss222( )2nnnsss二、二阶系统的单位阶跃响应单位阶跃响应001110 二阶系统的时间响应取决于二阶系统的时间响应取决于 和和 两个参数，其两个参数，其中阻尼系数中阻尼系数 决定了系统的阻尼程度，决定了系统的阻尼程度， 决定了系统决定了系统的响应速度。可以根据的响应速度。可以根据 和和 的变化情况来研究二的变化情况来研究二阶系统的时间响应。阶系统的时间响应。nnn01n21n0jn21n0j10 0jjn0n0j 0n21ss 10j1二阶系统的闭环极点分布21n21n1 122, 1nns特征根：( )(

5、 ) ( )C sR ss22212nnns ss2221()()nnnnnsss22221()()nnndndssss222221()()1ndndndssss01v 21dn1) 01(欠阻尼欠阻尼)222221( )()()1ndndndsC ssss1( ) ( )c tLC s121cos()sin()1ntddett 221 1cos()sin()1ntddett 21sin()1ntdet 122cos()atsaLetsa122sin()atLetsa2sin()1ntdetcos()ntdetsincoscossinsin()21arctan222221( )()()1ndn

6、dndsC ssss2( )1sin()1ntdec tt 21arctan进行拉式反变换后可得：进行拉式反变换后可得：结论：结论：1 1、稳态分量为、稳态分量为1 1；2 2、暂态分量在、暂态分量在 一定时，其衰减程度一定时，其衰减程度( (速度的快慢速度的快慢) )由由 中的中的 决定决定( ( 越大，衰减程度越快越大，衰减程度越快) )。nnn分别为分别为1、2、3、4时的响应曲线。时的响应曲线。0.5,n1n230.5,n4 一定时，系统的超调量不变。随一定时，系统的超调量不变。随 的增大，响应速度的增大，响应速度加快。加快。n1,0.1 0.9n时的响应曲线。时的响应曲线。0.20.

7、30.10.40.8 一定时，随一定时，随 的增大，系统的响应速度变慢，超调量的增大，系统的响应速度变慢，超调量减小。减小。n2)1222111( )( )( )()()nnnnnC sR sss ssss( )1c t (临界阻尼临界阻尼)ntnetnte ()( )atL F saef t求导可知，求导可知，c(t)输出为一条单调上升的曲线。输出为一条单调上升的曲线。1,2,3n时：时：1n23 一定时，随一定时，随 的增大，系统的响应速度变快。的增大，系统的响应速度变快。n3)1(过阻尼过阻尼)22(1)(1)222211( )121(1)21(1)nnttc tee 结论：结论：1、稳

8、态分量为、稳态分量为1；2、暂态分量由两部分组成，当、暂态分量由两部分组成，当 时第一项的衰时第一项的衰减指数要比第二项的衰减指数大得多，所以第一项减指数要比第二项的衰减指数大得多，所以第一项暂态分量只是在响应的前期对系统的输出有影响，暂态分量只是在响应的前期对系统的输出有影响，后期的影响很小，第一项可以忽略，此时的二阶系后期的影响很小，第一项可以忽略，此时的二阶系统的响应可近似为一阶系统响应。统的响应可近似为一阶系统响应。1( )1tTc te 时的响应曲线。时的响应曲线。1,2,3,4n 一定时，随一定时，随 的增大，系统的响应速度变慢。的增大，系统的响应速度变慢。n2434,1,2,3n

9、时的响应曲线。时的响应曲线。 一定时，随一定时，随 的增大，系统的响应速度变快。的增大，系统的响应速度变快。n1n3n2n4)02222211( )( )( )nnnsC sR sss sss( )1 cosnc tt (零阻尼零阻尼)c(t)输出为一条在输出为一条在0和和2之间振荡的曲线。之间振荡的曲线。1n2n2( )1sin()1ntdec tt ( 10) 0.5,1n 时的阶跃响应：c(t)输出为一发散正弦振荡形式的曲线。输出为一发散正弦振荡形式的曲线。tc(t)5)0(负阻尼负阻尼)v 时222( )2nnnsss1 ,取n1,阶跃响应为：c(t)输出为一单调发散形式的曲线。输出为

10、一单调发散形式的曲线。v 1 222121( )( )( )2nnnabcC sR sss sssspsp2212(1)(1)nnpp 由留数公式：0 ( ) 1saC s s11221 ( ) ()21(1)spbC ssp 22221 ( ) ()21(1)spcC ssp 2221( )2nnnC ss ss212( )()()nC ss spsp12222222( )1121(1)21(1)1(1)(1)nnabcC ssspspsss 1( ) ( )c tLC s12(1)22121(1)nte 2(1)22121(1)nte 11atLesa22(1)(1)222211( )12

11、1(1)21(1)nnttc tee c(t)输出为一发散形式的曲线。输出为一发散形式的曲线。2,1n 时的阶跃响应：3)1 时，系统输出无超调，系统的响应速度随时，系统输出无超调，系统的响应速度随 的的增大而变慢，随增大而变慢，随 的增大而变快。的增大而变快。n1)0时，系统输出不稳定。时，系统输出不稳定。 越大，超调量越小，响应速度越慢；越大，超调量越小，响应速度越慢； 越大，响应速度越快。越大，响应速度越快。n2) 01 时，系统输出有超调，且时，系统输出有超调，且 决定了超调量决定了超调量的大小和响应的速度，的大小和响应的速度， 决定了系统的响应速度。决定了系统的响应速度。n小结：二阶

12、系统中 和 的作用n01n21n0jn21n0j10 0jjn0n0j 0n21ss 10j1二阶系统的闭环极点分布21n21n1 122, 1nns特征根：二阶系统极点分布同单位阶跃响应之间的对应关系21,21nns 1 10 001111 控制系统中常见的二阶系统为控制系统中常见的二阶系统为无阻尼、欠阻尼、无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统临界阻尼和过阻尼系统。其阻尼系数、特征根、极点。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应如下表所示：分布和单位阶跃响应如下表所示：单位阶跃响应单位阶跃响应极点位置极点位置特征根特征根阻尼系数阻尼系数单调上升单调上升两个互异负实根两个互异负实根单调上升

13、单调上升一对负实重根一对负实重根 衰减振荡衰减振荡一对共轭复根一对共轭复根(左左半平面）半平面） 等幅周期振荡等幅周期振荡一对共轭虚根一对共轭虚根 无阻尼, 0njs2, 1欠阻尼, 1o22, 11nnjs临界阻尼，1)(2, 1重根ns过阻尼，1122, 1nns 上升时间上升时间tr 峰值时间峰值时间tp 百分比超调量百分比超调量Mp 调节时间调节时间ts第一次达到稳态值时间第一次达到稳态值时间响应曲线响应曲线第一次进入误差带时间第一次进入误差带时间到达最大值时间到达最大值时间t tr r)(y1.01.00 0y(ty(t) )误差带误差带5%或或2%Mp( )( )100%( )pp

14、y tyMyt ts st tp p响应曲线最大值与稳态值之差响应曲线最大值与稳态值之差 5%2%or2( )1sin()1nd reytt 三、欠阻尼二阶系统动态过程分析1）延迟时间td22( )1sin( 1arccos )1ntnec tt , ( )0.5,dttc t令可得：222sin( 1arccos )ln1dntdnt利用曲线拟合法，近似求出21 0.60.2dnt欠阻尼二阶系统欠阻尼二阶系统单位阶跃响应表达式单位阶跃响应表达式1 0.7(01)dnt2 2）上升时间）上升时间t tr r 201n rte2( )1,sin(arccos)01n rtdec tt令可得：将将

15、 代入代入2( )1sin(arccos)1ntdec tt rtt(0,1,2,)drtnn取取n=1，得：，得：2arccosarccos1rdnt3 3）峰值时间）峰值时间t tp p 21( )( )sin()cos()1nnttndddc ttetet( )0c t令sin0dtsincoscossinsin()2sin()1cos()0ddtt2sin ()1cos ()0ddtt21cossin ()sincos ()0ddttsin()0dt3 3）峰值时间）峰值时间t tp p 21( )( )sin()cos()1nnttndddc ttetet( )0c t令sin0dt

16、0, 2dt根据定义，根据定义，t取最小正值取最小正值21dnt1、峰值时间是阻尼振荡周期的一半；、峰值时间是阻尼振荡周期的一半；2、tp随随 的增大而增大，随的增大而增大，随 的增大而减小。的增大而减小。n4 4）超调量）超调量% 21pdnt2( )1sin(arccos )1ntdec tt 将将代入代入21( )1pc te 求出求出21( )( )%100%100%( )pc tcec1、 只与只与 有关，随有关，随 的增大而减小。的增大而减小。0.4 0.8%25.38%1.52%2、5 5）调节时间）调节时间ts s2( )1sin(arccos )1ntdec tt 211nt

17、e211nte( )c t211nte 包络线进入误差带的时间不小于包络线进入误差带的时间不小于ts。以包络线代替实。以包络线代替实际响应来估算调节时间，所得结果不小于实际值。际响应来估算调节时间，所得结果不小于实际值。36nst%)1ln(2当当t=ts时，有：时，有：%12snte 由于实际响应曲线的收敛速度比包络线的收敛速度要快，因此可用包由于实际响应曲线的收敛速度比包络线的收敛速度要快，因此可用包络线代替实际响应来估算调节时间。即认为响应曲线的包络线进入误差带时，络线代替实际响应来估算调节时间。即认为响应曲线的包络线进入误差带时，调整过程结束。调整过程结束。1C(t)0tsts2111=5t211tne2111211tne当当 较小时，较小时，近似近似取：取： ，且，且1124912. 3)02. 0ln(3996. 2)05. 0ln(时当时当52,3,4nns