数字电路第1章(数字逻辑基础)

1、 参考教材：数字电子技术基础 （第四版） 清华大学电子学教研组编 阎石 主编数字电子技术基础 （第五版）董董 玮玮 Add:唐敖庆楼唐敖庆楼D221 Tel:QQ:553908910 Email: 第一章第一章 逻辑代数基础逻辑代数基础1.1 概述概述1.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算1.3 逻辑代数中的基本公式和常用公式逻辑代数中的基本公式和常用公式1.4 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则1.5 逻辑函数的代数变换与化简逻辑函数的代数变换与化简1.6 逻辑函数的卡诺图化简逻辑函数的卡诺图化简1.7 逻辑函数的表示方法及其相互转换逻辑函数的表

2、示方法及其相互转换1.1.1 数字信号与模拟信号数字信号与模拟信号 1.数字信号和模拟信号数字信号和模拟信号电电子子电电路路中中的的信信号号模拟信号模拟信号数字信号数字信号幅度随时间连续变化幅度随时间连续变化的信号的信号例：正弦波信号、锯齿波信号例：正弦波信号、锯齿波信号 温度、流量、压力信号等。温度、流量、压力信号等。幅度不随时间连续变幅度不随时间连续变化化,而是跳跃变化而是跳跃变化例如开关信号、计数信号等例如开关信号、计数信号等1.1 概述概述模拟信号模拟信号tV(t)tV(t)数字信号数字信号高电平高电平低电平低电平上跳沿上跳沿下跳沿下跳沿2.二元函数，两种状态二元函数，两种状态 数字信

3、号的两种对立状态数字信号的两种对立状态在分析时在分析时用逻辑用逻辑0和逻辑和逻辑1表示。表示。 在数字电路中在数字电路中，用电子器件的开关特性实现，用逻辑电平，用电子器件的开关特性实现，用逻辑电平来表示。来表示。 0、1不表示数量的大小，只表示两种对立的逻辑状态。不表示数量的大小，只表示两种对立的逻辑状态。 逻辑电平不是物理量，而是物理量的相对表示逻辑电平不是物理量，而是物理量的相对表示。如：电压如：电压+5V高电平（高电平（H）1 0V.低电平（低电平（L）03.脉冲波形：电压（流）值对时间的图形表示。脉冲波形：电压（流）值对时间的图形表示。描述：描述：a.周期周期T或频率或频率f=1/T（

4、对周期性的数字波形）（对周期性的数字波形） b.脉冲宽度脉冲宽度tW：脉冲作用的时间。脉冲作用的时间。 c.占空比占空比q= tW /T d.上升时间上升时间tr ：脉冲幅值从脉冲幅值从10%到到90%所需时间所需时间。 下降时间下降时间 tf ：脉冲幅值从脉冲幅值从90%到到10%所需时间。所需时间。 实际脉冲宽度：实际脉冲宽度： 脉冲幅值的脉冲幅值的50%时间点所跨越的时间。时间点所跨越的时间。 理想波形：理想波形： tr =0， tf =0 e.位时间位时间：数据传输时，每一位（：数据传输时，每一位（0或或1）所占用的时间。）所占用的时间。 m0.9Vm0.5Vm0.1VrtftwtmV

5、T4.模拟量和数字量可以相互转换模拟量和数字量可以相互转换 A/D转换和转换和D/A转换转换1.1.2模拟电路与数字电路模拟电路与数字电路模拟电路：处理模拟信号的电路。模拟电路：处理模拟信号的电路。 交、直流放大器、滤波器等。交、直流放大器、滤波器等。 分析方法：图解法、微变等效电路法分析方法：图解法、微变等效电路法数字电路：处理数字信号的电路。数字电路：处理数字信号的电路。 采用二进制，研究输入、输出间的逻辑关系采用二进制，研究输入、输出间的逻辑关系。模拟电路与数字电路的区别模拟电路与数字电路的区别1 1、工作任务不同：、工作任务不同： 模拟电路研究的是输出与输入信号之间的大小、模拟电路研究

6、的是输出与输入信号之间的大小、相位、失真等方面的关系；相位、失真等方面的关系；数字电路主要研究的数字电路主要研究的是输出与输入间的逻辑关系是输出与输入间的逻辑关系（因果关系）。（因果关系）。 模拟电路中的三极管工作在线性放大区模拟电路中的三极管工作在线性放大区, ,是是一个放大元件；一个放大元件；数字电路中的三极管工作在饱数字电路中的三极管工作在饱和或截止状态和或截止状态, ,起开关作用起开关作用。 因此，基本单元电路、分析方法及研究的范因此，基本单元电路、分析方法及研究的范围均不同。围均不同。2 2、三极管的工作状态不同：、三极管的工作状态不同：模拟电路研究的问题模拟电路研究的问题基本电路元

7、件基本电路元件: :基本模拟电路基本模拟电路: :晶体三极管晶体三极管场效应管场效应管集成运算放大器集成运算放大器 信号放大及运算信号放大及运算 ( (信号放大、功率放大）信号放大、功率放大） 信号处理（采样保持、电压比较、有源滤波）信号处理（采样保持、电压比较、有源滤波） 信号发生（正弦波发生器、三角波发生器、信号发生（正弦波发生器、三角波发生器、）数字电路研究的问题数字电路研究的问题基本电路元件基本电路元件基本数字电路基本数字电路逻辑门电路逻辑门电路触发器触发器 组合逻辑电路组合逻辑电路 时序逻辑电路（寄存器、计数器、脉冲发生时序逻辑电路（寄存器、计数器、脉冲发生器、脉冲整形电路）器、脉冲

8、整形电路） A/DA/D转换器、转换器、D/AD/A转换器转换器数字电路研究的问题数字电路研究的问题特点：特点：1.研究对象：输入研究对象：输入-输出间的逻辑关系。输出间的逻辑关系。2.采用二进制采用二进制0、1 例：交通信号灯控制例：交通信号灯控制 停车场监控停车场监控3.分析工具：逻辑代数分析工具：逻辑代数4.表达方式：真值表、逻辑表达式、时序图等。表达方式：真值表、逻辑表达式、时序图等。 1. 1. 十进制十进制N ND D（DecimalDecimal） 数码：数码：0 09 9 进制：逢十进一。进制：逢十进一。例例 1234.5=11234.5=110103 3 +2+210102

9、2 +3+310101 1 +4+410100 0 +5+51010-1-1 加权展开式以加权展开式以1010为基数，各位系数为为基数，各位系数为0 09 9。一般表达式：一般表达式： N ND D= d= dn-1n-11010n-1n-1+d+dn-2n-21010n-2 n-2 + + +d d0 010100 0 +d+d-1-11010- -1 1+ +1.1.31.1.3数制数制 2. 2. 二进制二进制N NB B（BinaryBinary） 数码：数码：0 0、1 1 进制：逢二进一进制：逢二进一。例例 1101.101=11101.101=12 23 3+1+12 22 2+

10、0+02 21 1+1+12 20 0+1+1 2 2-1-1+1+12 2-3-3 加权展开式以加权展开式以2 2为基数，各位系数为为基数，各位系数为0 0、1 1。一般表达式：一般表达式： N NB B = b = bn-1n-12 2n-1 n-1 + b+ bn-2n-22 2n-2 n-2 + + +b b0 02 20 0 + + b b-1-12 2-1-1+ +从数字电路的角度看，十进制数每一位对应十从数字电路的角度看，十进制数每一位对应十个状态，这十个状态就需要有十个不同且能严个状态，这十个状态就需要有十个不同且能严格区分开的状态与之对应。若采用二进制，每格区分开的状态与之对

11、应。若采用二进制，每一位用两种状态与之对应：有一位用两种状态与之对应：有-无；真无；真-假；通假；通-断等，总结为断等，总结为0、1总之，总之，1.二进制的数字装置简单可靠。二进制的数字装置简单可靠。2.基本运算规则简单，运算操作简便。基本运算规则简单，运算操作简便。3.有存储数据功能。有存储数据功能。但是位数长，使用起来不方便；不符合人们使但是位数长，使用起来不方便；不符合人们使用十进制的习惯。用十进制的习惯。二进制的权位图二进制的权位图.24 23 22 21 20。2-1 2-2 2-3 2-4.16 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125 0.0625. 3.3.十六进制十六进制

12、N NH H（HexadecimalHexadecimal） 数码：数码：0 09 9、A AF F， 进制：逢十六进一进制：逢十六进一。例：例：DFC.8=13DFC.8=1316162 2 +15 +1516161 1 +12 +1216160 0 +8 +81616-1-1 展开式以十六为基数，各位系数为展开式以十六为基数，各位系数为0 09 9，A AF F。一般表达式：一般表达式：N NH H= h= hn-1n-11616n-1n-1+ h+ hn-2n-21616n-2n-2+ + h+ h0 016160 0+ + h h-1-11616-1-1+ + 4.4.八八进制进制N

13、NO O（OctalOctal） 数码：数码：0 07 7 进制：逢八进一进制：逢八进一。展开式以八为基数，各位系数为展开式以八为基数，各位系数为0 07 7。一般表达式：一般表达式：N No o= h= hn-1n-18 8n-1n-1+ h+ hn-2n-28 8n-2n-2+ + h+ h0 08 80 0+ h+ h-1-18 8-1-1+ + 二进制与十六进制数、八进制数之间的转换二进制与十六进制数、八进制数之间的转换 24=16 ，四位二进制数对应一位十六进制数，四位二进制数对应一位十六进制数。 23=8，三位二进制数对应一位八进制数，三位二进制数对应一位八进制数。将二进制整数将二

14、进制整数从右向左从右向左每隔每隔 位分为一组位分为一组将每组二进制将每组二进制数换为对应的数换为对应的十六进制数十六进制数将每组二进制将每组二进制数换为对应的数换为对应的十六进制数十六进制数 将二进制小数将二进制小数 从左向右从左向右每隔每隔 位分为一组位分为一组 3AF.23AF.2H H = = 00110011 10101010 11111111. .00100010 = 1110101111.001 = 1110101111.001B B 3 A F 2 3 A F 2 1111101.111111101.11B B = = 01110111 11011101. .11001100 =

15、 7D.C = 7D.CH H 7 D C7 D C 十六进制和八进制是二进制的另一种表达形式，一一十六进制和八进制是二进制的另一种表达形式，一一对应，能简单互换。对应，能简单互换。 进位计数制的一般表达式进位计数制的一般表达式： 1nmiiiDRKN处于不同位置的数码处于不同位置的数码 Ki 所代表的数值是不同的，每一位所代表的数值是不同的，每一位的权数（位权）是的权数（位权）是 Ri 。n- 整数位数整数位数m- 小数位数小数位数Ki- 各位系数各位系数R- 基数基数5. 不同进位计数制之间的转换不同进位计数制之间的转换 先展开，然后按照十进制运算法则求和。先展开，然后按照十进制运算法则求

16、和。举例举例：1011.10101011.1010B B= =（1 12 23 3+1+12 21 1+ +1 12 20 0+1+12 2-1-1+1+12 2-3-3）D D=11.625=11.625D DDFC.8DFC.8H H = =（131316162 2+15+1516161 1+ +121216160 0+8+81616-1-1）D D = 3580.5= 3580.5D D（一）二进制数（一）二进制数（B、O、H）转换成十进制数（）转换成十进制数（D）（二）十进制数转换成二进制数十进制数转换成二进制数 整数、小数分别转换整数、小数分别转换 1.整数转换法：整数转换法：“除基

17、取余除基取余”：十进制整数不断除以转换进制基数，直至商为十进制整数不断除以转换进制基数，直至商为0。每除一次取一个余数，从低位排向高位每除一次取一个余数，从低位排向高位。例1. 39转换成二进制数转换成二进制数39D =100111B2 39 1 （ b0） 2 19 1 （ b1） 2 9 1 （ b2） 2 4 0 （ b3） 2 2 0 （ b4） 2 1 1 （ b5） 0 例2. 208转换成十六进制数转换成十六进制数 208D = D0H16 208 余 016 13 余 13 = DH 0（185）10 = （ ? ）2（185）10 =（10111001）224 6 022 3

18、 021 1 125 122 121 020 11 8 5 29 2 1余数余数（3981）10 = ( ? )16（3 9 8 1）10 = （F 8 D）16161 5 . 8160 .15 (F) 3 9 8 1 16 2 4 8 13 (D)余数余数 2.小数转换法：乘小数转换法：乘2取整，直至取整，直至，高位到低位，高位到低位 “乘基取整乘基取整”：用转换进制的基数乘以小数部分，用转换进制的基数乘以小数部分，直至小数为直至小数为0或达到转换精度要求的位数。每乘一次或达到转换精度要求的位数。每乘一次取一次整数，从最高位排到最低位。取一次整数，从最高位排到最低位。例：2. 0.625转换

19、成十六进制数转换成十六进制数 0.625D = 0.1010B = 0.AH 1. 0.625转换成二进制数转换成二进制数0.625 2 1.250 1 (b-1) 2 0.5 0 0 (b-2) 2 1.0 1 (b-3) 0.625D = 0.101B若要转换的数既有整数又有小数时，整数、小数分别转换若要转换的数既有整数又有小数时，整数、小数分别转换。1.208.625 转换成十六进制数转换成十六进制数 208.625 D= D0.AH2.39.625转换成二进制数转换成二进制数 39.625 D=100111 .101 B 不同数制的不同数制的“数数”可以等效转换，二、八、十六进制可以等

20、效转换，二、八、十六进制数之间的转换非常容易。数之间的转换非常容易。 表示同一含义时，数制愈大，所需位数愈少，用二进表示同一含义时，数制愈大，所需位数愈少，用二进制数表示时，位数最长。制数表示时，位数最长。结论结论1.1.41.1.4二进制码二进制码1.编码编码：把若干个：把若干个0和和1按一定规律编排在一起，组成不按一定规律编排在一起，组成不同的代码，并且赋予每个代码以固定的含义。同的代码，并且赋予每个代码以固定的含义。 用用n位二进制代码可以表达位二进制代码可以表达2n个不同的信号个不同的信号 需要编码的信息有需要编码的信息有N项，则项，则2n NA.每一组代码都可以看作是一个包含特定含义

21、的符号，每一组代码都可以看作是一个包含特定含义的符号，各组代码之间以及每组代码内部各位之间没有一定的数各组代码之间以及每组代码内部各位之间没有一定的数值进位关系。值进位关系。B.信息与代码间的对应关系完全是人为规定的，可以任信息与代码间的对应关系完全是人为规定的，可以任意编，但在制定编码时，应该使编码顺序有一定的规律意编，但在制定编码时，应该使编码顺序有一定的规律可循。可循。2.几种常见编码几种常见编码A.自然二进制码自然二进制码：在数值上与对应的十进制恰好相等：在数值上与对应的十进制恰好相等 位数位数n由由N决定。决定。B.二二-十进制码（十进制码（BCD码）码） 用用4位二进制编码表示十进

22、制的位二进制编码表示十进制的0-9十个数码。十个数码。 由于由于4位二进制码可以表示位二进制码可以表示24=16种信号，所以在表示种信号，所以在表示0-9这十个数码时就有不同的组合，即不同的编码方式：这十个数码时就有不同的组合，即不同的编码方式： 8421BCD码码 2421BCD码码 5421BCD码码 余余3码：码：8421BCD码码+0011二十进制编码BCD码例：求十进制数例：求十进制数876876的的BCDBCD码码876876D D = = （1000 0111 01101000 0111 0110）8421BCD8421BCD 876 876D D = 1101101100 =

23、1101101100B B=36C=36CH HBCDBCD码码( (Binary Coded Decimal)Binary Coded Decimal)二进制代码表示的十进制数。二进制代码表示的十进制数。8421 BCD码BCD码十码十进制数码进制数码8421码码2421 码码5421 码码余余3码码余余3循环循环码码0000000000000001100101000100010001010001102001000100010010101113001100110011011001014010001000100011101005010110111000100011006011011001001

24、100111017011111011010101011118100011101011101111109100111111100110010100000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111几种常用几种常用的的BCD代码代码对于有权对于有权BCD码，可以根据位权展开求得所代表的十进制码，可以根据位权展开求得所代表的十进制数。例如：数。例如：BCD8421 0111()10 7=11214180+= ()10 BCD2421 7112041211101=+= 求求BCD代码表示的十进制数代码表示的十进制数对于一个多位

25、的十进制数，需要有与十进制位数相同的几对于一个多位的十进制数，需要有与十进制位数相同的几组组BCD代码来表示。例如：代码来表示。例如： BCD2421 236810 BCD8421 536410 0010 .0011 1100 11102 .8630101 .0011 0110 01005 .463 不能省略！不能省略！不能省略！不能省略！用用BCD代码表示十进制数代码表示十进制数C.格雷码：格雷码：相邻的码组之间仅有一位不同。相邻的码组之间仅有一位不同。D.ASCII码：码：美国标准信息交换码美国标准信息交换码 采用采用7位二进制表示位二进制表示27=128个包括个包括0-9，字母等可打印，

26、字母等可打印字符。字符。 美国标准信息交换码美国标准信息交换码ASCIIASCII码，用于计算机与计码，用于计算机与计算机、计算机与外设之间传递信息。算机、计算机与外设之间传递信息。 行行列列0000010100111001011101110000NULDLESP0P、p0001SOHDC1!1AQaq0010STXDC2”2BRbr0011ETXDC3#3CScs0100EOTDC4$4DTdt0101ENQNAK%5EUeu0110ACKSYN&6FVfv0111BELETB 7GWgw1000BSCAN(8HXhx1001HTEM )9IYiy1010LFSUB*:JZjz101

27、1VTESC+ ；Kk1100FFFS ，Ll 1101CRGS=Mm1110SORSNn1111SIUS/ ？O_oDELb b3 3b b2 2b b1 1b b0 0b b6 6b b5 5b b4 41.1.5 算术运算与逻辑运算算术运算与逻辑运算 二进制数二进制数 0 0 和和 1,1,可以表示为具体的数量的大小可以表示为具体的数量的大小, ,也也可以表示为两个不同的逻辑状态。可以表示为两个不同的逻辑状态。 当两个二进制数码表示两个数量大小时，它们之间当两个二进制数码表示两个数量大小时，它们之间可以进行数值运算，这种运算称为算术运算。可以进行数值运算，这种运算称为算术运算。 二进制算

28、术运算和十进制算术运算的规则基本相同，二进制算术运算和十进制算术运算的规则基本相同，唯一区别在于二进制数是逢二进一而不是十进制数的逢唯一区别在于二进制数是逢二进一而不是十进制数的逢十进一。十进一。原码原码：二进制数的最高位作为符号位，正数为：二进制数的最高位作为符号位，正数为0 0，负数为，负数为1 1。以。以下各位的下各位的0 0和和1 1表示数值。表示数值。例如例如 (0 1011001)2=(+89)10 (1 1011001)2=(-89)10补码补码：二进制数的最高位作为符号位，正数为：二进制数的最高位作为符号位，正数为0 0，负数为，负数为1 1。正。正数的补码与它的原码相同；负数

29、的补码可通过原码的数值位逐数的补码与它的原码相同；负数的补码可通过原码的数值位逐位求反，然后在最低位上加位求反，然后在最低位上加1 1得到。得到。例如例如 (1001)2(0101)2100101010100采用补码运算时，求出采用补码运算时，求出(+1001)2 和和 (- 0101)2的补码的补码+1001补补=0 1001 -0101补补 =1 1011两个补码相加并两个补码相加并舍去进位舍去进位，得到，得到0100111011+ 100100舍去舍去把减法运算转化成了加法运算。乘法运算可以用加法和移把减法运算转化成了加法运算。乘法运算可以用加法和移位实现，除法可以用加法和移位实现。因此

30、，二进制数的位实现，除法可以用加法和移位实现。因此，二进制数的加、减、乘、除运算都可以用加法运算实现，大大简化了加、减、乘、除运算都可以用加法运算实现，大大简化了运算电路的结构。运算电路的结构。第一章第一章 逻辑代数基础逻辑代数基础1.2 基本逻辑运算基本逻辑运算数字电路的输入、输出是一种因果（逻辑）关系。数字电路的输入、输出是一种因果（逻辑）关系。逻辑代数逻辑代数是研究数字逻辑电路的数学工具。是研究数字逻辑电路的数学工具。逻辑代数是按一定逻辑规律进行运算的代数，与普通代数一逻辑代数是按一定逻辑规律进行运算的代数，与普通代数一样也是用字母表示变量，区别在于：样也是用字母表示变量，区别在于：1.

31、变量值只有变量值只有0和和1，且只表示两种对立的逻辑状态，不表示数，且只表示两种对立的逻辑状态，不表示数量的大小。量的大小。2.表达方式：表达方式：真值表真值表-将输入变量的各种可能取值和相应函数将输入变量的各种可能取值和相应函数 值排列在一起而组成的表格。值排列在一起而组成的表格。 逻辑符号逻辑符号-规定的图形符号。规定的图形符号。 逻辑函数表达式逻辑函数表达式-L=f（A、B） 基本逻辑关系基本逻辑关系 与与 ( and ) 或或 (or ) 非非 ( not )逻辑代数中的三种基本逻辑运算逻辑代数中的三种基本逻辑运算1.与逻辑关系与逻辑关系UABY规定规定: 开关合为逻辑开关合为逻辑“1

32、” 开关断为逻辑开关断为逻辑“0” 灯亮为逻辑灯亮为逻辑“1” 灯灭为逻辑灯灭为逻辑“0” 真值表特点真值表特点: 任任0 则则0, 全全1则则1一、一、“与与”逻辑关系和与门逻辑关系和与门与逻辑与逻辑：决定事件发生的各条件中，：决定事件发生的各条件中，所有条件都具备，事件才会发生所有条件都具备，事件才会发生（成立）。（成立）。 真值表真值表A B Y0 0 00 1 01 0 01 1 1与逻辑运算规则与逻辑运算规则 逻辑乘逻辑乘2.2.与逻辑关系表示式与逻辑关系表示式Y= AY= AB = ABB = AB 基本逻辑关系基本逻辑关系0 0=0 0 1=01 0=0 1 1=10 0 00

33、0 00 1 00 1 01 0 01 0 01 1 11 1 1A B YA B Y与逻辑真值表与逻辑真值表3.3.与逻辑符号与逻辑符号ABY& &ABY二、二、“或或”逻辑关系和或门逻辑关系和或门或逻辑或逻辑：决定事件发生的各条件中，有一个或一个：决定事件发生的各条件中，有一个或一个以上的条件具备，事件就会发生（成立）。以上的条件具备，事件就会发生（成立）。1 1、 “或或”逻辑关系逻辑关系UABY开关合为逻辑开关合为逻辑“1 1”，开关断为逻辑开关断为逻辑“0 0”；灯亮为逻辑灯亮为逻辑“1 1”， 灯灭为逻辑灯灭为逻辑“0 0” 。设：设：特点特点: :任任1 1 则则

34、1, 1, 全全0 0则则0 0真值表真值表基本逻辑关系基本逻辑关系0 0 00 0 00 1 10 1 11 0 11 0 11 1 11 1 1A B YA B Y或逻辑运算规则或逻辑运算规则 逻辑加逻辑加2.2.或逻辑关系表示式或逻辑关系表示式 Y=A B 基本逻辑关系基本逻辑关系0+0=0 0+1=11+0=1 1+1=10 0 00 0 00 1 10 1 11 0 11 0 11 1 11 1 1A B YA B Y或逻辑真值表或逻辑真值表 3.3.或逻辑符号或逻辑符号A AB BY YB BY Y11A A三、三、“非非”逻辑关系与非门逻辑关系与非门“非非”逻辑逻辑：决定事件发生

35、的条件只有一个，条件不决定事件发生的条件只有一个，条件不具备时事件发生（成立），条件具备时事件不发生。具备时事件发生（成立），条件具备时事件不发生。特点特点: 1: 1则则0, 00, 0则则1 1YRAU1 1、“非非”逻辑关系逻辑关系基本逻辑关系基本逻辑关系真值表真值表0 10 11 01 0A YA Y非逻辑非逻辑 逻辑反逻辑反 运算规则：运算规则： 0 1 1 0 2.2.非逻辑关系表示式非逻辑关系表示式非逻辑关系表非逻辑关系表示式示式: Y A非逻辑真值表非逻辑真值表 A Y 0 1 1 03.3.非逻辑符号非逻辑符号A A1 1Y YA AY Y三种基本逻辑运算的图形符号三种基本逻

36、辑运算的图形符号& &A AY YB B1 1A AY Y1 1 A AB BY YY YA AB BY YA AB BY YA A 与非逻辑真值表与非逻辑真值表ABY001010111110ABYAB&Y与非逻辑符号与非逻辑符号四四. 几种常用复合逻辑运算几种常用复合逻辑运算与非逻辑表达式与非逻辑表达式Y = A B1)与非运算与非运算 或非逻辑真值表或非逻辑真值表ABY001010111000B1AABYY或非逻辑符号或非逻辑符号2)或非运算或非运算或非逻辑表达式或非逻辑表达式Y = A+B第一章第一章 逻辑代数基础逻辑代数基础3)3)与或非与或非A AB BC C

37、D DY YY Y& &A AB B& &C CD D11 Y YD DC CA AB B11& &CDABY第一章第一章 逻辑代数基础逻辑代数基础4 )异或逻辑异或逻辑若两个输入变量的值相异，输出为若两个输入变量的值相异，输出为1，否则为，否则为0。 异或逻辑真值表异或逻辑真值表ABY000101011110BAY=1ABY异或逻辑符号异或逻辑符号异或逻辑表达式异或逻辑表达式第一章第一章 逻辑代数基础逻辑代数基础5)5)同或运算同或运算若两个输入变量的值相同，输出为若两个输入变量的值相同，输出为1 1，否则为，否则为0 0。 同或逻辑真值表同或

38、逻辑真值表ABY001010111001B=AYABY同或逻辑逻辑符号同或逻辑逻辑符号同或逻辑表达式同或逻辑表达式 门电路是实现一定逻辑关系的电路。门电路是实现一定逻辑关系的电路。类型类型: :与门、或门、非门、与非门、或非门、与门、或门、非门、与非门、或非门、 异或门异或门 。1 1、用二极管、三极管实现、用二极管、三极管实现2 2、数字集成电路、数字集成电路( (大量使用大量使用) ) 1) TTL 1) TTL集成门电路集成门电路 2) MOS2) MOS集成门电路集成门电路 实现方法实现方法: :门电路小结门电路小结门电路门电路小结小结门电路门电路 符号符号 表示式表示式与门与门&am

39、p; &A AB BY YA AB BY Y11或门或门非门非门1 1Y YA AY=ABY=ABY=A+BY=A+BY= AY= A与非门与非门& &A AB BY YY= ABY= AB或非门或非门A AB BY Y11Y= A+BY= A+B异或门异或门=1=1A AB BY YY= AY= A B B逻辑代数是分析和设计数字电路的重逻辑代数是分析和设计数字电路的重要工具。利用逻辑代数，可以把实际逻要工具。利用逻辑代数，可以把实际逻辑问题抽象为逻辑函数来描述，并且可辑问题抽象为逻辑函数来描述，并且可以用逻辑运算的方法，解决逻辑电路的以用逻辑运算的方法，解决逻辑电路

40、的分析和设计问题。分析和设计问题。与、或、非是与、或、非是3 3种基本逻辑关系，也种基本逻辑关系，也是是3 3种基本逻辑运算。与非、或非、与或种基本逻辑运算。与非、或非、与或非、异或则是由与、或、非非、异或则是由与、或、非3 3种基本逻辑种基本逻辑运算复合而成的运算复合而成的4 4种常用逻辑运算。种常用逻辑运算。逻辑代数的公式和定理是逻辑代数的公式和定理是变换及化变换及化简简逻辑函数的依据。逻辑函数的依据。1.3 1.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数是按一定逻辑规律进行运算的代数。逻辑代数是按一定逻辑规律进行运算的代数。：与普通代数不同的是，在逻辑代数中，不

41、管是变量：与普通代数不同的是，在逻辑代数中，不管是变量还是函数，其取值都只能是还是函数，其取值都只能是0或或1，并且这里的，并且这里的0和和1只表示两只表示两种不同的状态，没有数量的含义。种不同的状态，没有数量的含义。 （1）逻辑表达式：由逻辑变量和与、或、非）逻辑表达式：由逻辑变量和与、或、非3种运算符种运算符连接起来所构成的式子。在逻辑表达式中，等式右边的字母连接起来所构成的式子。在逻辑表达式中，等式右边的字母A、B、C、D等称为输入逻辑变量，等式左边的字母等称为输入逻辑变量，等式左边的字母Y称为称为输出逻辑变量，字母上面没有非运算符的叫做原变量，有非输出逻辑变量，字母上面没有非运算符的叫

42、做原变量，有非运算符的叫做反变量。运算符的叫做反变量。（2）逻辑函数：如果对应于输入逻辑变量）逻辑函数：如果对应于输入逻辑变量A、B、C、的每一组确定值，输出逻辑变量的每一组确定值，输出逻辑变量Y就有唯一确定的值，就有唯一确定的值，则称则称Y是是A、B、C、的逻辑函数。记为的逻辑函数。记为),(CBAfY （3）逻辑函数相等的概念：设有两个逻辑函数）逻辑函数相等的概念：设有两个逻辑函数),( ),(21CBAgYCBAfY它们的变量都是它们的变量都是A、B、C、，如果对应于变量，如果对应于变量A、B、C、的任何一组变量取值，的任何一组变量取值，Y1和和Y2的值都相同，则称的值都相同，则称Y1和

43、和Y2是相等的，记为是相等的，记为Y1=Y2。若两个逻辑函数相等，则它们的真值表一定相同；反之，若两个逻辑函数相等，则它们的真值表一定相同；反之，若两个函数的真值表完全相同，则这两个函数一定相等。因此，若两个函数的真值表完全相同，则这两个函数一定相等。因此，要证明两个逻辑函数是否相等，只要分别列出它们的真值表，要证明两个逻辑函数是否相等，只要分别列出它们的真值表，看看它们的真值表是否相同即可。看看它们的真值表是否相同即可。A BABABA BA+B0 00 11 01 1000111101 11 00 10 01110BAAB证明等式：证明等式：1.3.1 1.3.1 逻辑代数的基本公式逻辑代

44、数的基本公式与运算：111 001 010 000（1）常量之间的关系）常量之间的关系（2）基本公式）基本公式0-1 律：AAAA10 0011AA或运算：111 101 110 000非 运 算 ：10 01互补律： 0 1AAAA重叠律：AAAAAA 还原律：AA 分别令分别令A=0及及A=1代入这些代入这些公式，即可证公式，即可证明它们的正确明它们的正确性。性。01律应用律应用：处理门电路多余输入端：处理门电路多余输入端重叠律应用重叠律应用：把门电路多余输入端连接当一个输入端使用把门电路多余输入端连接当一个输入端使用 （3）基本定理交换律：ABBAABBA结合律：)()()()(CBAC

45、BACBACBA利用真值表很容易证明利用真值表很容易证明这些公式的正确性。如这些公式的正确性。如证明证明AB=BA：A B AB BA 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 分配律：)()()(CABACBACABACBA(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC分配率分配率A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC=A+AB+AC+BC重叠率重叠率AA=AAA=A=A(1+B+C)+BC分配率分配率A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC=A+BC0-10-1率率A+1=1A+1=1证明分配率：A+BC=(A+B)(A+C)证明：证明：证 明 ：)(

46、BAAABAA)(1BA BA 分配率分配率A+BC=(A+B)(A+C)A+BC=(A+B)(A+C)互补率互补率A+A=1A+A=10-10-1率率A A1=11=1BABAAAABAABAAB吸收律1.3.2 若干常用公式若干常用公式冗余律：CAABBCCAAB证明：BCCAABBCAABCCAABBCAACAAB)(互补率互补率A+A=1A+A=1分配率分配率A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC)1 ()1 (BCACABCAAB 0-10-1率率A+1=1A+1=1序号公 式序号公 式101=0;0=110A=0110+A=A21A=A121+A=13AA=A13A+A=

47、A4AA=014A+A=15AB=BA15A+B=B+A6A(BC)=(AB)C16A+(B+C)=(A+B)+C7A(B+C)=AB+AC17A+BC=(A+B)(A+C)8AB=A+B18A+B=AB9A=A逻辑代数的基本公式逻辑代数的基本公式0-1律重叠律互补律交换律结合律分配律反演律还原律例如，已知等式例如，已知等式 ，用函数，用函数Y=AC代替等式中代替等式中的的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：，根据代入规则，等式仍然成立，即有：1.4 1.4 逻辑代数运算的基本规则逻辑代数运算的基本规则（1）代入规则：任何一个含有变量）代入规则：任何一个含有变量A的等式，如果将所有出的等式，

48、如果将所有出现现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。规则称为代入规则。BAABCBABACBAC)(EDCBAY（2）反演规则：对于任何一个逻辑表达式）反演规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式，如果将表达式中的所有中的所有“”换成换成“”，“”换成换成“”，“0”换成换成“1”，“1”换成换成“0”，那么，那么所得到的表达式就是函数所得到的表达式就是函数Y的反函数的反函数Y（或称补函数）。这个规（或称补函数）。这个规则称为反演规则。例如：则称为反演规则。例如：)(EDCBAYEDCBAYEDCBAY等式

49、中等式中 0 1 1 0原变量原变量反变量反变量反变量反变量原变量原变量2个或个或 2个以上变量的非号照写个以上变量的非号照写 常量常量 ：运算符：运算符： 保持运算优保持运算优先顺序不变先顺序不变 Y=(A+BC)(C+D)=AC+BC+AD+BCD =AC+BC+AD例例 已知已知Y=AB+C+D+C, 求求Y 例例 已知已知Y=A(B+C)+CD, 求求Y 注意：不是一注意：不是一个变量上的反个变量上的反号应保持不变号应保持不变 Y=(A+B)C D C（3）对偶规则：对于任何一个逻辑表达式）对偶规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式，如果将表达式中的所有中的所有“”换成换成“”，

50、“”换成换成“”，“0”换成换成“1”，“1”换成换成“0”，而，而，则可得到的一个新的函数表达，则可得到的一个新的函数表达式式Y，Y称为函称为函Y的对偶函数。这个规则称为对偶规则。例的对偶函数。这个规则称为对偶规则。例如：如：EDCBAY对偶规则的意义在于对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。利用对偶规则数也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。例如：少一半。例如：ACABCBA)()(CABABCAABABAABABA)()()(EDCBAYEDCBAYEDCBAY等式中等式中0

51、 1 1 0变量不变变量不变 常量常量 ： 运算符：运算符： 保持运算优保持运算优先顺序不变先顺序不变例例 证明证明 A+BC=(A+B)(A+C)等式两边的对偶式为等式两边的对偶式为 A(B+C) AB+AC根据乘法分配律可知，这两个对偶式相等，所以由对偶根据乘法分配律可知，这两个对偶式相等，所以由对偶定理可知原来的两式也相等。定理可知原来的两式也相等。练习练习 证明证明 A+BCD = (A+B)(A+C)(A+D)A ( B+C+D)=AB+AC+AD序号公 式序号公 式101=0;0=110A=0110+A=A21A=A121+A=13AA=A13A+A=A4AA=014A+A=15A

52、B=BA15A+B=B+A6A(BC)=(AB)C16A+(B+C)=(A+B)+C7A(B+C)=AB+AC17A+BC=(A+B)(A+C)8AB=A+B18A+B=AB9A=A逻辑代数的基本公式逻辑代数的基本公式互为对偶式 利用对偶规则利用对偶规则, ,可以使要证明及要记忆的公式数可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。目减少一半。：在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算：在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非运算，否则容易出错。非运算，否则容易出错。在进行反函数和对

53、偶函数变换时：在进行反函数和对偶函数变换时：1.保持运算的先后顺序不变。保持运算的先后顺序不变。2.反变量以外的非号保留不变。反变量以外的非号保留不变。EDCBAY EDCBAYCDABYDCBAY一个逻辑函数可以有多种不同的表达式。一个逻辑函数可以有多种不同的表达式。Y=AB+AC.与与-或式或式AB+AC.与非与非-与非式与非式.或或-与非式与非式.或非或非-或式或式.或或-与式与式 .或非或非-或非式或非式.与与-或非式或非式.与非与非-与式与式1.5 逻辑函数的代数变换与化简逻辑函数的代数变换与化简逻辑函数表达形式的变换逻辑函数表达形式的变换 将逻辑函数将逻辑函数与或式变换与非与或式变

54、换与非- -与非表达式与非表达式ACCD例例 用与非门实现逻辑函数用与非门实现逻辑函数方法：方法：将逻辑函数两次求反后用摩根定律将逻辑函数两次求反后用摩根定律主要是为了适应器件的情况主要是为了适应器件的情况YACCDYACCDDCAC YABDABDABDA BCDABCD()()YAB DDABDABD CCDBADBA=AB)(DDBAABBAABBAAB BAAB例例 用最少的与非门实现逻辑函数用最少的与非门实现逻辑函数Y最简与或式最简与或式 1 & & 1 1 B A L AB BA (a) 最简与或式逻辑图最简与或式逻辑图 B A L AB BA (b) &

55、& & & & 与非与非- -与非式逻辑图与非式逻辑图与非与非- -与非式与非式例例 用或非门实现逻辑函数用或非门实现逻辑函数2 2、两次求反。、两次求反。 与或式转换为或非与或式转换为或非- -或非式或非式= A+C + C+DY =A+C + C+D Y = AC + CD =AC + CD方法方法：1、将每个乘积两次求反后，用摩根定律；将每个乘积两次求反后，用摩根定律；Y = AC + CD（1）与或表达式：ACBAY（2）或与表达式：Y)(CABA（3）与非-与非表达式：Y ACBA（4）或非-或非表达式：YCABA（5）与或非表达式：YCABA一个逻辑

56、函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、与非与非-与非表达式、或非与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式或非表达式、与或非表达式5种表种表示形式。示形式。一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽管一个一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽管一个逻辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻辑功能是相同的。逻辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻辑功能是相同的。 逻辑函数的变换逻辑函数的变换根据逻辑表达式，可以画出相应的逻辑图，表达式的形式决根据逻辑表达式，可以画出相应的逻辑图，表达式的形式决定门电路的个数和种类，因此实际中需要对表达式进行变换

57、。定门电路的个数和种类，因此实际中需要对表达式进行变换。例如例如L=A B1.用与非门实现：与或表达式用与非门实现：与或表达式摩根定律摩根定律2.用或非门实现：或与表达式用或非门实现：或与表达式摩根定律摩根定律3.用最少门实现用最少门实现 化简；选用异（同）或门化简；选用异（同）或门BABABAL&AB&AB1L1.用与非门实现用与非门实现BABABABABABALAB&BLA=1BAL2.用或非门实现用或非门实现求反变量的与或表达式，再用摩根定理得或与表达式。BABALBABABAAB LLABABBABAAB111BLA)(BABAL 1 A B C 1 L &am

58、p; & 1 L=B+C B C 1 1 BCBBB)(AL CBL BCBBBBAL BC1)(ABL BCBL B)(A BBCBB)(A BCBBB)(A 化简后使电路简单，可靠性提高。化简后使电路简单，可靠性提高。逻辑函数化简的意义：逻辑表达式越简单，实现它的电路逻辑函数化简的意义：逻辑表达式越简单，实现它的电路越简单，电路工作越稳定可靠。越简单，电路工作越稳定可靠。最简？最简？逻辑函数的化简逻辑函数的化简 逻辑函数的最简表达式逻辑函数的最简表达式最简与或表达式最简与或表达式乘积项最少、并且每个乘积项中的变量也最少的与乘积项最少、并且每个乘积项中的变量也最少的与或表达式。或表达

59、式。CABACBCABADCBCBECACABAEBAY最简与或表达式最简与或表达式最简与非最简与非-与非表达式与非表达式非号最少、并且每个非号下面乘积项中的变量也最少的与非非号最少、并且每个非号下面乘积项中的变量也最少的与非-与非表达式。与非表达式。CABACABACABAY在在最简与或表达式最简与或表达式的基础上两次取反的基础上两次取反用摩根定律去用摩根定律去掉下面的非号掉下面的非号最简或与表达式最简或与表达式括号最少、并且每个括号内相加的变量也最少的或与表达式。括号最少、并且每个括号内相加的变量也最少的或与表达式。CABAYACBACBACBACABACABAY)()(CABAY求出反函

60、数的求出反函数的最简与或表达式最简与或表达式利用反演规则写出函利用反演规则写出函数的最简或与表达式数的最简或与表达式最简或非最简或非-或非表达式或非表达式非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少的或非非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少的或非-或或非表达式。非表达式。CABACABACABACABAY)()(求最简或与表达式求最简或与表达式两次取反两次取反最简与或非表达式最简与或非表达式非号下面相加的乘积项最少、并且每个乘积项中相乘的变非号下面相加的乘积项最少、并且每个乘积项中相乘的变量也最少的与或非表达式。量也最少的与或非表达式。ACBACABACABAY求最简或非求最简或非-或非表达式或非表达式用摩根定律去用摩根定律去掉下面的非号掉下面的非号用摩根定律用摩根定律去掉大非号下去掉大非号下面的非号面的非号逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法1 1、并项法、并项法逻辑函数的公式化简