数字图象处理：四频率域图像增强

1、第第4 4章章 频率域频率域图像增强图像增强Filter : A device or material for suppressing or minimizing waves or oscillations of certain frequencies.Frequency : The number of times that a periodic function repeats the same sequence of values during a unit variation of the independent variable. Websters New Collegiate Dic

2、tionary4.1 背景：背景：4.2 傅里叶变换和频率域傅里叶变换和频率域简介简介4.2.1 一维一维傅里叶变换及其反变换傅里叶变换及其反变换 如果如果f (x) 为实函数，它的傅立叶变换通常是复数形为实函数，它的傅立叶变换通常是复数形式，即式，即： 也可表为：也可表为： uIjuRuF ujeuFuF一维一维连续连续傅里叶变换傅里叶变换: : duuxjuFxfuFdxuxjxfuFxf2exp2exp1 -正变换：正变换：反变换：反变换：式中：式中：模模 称为称为f (x)的的傅立叶谱傅立叶谱。 角度角度 称为称为相角（相位谱）相角（相位谱）。 uIuRuF22 uRuIarctgu一

3、维离散一维离散傅里叶变换傅里叶变换 1, 1 ,0; 1, 1 ,0其中：/2exp/2exp11010NuNxNuxjuFxfNuxjxfNuFNuNx正变换：正变换：反变换：反变换：一维傅里叶变换一维傅里叶变换的例子的例子 矩形函数的傅立叶变换谱是：矩形函数的傅立叶变换谱是： uauauc)sin()(sin4.2.2 二维二维傅里叶变换及其反变换傅里叶变换及其反变换 vuvyuxjvuFyxfvuFyxvyuxjyxfvuFyxfdd2exp,dd2exp,1 -正变换：正变换：反变换：反变换：二维函数的二维函数的傅立叶谱，相位（谱）傅立叶谱，相位（谱）和和功率谱功率谱分别为：分别为：v

4、uIvuRvuEvuRvuIarctgvuvuIvuRvuF,222122二维连续二维连续傅立叶变换：傅立叶变换：二维二维离散离散傅立叶变换傅立叶变换(DFT)1, 1 ,0; 1, 1 ,0/2exp,1, 1 ,0; 1, 1 ,0/2exp,1,10101010 NyMxNvyMuxjvuFyxfNvMuNvyMuxjyxfMNvuFMuNvMxNy正变换：正变换：反变换：反变换： 离散时离散时是在离散点上取值。是在离散点上取值。傅立叶变换的傅立叶变换的零频率零频率分量分量)22. 2 . 4(),(1)0 , 0(1010MxNyyxfMNF傅立叶变换时傅立叶变换时频率原点的平移问题频

5、率原点的平移问题直接直接作傅里叶变换作傅里叶变换乘乘 后，再变换后，再变换yx ) 1(2/, 2/) 1(,NvMuFyxfyx另一个另一个矩形函数矩形函数的傅里叶变换的傅里叶变换 显示时为了看到高频信息，采用了显示时为了看到高频信息，采用了对数变换处理对数变换处理。 4.2.3 频率域滤波频率域滤波 图像和其频谱的定性联系图像和其频谱的定性联系。 频域图像处理频域图像处理(滤波滤波)的步骤的步骤:1. 用用 乘以输入图像来进行中心变换；乘以输入图像来进行中心变换；yx ) 1(2. 用用(1)的结果作图像的离散傅立叶变换的结果作图像的离散傅立叶变换(DFT)，即，即 ；),(vuF3. 用

6、滤波器函数用滤波器函数 乘以乘以 ；),(vuF),(vuH4. 计算计算(3)中结果的反中结果的反DFT；5. 得到得到(4)中结果的实部；中结果的实部；6. 用用 乘以乘以(5)中的结果，获得滤波后的图像。中的结果，获得滤波后的图像。yx ) 1(用流程表示的完整的频域滤波过程用流程表示的完整的频域滤波过程 包括了包括了前处理和后处理过程前处理和后处理过程。对对频域滤波频域滤波的初步定性认识的初步定性认识 去掉去掉0 0频率分量的图像频率分量的图像（陷波滤波器）（陷波滤波器）低频主要决定图像的总体灰度显示低频主要决定图像的总体灰度显示高频决定图像的细节部分（边缘、噪声）高频决定图像的细节部

7、分（边缘、噪声）高通滤波高通滤波低通滤波低通滤波频率域滤波频率域滤波简介简介加常数的高通滤波(保留0频率)4.2.4 空间域滤波空间域滤波和和频率域滤波频率域滤波之间的之间的对应关系对应关系 傅立叶变换是一个线性变换傅立叶变换是一个线性变换，所以我们可用，所以我们可用线性系统理论线性系统理论来描述上述滤波过程：来描述上述滤波过程：空域滤波过程空域滤波过程),(),(),(yxhyxfyxg),(),(),(vuHvuFvuG频域滤波过程频域滤波过程卷积过程卷积过程),(),(yxhyxf),(),(vuHvuF傅立叶变换傅立叶变换(4.2.31),(yxh傅立叶变换傅立叶变换),(vuH101

8、0),(),(1),(),(MmNnnymxhnmfMNyxhyxf卷积：),(),(yxhyxf),(),(vuHvuF傅立叶变换傅立叶变换(4.2.32)典型典型空域滤波器空域滤波器和和频域滤波器频域滤波器的对应形式的对应形式 采用高斯函数来说明采用高斯函数来说明。 设设频域频域高斯滤波器函数高斯滤波器函数为：为：)38. 2 . 4()(222uAeuH相应的相应的空域空域滤波器函数滤波器函数为：为：)39. 2 . 4(2)(2222xAexh域滤波器域滤波器和和频域滤波器频域滤波器的对应形式的对应形式是一种空域低通滤波。是一种空域低通滤波。 由高斯函数构成的频域由高斯函数构成的频域高

9、通高通滤波函数为：滤波函数为：)40. 2 . 4()(22221222uuBeAeuH21;BA取相应的相应的空域空域滤波器函数滤波器函数为为：)39. 2 . 4(22)(222222122221xxBeAexh高斯函数构成的频域高斯函数构成的频域高通高通滤波函数滤波函数频域定义的滤波函数频域定义的滤波函数4.3.1 理想低通滤波器（理想低通滤波器（ILPF）)2 . 3 . 4(),(0),(1),(00DvuDDvuDvuH是截止频率，是截止频率， 是频率点是频率点 到滤波器中心的距离。到滤波器中心的距离。 0D),(vuD),(vu)3 . 3 . 4()()(),(212222NM

10、vuvuD理想低通滤波器的图像表示理想低通滤波器的图像表示理想低通滤波器理想低通滤波器的应用效果实例的应用效果实例 图图b中圆的中圆的半径半径为：为： 5 15 30 80 230 (像素像素)R=5R=15R=30R=80R=230从图像的角度对振铃现象的解释从图像的角度对振铃现象的解释abdc巴特沃思巴特沃思低通低通滤波器（滤波器（BLPF） 巴特沃思低通滤波器的巴特沃思低通滤波器的频域滤波函数频域滤波函数为：为：)6 . 3 . 4(/ ),(11),(20nDvuDvuH是截止频率，是截止频率， 是频率点是频率点 到滤波器中心的距离。到滤波器中心的距离。 0D),(vuD),(vu是滤

11、波器的阶数。是滤波器的阶数。 n2 2阶阶巴特沃思巴特沃思低通滤波器低通滤波器的结果的结果 理想低通滤波理想低通滤波 2 2阶巴特沃思低通滤波器阶巴特沃思低通滤波器不同阶数巴特沃思不同阶数巴特沃思低通滤波器的低通滤波器的空域形式空域形式高斯高斯低通低通滤波器（滤波器（GLPF） 二维高斯低通滤波器的函数为：二维高斯低通滤波器的函数为：)8 . 3 . 4(),(2022/ ),(DvuDevuH是截止频率，又是高斯曲线的标准差，即是截止频率，又是高斯曲线的标准差，即 0D0D高斯高斯低通低通滤波器的滤波器的结果结果: : 没有振铃没有振铃。4.4 频率域频率域锐化锐化滤波器滤波器 对低通滤波作

12、相反操作，得到高通滤波器的表达式：对低通滤波作相反操作，得到高通滤波器的表达式：) 1 . 4 . 4(),(1),(vuHvuHlphp),(vuHlp是相应低通滤波的表达式。是相应低通滤波的表达式。理想理想巴特沃思巴特沃思高斯高斯频率域频率域高通滤波器的空域形式高通滤波器的空域形式4.4.1 理想理想高通高通滤波器（滤波器（IHPF）)2 . 4 . 4(),(1),(0),(00DvuDDvuDvuH4.4.2 巴特沃思巴特沃思高通高通滤波器（滤波器（BHPF）)3 . 4 . 4(),(/1120nvuDD),(1),(vuHvuHlphp4.4.3 高斯高斯高通高通滤波器（滤波器（G

13、HPF）)4 . 4 . 4(12022/ ),(DvuDe),(1),(vuHvuHlphp4.4.4 频率域的拉普拉斯算子频率域的拉普拉斯算子),()(),(vuFjuxyxfnnnnnnuvuFyxfjx),(),()(n阶微分算子阶微分算子的傅立叶变换：的傅立叶变换：图像中心平移：) 2/, 2/() 1)(,(NvMuFyxfyx频率域的拉普拉斯算子频率域的拉普拉斯算子),()2/()2/(),(222vuFNvMuyxf频率域的拉普拉斯算子频率域的拉普拉斯算子使用使用频率域频率域拉普拉斯算子进行增强，效果与空间域拉普拉斯拉普拉斯算子进行增强，效果与空间域拉普拉斯效果相同效果相同。4

14、.5 同态滤波 (Homomorphic filtering),(),(),(yxryxiyxfi ( x , y ) 照射分量 以空间域的慢变化为特征r( x , y ) 反射分量 引起突变照度照度反射模型反射模型),(),(),(),(vuHvuFyxhyxf注意：注意：（1）取对数：取对数：（2）变换到频域：变换到频域：),(ln),(ln),(ln),(yxryxiyxfyxz),(ln),(ln),(yxryxiyxz),(),(),(vuRvuIvuZ（3）滤波：滤波：确定频域滤波函数频域滤波函数H(u,v) ),(),(),(),(),(vuRvuHvuIvuHvuS同态滤波步骤

15、同态滤波步骤 滤波函数滤波函数)13. 5 . 4(1)(),()2/ ),(202LDvuDcLHevuH确定确定滤波函数滤波函数H(u,v)（4）作傅里叶反变换作傅里叶反变换),(),(),(1vuIvuHyxi),(),(),(1vuRvuHyxr（5） 取取指数函数指数函数),(exp),(0yxiyxi),(exp),(0yxryxr),(),(),(00yxryxiyxg同态滤波步骤同态滤波同态滤波的效果的效果 滤波前滤波前滤波后滤波后4.6 一些傅里叶变换的一些傅里叶变换的性质性质 平移性平移性 分配性和比例变换性分配性和比例变换性),(),(00)/(200vvuuFeyxfN

16、yvMxuj)/(20000),(),(NvMujevuFyyxxf),(),(),(),(2121yxfyxfyxfyxf),(),(),(),(2121yxfyxfyxfyxf),(),(vuaFyxaf)/,/(1),(bvauFabbyaxf一些傅里叶变换的性质一些傅里叶变换的性质 旋转旋转 周期性和对称性周期性和对称性 可分性可分性),(),(00Frf),(),(),(),(NvMuFNvuFvMuFvuF),(*),(vuFvuF傅立叶变换的周期性和对称性傅立叶变换的周期性和对称性4.6.1 和实现有关和实现有关的二维傅里叶变换的性质的二维傅里叶变换的性质(1) 一个一个二维傅立

17、叶变换可以分离成两个一维傅立叶变换二维傅立叶变换可以分离成两个一维傅立叶变换：11001100101,exp2/11exp2/,exp2/1( , ) exp2/MNxyMNxyMxF u vf x yjux Mvy NMNjux Mf x yjvy NMNF x vjux MM (2)一维一维傅立叶傅立叶反变换反变换的的正向实现正向实现： )18.6.4()(11/210*MuxjMueuFMxfM这是一个傅立叶正变换。这是一个傅立叶正变换。 二维二维傅立叶傅立叶反变换反变换的的正向实现正向实现：)19. 6 . 4(),(1,1)/(21010*NvyMuxjMuNvevuFMNyxfMN二维逆变换二维逆变换二维正变换二维正变换两个两个一维正变换一维正变换快速傅立叶变换快速傅立叶变换 (FFT)(FFT)4.6.6 快速傅里叶变换快速傅里叶变换(FFT)4.6.6 快速傅里叶变换快速傅里叶变换(FFT)的一些说明的一些说明 傅立叶变换点数傅立叶变换点数 , FFT, FFT和采用定义计算的优势为：和采用定义计算的优势为： nM2nnCn2)(4.6.5 二维离