高中数学 圆锥曲线小结理知识精讲 人教实验B版选修2－1

1、高二数学选修21圆锥曲线小结理人教实验B版【本讲教育信息】一、教学内容：选修21：圆锥曲线小结（第二章：第2.2，2.3，2.4节）二、教学目标：1、掌握圆锥曲线的定义，标准方程，能根据条件利用待定系数法求其方程，掌握其几何性质。2、能根据方程讨论曲线的性质，掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法，能够正确熟练地解决有关直线和圆锥曲线的位置关系的一些问题。三、知识要点分析：1、知识框图：2、知识归纳：名 称椭圆双曲线图 象定 义 平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆即 当22时，轨迹是椭圆， 当22时，轨迹是一条线段 当22时，轨迹不存在平面内到两定点的距离的差的绝对值为常

2、数（小于）的动点的轨迹叫双曲线. 即当22时，轨迹是双曲线当22时，轨迹是两条射线当22时，轨迹不存在标准方 程焦点在轴上时： 焦点在轴上时： 注：根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在轴上时： 焦点在轴上时：常数的关 系 ， 最大，最大，渐近线焦点在轴上时：焦点在轴上时：抛物线：图象方程焦点准线3、椭圆的性质：椭圆方程 （1）范围：，椭圆落在组成的矩形中。 （2）对称性：图象关于y轴对称，图象关于x轴对称，图象关于原点对称。 （3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 椭圆共有四个顶点：，。叫椭圆的长轴，长为2a，叫椭圆的短轴，长为2b。 （4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。（）（5

3、）椭圆的准线方程 对于，左准线；右准线对于，下准线；上准线焦点到准线的距离（也叫焦参数）4、双曲线的几何性质： （1）顶点 顶点：，特殊点： 实轴：长为2a，a叫做实半轴长。虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长。 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。 （2）渐近线 双曲线的渐近线（） （3）离心率 双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 范围：e>1 （4）等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。 等轴双曲线的性质：a、渐近线方程为：；b、渐近线互相垂直；c、离心率。（5）共渐近线的双曲线系：如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程写成。

4、（6）共轭双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。 （7）双曲线的准线方程： 对于来说，左准线，右准线； 对于来说，下准线；上准线。 焦点到准线的距离（也叫焦参数）。5、抛物线的几何性质 （1）顶点：抛物线的顶点就是坐标原点。 （2）离心率： 抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示。由抛物线的定义可知，e1。6、判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线的方程（A、B不同时为0）代入圆锥曲线的方程。消去（也可以消去）得到一个关于变量（或者变量）的一元二次方程。即，消去后的。（1）当时，则有，直线与曲线相交；，

5、直线与曲线相切；，直线与曲线相离。（2）当时，即得到一个一次方程，则与相交，且只有一个交点，此时，若 为双曲线，则直线与双曲线的渐近线是平行；若为抛物线，则直线与抛物线的对称轴的位置关系是平行。【典型例题】例1. 已知椭圆 及直线 . （1）当 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为 ，求直线的方程. 分析：直线与椭圆有公共点，等价于它们的方程组成的方程组有解. 因此，只须考虑方程组消元后所得的一元二次方程的根的判别式. 已知弦长，由弦长公式就可求出 . 解：（1）把直线方程 代入椭圆方程 得 ，即 . ，解得 . （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 ， ，由（1）

6、得， . 根据弦长公式得. 解得 . 因此，所求直线的方程为 . 说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别. 这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式. 用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程. 例2. 直线与双曲线相交于、两点. 当为何值时，以为直径的圆经过坐标原点. 解：由方程组： 得 因为直线与双曲线交于 、 两点 解得 . 设 ， ，则： ， ，而以 为直径的圆过原点，则 ， . . 于是，即. 解得满足条件. 故当时，以为直径的圆过原点. 例3. 斜率为1的直线经过抛

7、物线的焦点，与抛物线相交于两点、，求线段的长。解法一：由抛物线的标准方程可知，焦点 ，准线方程 . 由题设，直线 的方程为：. 将代入抛物线方程 ，整理得： . 解上述方程得： ， 分别代入直线方程得： 即 坐标分别为 、 . 解法二：设 ， ，则： 8解法三：设 、 B（x2，y2）. 由抛物线定义可知，等于点到准线的距离. 即 同理 点拨：（1）解法一利用传统的基本方法求出两点坐标，再利用两点间距离公式求出的长。解法二没有利用直线求出坐标。而是利用韦达定理找到与的关系，利用直线截二次曲线的弦长公式求得，这是典型的设而不求思想，方法比解法一先进，解法三充分利用抛物线的定义，把过焦点的这一特殊

8、的弦分成两个半径的和，转化为准线的距离，这是思维质的飞跃。 （2）抛物线上一点到焦点的距离这就是抛物线的焦半径公式。焦点弦长 例4. 若直线与抛物线交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程. 分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k的方程求解. 另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k. 解法一：设、，则由：可得：直线与抛物线相交， 且，则AB中点横坐标为：解得： 或（舍去）故所求直线方程为：解法二：设 、，则有两式作差解：，即故或（舍去）则所求直线方程为：例5. （1）设抛物线被直线截得的弦长为，求k值. （2）以（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作

9、三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标. 分析：（1）题可利用弦长公式求k，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求P点坐标. 解：（1）由得： 设直线与抛物线交于 与 两点. 则有： ，即 （2），底边长为 ，三角形高 点P在x轴上，设P点坐标是 则点P到直线的距离就等于h，即 或 ，即所求P点坐标是（1，0）或（5，0）. 本讲涉及的数学思想、方法：圆锥曲线将几何与代数进行了结合，高考中是重点，主客观题必不可少，易、中、难题皆有。重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质，重视求曲线的方程或曲线的轨迹，加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的探究。这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识

10、点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决，这样加强了对数学各种能力的考查，重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程的目的。预习导学案（空间向量及其运算）一、预习前知1、空间向量的概念是什么？2、空间向量的基本定理是什么？二、预习导学探究反思探究反思的任务： 空间向量的概念，共线向量定理，共面向量定理，空间向量基本定理，空间向量的数量积，夹角和距离公式1、在空间中，具有_和_的量叫做空间向量，其大小叫做向量的_或_.2、（1）共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b（b0），ab的充要条件是存在实数，使_.（

11、2）共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在实数对x，y，使p_.3、空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组x，y，z，使p_.4、空间向量的数量积：实数_叫做向量a，b的数量积，记作，即_.5、定理：如果向量a，b，c不共面，那么对空间_向量p，存在有序实数组x，y，z，使pxaybzc.6、平面向量的直角坐标运算可以全部推广到空间设a，b，则ab_，ab_，a_，ab_，ab_.7、夹角和距离公式【模拟试题】（答题时间：90分钟）一、选择题1、椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分，则这个椭圆的离心率是

12、 （ ） A. B. C. D. 以上都不对2、过抛物线的焦点作直线交抛物线于A（，），B（，），若，则AB的中点C到抛物线准线的距离为（ ）A. 5 B. 4 C. 3 D. 23、已知、是抛物线上两点，为原点，若，且的重心恰为抛物线的焦点，则的直线方程为（ ）A. B. C. D. *4、若AB为抛物线（）的焦点弦，是抛物线的准线，则以AB为直径的圆与的公共点的个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 0或1或25、抛物线到直线距离最近的点的坐标为（ ）A. B. C. D. *6、曲线与直线有两个交点时，实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、填空题7、若，则方程的解的

13、个数是_个。*8、设双曲线的半焦距为，直线过两点，已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为_。*9、过A（1，0）且与抛物线仅有一个公共点的直线方程为_。三、计算题10、求与椭圆 相交于 、 两点，并且线段 的中点为 的直线方程. *11、已知椭圆 的焦点分别是 、 ，过中心 作直线与椭圆相交于 、 两点，若要使 的面积是20，求该直线方程. *12、以椭圆 的焦点为焦点，过直线 上一点 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点 应在何处？并求出此时的椭圆方程. 【试题答案】1、解析: ，选C2、B3、D 4、B，相切5、B6、A7、3由8、2提示：又又故9、10、解：设、的坐标分别为 ， 点、都在椭圆上 得 的中点为 ， ，即直线 的斜率为 . 所求直线方程为 即 11、