高等数学课件：3 多元数量值函数的导数与微分-4 隐函数

1、2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系1隐函数的求导法则由一个方程确定的隐函数由方程组确定的隐函数2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系20),(. 1 yxF一、一个方程的情形隐函数存在定理隐函数存在定理 1 1 设函数设函数),(yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内具有连续的偏导数，且某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，则方程，则方程0),( yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数导数的函数)(xfy ，它满足条件，它满足条件)(00

2、 xfy ，并，并有有 yxFFdxdy . .隐函数的求导公式隐函数的求导公式2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系3例例验验证证方方程程0122 yx在在点点)1 , 0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值可可导导、且且0 x时时1 y的的隐隐函函数数)(xfy ，并并求求这这函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数在在0 x的的值值.解解令令1),(22 yxyxF则则,2xFx ,2yFy , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yF依依定定理理知知方方程程0122 yx在在点点)1 , 0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值

3、可可导导、且且0 x时时1 y的的函函数数)(xfy 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系4函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数为为yxFFdxdy ,yx , 00 xdxdy222yyxydxyd 2yyxxy ,13y . 1022 xdxyd2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系5例例 2 2 已知已知xyyxarctanln22 ，求，求dxdy.解解令令则则,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系6隐函数存在定理隐函数存在

4、定理2 2 设函数设函数),(zyxF在点在点,(0 xP),00zy的某一邻域内有连续的偏导数，且的某一邻域内有连续的偏导数，且,(0 xF0),00 zy，0),(000 zyxFz，则方程，则方程,(yxF0) z在点在点),(000zyxP的某一邻域内恒能唯一确的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxfz ，它满足条件，它满足条件),(000yxfz ，并有并有 zxFFxz ， zyFFyz . .0),(. 2 zyxF2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系7例例 3 3 设设04222 zzyx，求求22xz

5、 .解解令令则则,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系8例例 4 4 设设),(xyzzyxfz ，求求xz ，yx ，zy .思路：思路：把把z看成看成yx,的函数对的函数对x求偏导数得求偏导数得xz ，把把x看看成成yz,的的函函数数对对y求求偏偏导导数数得得yx ，把把y看成看成zx,的函数对的函数对z求偏导数得求偏导数得zy .解解令令, zyxu ,xyzv 则则),(vufz 2007年8月南京航空航

6、天大学 理学院 数学系9把把z看成看成yx,的函数对的函数对x求偏导数得求偏导数得xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看成看成yz,的函数对的函数对y求偏导数得求偏导数得)1(0 yxfu),(yxyzxzfv 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系10整理得整理得,vuvuyzffxzff yx 把把y看成看成zx,的函数对的函数对z求偏导数得求偏导数得)1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系11设有一组方程设有一组方程 (

7、, , , )0,(1)( , , , )0,F x y u vG x y u v则称由则称由 (1) 确定了隐函数组确定了隐函数组 之对应之对应, 能使能使( , , , ),(1),x y u vV 且满足方程组且满足方程组其中其中 定义在定义在 若存在若存在 2,R ,D E 4R .V FG与与使得对于任给的使得对于任给的 ( , ),x yD ()u,vE 与与有惟一的有惟一的二、隐函数组2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系12( , ),( , ),( , ),( , ),uu x yx yDu vEvv x y 并有并有 ( , , ( , ), ( , )0,( ,

8、).( , , ( , ), ( , )0,F x y u x y v x yx yDG x y u x y v x y 关于隐函数组的一般情形关于隐函数组的一般情形 ( 含有含有 m + n 个变量的个变量的 m 个方程所确定的个方程所确定的 n 个隐函数个隐函数 )，在本章不作详，在本章不作详 细讨论细讨论 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系13首先来看看首先来看看, 若由方程组若由方程组 (1) 能确定两个可微的隐能确定两个可微的隐 函数函数 , 则函数则函数 ( , )( , )uu x yvv x y与与GF、应满应满 足何种条件呢足何种条件呢? 不妨先设不妨先设 都可微

9、都可微, 由复合求导法由复合求导法, 通过对通过对 (1)GF、分别求关于分别求关于 x 与关于与关于 y 的偏导数的偏导数, 得到得到 0,(2)0;xuxvxxuxvxFF uF vGG uG v 0,(3)0.yuyvyyuyvyFF uF vGG uG v 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系14能由能由 (2) 与与 (3) 惟一解出惟一解出 的充要的充要 ),(),(yyxxvuvu与与条件是雅可比条件是雅可比 ( Jacobi ) 行列式不等于零，即行列式不等于零，即 def0.(4,)()( , )uvuvFFF GJGGu v 由此可见，只要由此可见，只要 具有连续

10、的一阶偏导数，且具有连续的一阶偏导数，且 GF、其中其中 是满足是满足 (1) 的某一的某一 ,00 PJ00000(,)P xy u v初始点初始点, 则由保号性定理，则由保号性定理， 使得在此邻域使得在此邻域 , )(0PU 内内 (4)式成立式成立 根据以上分析根据以上分析, 便有下述隐函数组定理便有下述隐函数组定理.2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系15 雅可比（雅可比（ Jacobi, C.G.J. 1804-1851, 德国德国 ）2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系16定理定理 ( 隐函数组定理隐函数组定理 ) 设方程组设方程组 (1) 中的函数中的函数 F

11、 与与 G 满足下列条件：满足下列条件： (i) 在以点在以点 为内点的某区域为内点的某区域 ),(00000vuyxP4RV 上连续；上连续； (ii) (初始条件初始条件); 0)()(00 PGPF(iii) 在在 V 内存在连续的一阶偏导数；内存在连续的一阶偏导数； (iv).0),(),(00 PPvuGFJ隐函数组定理 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系17, )(),( !, )(),(00WUvuQUyx 即有即有 ; )(),(, )(),(, ),(, ),(00WUvuQUyxyxvvyxuu( , , ( , ), ( , )0,( , , ( , ), (

12、 , )0,F x y u x y v x yG x y u x y v x y . )(),(0QUyx 则有如下结论成立：则有如下结论成立： 且满足且满足 000000(,),(,)uu xyvv xy以及以及1必定存在邻域必定存在邻域 ,)()()(000VWUQUPU 其中其中 000000(,),(,),QxyWu v使得使得 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系182o o( , ), ( , )u x yv x y在在 上连续上连续. 0()U Q3o o( , ), ( , )u x yv x y在在 上存在一阶连续偏导上存在一阶连续偏导 0()U Q数数, 且有且有

13、 1(,),( , )1(,).( , )vF GxJu xvF GyJu y 1(,),( , )1(,);( , )uF GxJx vuF GyJy v 本定理的详细证明从略本定理的详细证明从略,下面只作一粗略的解释下面只作一粗略的解释: 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系19 由方程组由方程组 (1) 的第一式的第一式 确定隐确定隐 ( , , , )0F x y u v 函数函数 ( , , ),ux y v 且有且有,.xxuyyuvvuFFFFFF ( , , )( , , ( , , ), )0.H x y vG x yx y v v ( , , ( , )( , )

14、.ux y v x yu x y ( , , )ux y v 将将 代入方程组代入方程组(1) 的第二式的第二式, 得得 ( , ),vv x y 再由此方程确定隐函数再由此方程确定隐函数 并代回至并代回至 这样就得到了一组隐函数这样就得到了一组隐函数 ( , ),( , ).uu x yvv x y2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系20通过详细计算通过详细计算, 又可得出如下一些结果又可得出如下一些结果: ,;xxuxvuvvHGGHGG1(,),( , )xvxxvxuuvxvxuxuuuvvFFHuvxFFHFFGGF GFFGGJx v L L1(,);( , )yvyuF

15、 GvyJy v L L1(,)1(,),.( , )( , )vF GvF GxJu xyJu y同理又有同理又有 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系21例例1 设有方程组设有方程组 22240,(5)50.xyyzx yyzz 2224,( , , )5( , , ),xyyzF x y zx yyzzG x y z 0(1, 2,1)P 试讨论在点试讨论在点 的近旁能确定怎样的隐函的近旁能确定怎样的隐函 0P数组？并计算各隐函数在点数组？并计算各隐函数在点 处的导数处的导数. 0P解解 易知点易知点 满足方程组满足方程组 (5) . 设设 2007年8月南京航空航天大学 理学

16、院 数学系22它们在它们在 上有连续的各阶偏导数上有连续的各阶偏导数. 再考察再考察 3R,F G0022222xyzPPxyzFFFyxzyzGGGxyxzyz 2 24.4 24 0P在点在点 关于所有变量的雅可比矩阵关于所有变量的雅可比矩阵 02 2(,)40,( , )4 2PF Gx y 由于由于2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系23042(,)80,( , )44PF Gz x 024(,)0,( , )24PF Gy z ( ),( ),( ),( );xx zzz yyy zxx y与与0P因此由隐函数组定理可知因此由隐函数组定理可知, 在点在点 近旁可以惟一近旁可

17、以惟一 地确定隐函数组地确定隐函数组: 但不能肯定但不能肯定 y , z 可否作为可否作为 x 的两个隐函数的两个隐函数. 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系2400d0(,)(,)0,( , )d4( , )PPxF GF Gz yzx y 00d( 8)(,)(,)2;( , )d4( , )PPyF GF Gx zzx y 00d41(,)(,),( , )d82( , )PPzF GF Gy xyz x 00d0(,)(,)0 .( , )d8( , )PPxF GF Gz yyz x 3o o0P运用定理运用定理 18.4 的结论的结论 , 可求得隐函数在点可求得隐函数在

18、点 处处 的导数值的导数值: 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系25022d10.4dPxy *注注 通过详细计算通过详细计算, 还能求得还能求得 ( )2xx yy 在在这说明这说明 处取极大值处取极大值, 从而知道从而知道 0P在点在点 的任意小邻域内的任意小邻域内, 对每一个对每一个 x 的值的值, 会有会有 多个多个 y 的值与之对应的值与之对应. 类似地类似地, 对每一个对每一个 x 的值的值, 也会有多个也会有多个 z 的值与之对应的值与之对应. 所以方程组所以方程组 (5) 在点在点 0P近旁不能惟一确定以近旁不能惟一确定以 x 作为自变量的隐函数组作为自变量的隐函数

19、组. 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系26例例 2 设函数设函数 具有连续的偏导数具有连续的偏导数, ( , ),( , )f x yg x y2(,),(,)0uf ux vyg ux v y1212212121.2xyuvxyuvFFFFuffx ffGGGGgv ggvyg ( , )( , )uu x yvv x y与与是由方程组是由方程组 ,.uvxy所确定的隐函数组所确定的隐函数组. 试求试求 2(,),(,),Fuf ux vyGg ux v y解解 设设 则有则有 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系27由此计算所需之雅可比行列式由此计算所需之雅可比行列

20、式: 1221 22112122,2uvx ffJvygxyvf gf ggvyg121 221122,2xvuffJyuvf gf ggvyg 122221 2212121.uyx ffJv gxv f gf ggv g于是求得于是求得 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系281 22 121 22 12,22xvuvJyuvf gf guxJyvgxyvf gf g 221 22 1221 22 1.22uyuvJxv f gf gv gvyJyvgxyvf gf g 注注 计算隐函数组的偏导数计算隐函数组的偏导数 ( 或导数或导数 ) 比较繁琐比较繁琐, 要学懂前两例所演示的方

21、法要学懂前两例所演示的方法 ( 利用雅可比矩阵和利用雅可比矩阵和 雅可比行列式雅可比行列式 ), 掌握其中的规律掌握其中的规律. 这里特别需要这里特别需要 “ 精心精心细心细心耐心耐心 ”. 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系29vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv ),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu .),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv 公式：2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系30（分以下几种情况）（分以下几种情况）隐函数的求导法则隐函数的求导法则0),()1( yxF0),()2( zyx

22、F 0),(0),()3(vuyxGvuyxF三、小结2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系31已已知知)(zyzx ，其其中中 为为可可微微函函数数，求求? yzyxzx思考题思考题2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系32思考题解答思考题解答记记)(),(zyzxzyxF , 则则zFx1 ，,1)(zzyFy ,)()(22zyzyzxFz ,)(zyyxzFFxzzx ,)()(zyyxzyzFFyzzy 于是于是zyzyxzx .2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系33一、一、 填空题填空题: :1 1、 设设xyyxarctanln22 , ,则则 dxdy_._. 2 2、设、设zxyz , ,则则 xz_,_, yz_._.二、二、 设设,32)32sin(2zyxzyx 证明：证明：. 1 yzxz练练 习习 题题2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系34三三、 如如 果果 函函 数数),(zyxf对对 任任 何何t恒恒 满满 足足 关关 系系 式式),(),(zyxfttztytxfk , ,则则称称函函数数),(zyxf为为 k次次齐齐次次函函数数, ,试试证证: :k次次齐齐次次函函数数满满足足方方程程 ),(zyxkfzfzyfyxfx . .