北京市东城区2019高三一模数学理科(解析版)

1、北京市东城区 2019高三一模数学理科(解析版)北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（一）2019.4数学（理科）本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答 无效。考试结束后，将答题卡交回。第一部分（选择题共40分）、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一 项。（1）已知集合 A x2x2 x 0, B x2x 1 0,则 AI B“11（A） x x -（ B） x x -22（C） x x 0（D） R答案：C考点：集合的运算，一元二次不等式。2-n Xr-_2_ _1-解析：A

2、x 2x x 0 x x 或x 0, 21 .B xx 2,所以，AI B x|x 0（2）在复平面内，若复数 （2 i）z对应的点在第二象限，则 z可以为(A) 2(C) i(B)1(D) 2+i答案：B考点：复数的运算，复数几何意义。解析：对于（A） , z = 2,则（2 i）z 4 2i ,对应点在第四象限，不符;对于（B） , z=1,则（2 i）z 2 i,对应点在第二象限，符合；对于（C）, z= i ,则（2 i）z 1 2i ,对应点在第一象限，不符；对于（D）, z=2+i ,则（2 i）z 5,对应点在x轴上，不符；所以，选Bo(3)在平面直角坐标系 xOy中，角以Ox为

3、始边，终边经过点 P( 1,m)(m 0),则下列各式的值一定为负的是(A) sin cos(C) sin cos答案：D考点：三角函数的概念。(B) sin cos(D)sintan解析：因为点P的横坐标为x = -1,所以，角在第二或第三象限,11 / 16角 在第二象限时，sin a与tan a异号,角 在第三象限时，sin a与tan a异号,所以，sJ 一定为负，选Dotan(4)正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)平行四边形(D)梯形正()期图答案：A考点：三视图、解析：该几何体如下图所示，所以，截面为

4、等腰三角形x卡0,(5)若x, y满足y作0,则x- y的最大值为沪 2x 6,(A) 0(B) 1(C) 2(D) 4xy,所以，目标函数z= |x- y|=xy,经过点B (2,2)时，取得最大值为4。一6/(6)已知直线l过抛物线2y 8x的焦点与抛物线交于B两点，与其准线交于点 C.若点F是AC的中点，则线段BC的长为8 (A)-3答案：C(B) 316(C) T(D)6答案：D 考点：线性规划。解析：不等式表示的平面区域如下图所示，由可行域知,考点：抛物线的性质。解析：抛物线的焦点 F (2,0),准线:x=-2,如下图，作AE l, BM/L l 于点 E、M,由抛物线的定义知，

5、AF=AE, BF=BM,1因为F为AC的中点，所以，AE=AF= - AC,所以，/ ACE= 30 ,又 | FD| = 4,所以，| FC| = 8,又 | BC| = 2 | BM| = 2 | BF| ,8所以，3 | BF| = 8, | BF| =-316| BC| = 2 | BF| =3(7)南北朝时代的伟大数学家祖咂在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖咂原理：“哥势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分

6、别为V1 ,V2,被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为s,s2,则“M,v2相等”是“ S,s2总相等”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件答案：B考点：充分必要条件。解析：两个几何体的体积V1,V2相等时，不一定有S1,S2总相等，如三棱锥和三棱柱等高时，体积可以相等，此时三棱锥的底面积是三棱柱底面积的 3倍, 再比如两个完全相同的圆台，一正一反放置两平行面之间时， V1,V2相等，但S1, S2不相 等时所以，充分性不成立；根据祖咂原理，当S1,S2总相等时，必有Vi,V2相等，必要性成立。(8)已知数列an满足:a1

7、an21(n N ),则下列关于an的判断正确的是 an(A) a 0, n2,使得 an 短(B) a0,n2,使得 anan1(C) a0,m N，总有aman(mn)(D) a0,m N，总有am nan答案：D考点：推理与证明。解析：因为 a1 a , an 1 an (n N )2 an当 an 0 时，an 1an 1 0 ,则当a0时，数列an的各项都为正数。2 an由基本不等式，得:an 1 an J2 ,当仅仅当an J2时取等号, 2 an所以，A错。an 1anan 12 an22 an2an由A知：an 72 ,此时an 1 an2 an22an即数列an是每项都为 J

8、2是的常数列，或递减的正数列，B错误。当a 72时，对任意mCN*, am 拒 an amn,故C错，D正确, 选D。第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。(9)在(J2 x)6的展开式中，X2的系数是 .(用数字作答)答案：60 考点：二项式定理。解析：1 C；(回6 r ( x)r ( 1)r(6 rC6xr ,令 r = 2,得 x2的系数为：4C：=60(10 )在 ABC 中，若 bcosC csinB 0,则 C .答案：3汽4考点：正弦定理。解析：因为bcosC csinB 0,由正弦定理，得：sinBcosC sinCsin B 0, sin

9、Bw。，所以，cosC sin C 0,即 tanC 1所以，C=3汽4x a cos ,. x 1 t,(11)若曲线 C:(为参数)关于直线l:(t为参数)对称，则y 2 siny 2 2ta ；此时原点O到曲线C上点的距离的最大值为 .答案：3713+1考点：参数方程，两点之间距离公式。解析：曲线C化为普通方程为：(x a)2 (y 2)2 1 ,圆心为(a, 2),直线l化为普通方程为：2x-y=4,依题意，直线过经圆心，所以，2a2=4,解得：a=3,原点O到曲线C上点的距离的最大值为：J(3 0)2 (2 0)2 1 = Ji3+1(12)已知向量a (1,J3),向量b为单位向量

10、，且a b 1 ,则2b a与2b夹角为答案：60o考点：平面向量的数量积。解析：依题意，得：I a| =2, | b | = 1,| 2b a | 2= 4b2 4ab+ a2= 4 4+ 4= 4所以，| 2b a | = 2设2b a与2b夹角为。，则(2b a) x 2b= | 2b-a | x | 2b | cos。，即：4b22ab= 2X 2cos 0 ,所以，cos。= 42 ,2 2 2所以，夹角为60of(2x2)成3.一一(13)已知函数f(x) 4x x ,右Xi,X2a,b, XiX2,都有2f (x1X2)f(2x1)立，则满足条件的一个区间是 .答案：(0,1)(

11、答案不唯一)考点：函数的导数及其应用。解析：f (x) 4 3x2,函数f (x)在(一,)是递增的， 33f (X) 6x ,m n、 f(m) f (n)令 2x1 m, 2x2 n ,贝U有 f () ,22所以，函数f (x)在在所给的区间上是上凸的函数，f(x)在(0,1)上缓慢上升是上凸函数，所以满足条件的一个区间是(0,1)。0,xA,0,XB：(14)设A,B是R中两个子集，对于XR ,定义：m dA n .01,xA,1,xB.若AB.则对任意xR,m(1n) ；若对任意x R , m n 1,则A, B的关系为.答案：0； AaB考点：集合的运算，逻辑推理。解析：若 A B

12、,则 x A时，m = 0, m (1 n) = 0;x A时，必有 x B,所以，m = n=1, m (1n) =0;所以，m (1 n) = 0任意x R,m+n=1,则m, n的值一个为0,另一个为1,即x A时，必有x B,或x B时，必有x A,所以，A, B的关系为：A eRB三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(15)(本小题13分)已知函数 f (x) 4acosxsin(x -),且 f (-) 1.63(I )求a的值及f(x)的最小正周期;(n )若f (x)在区间0, m上单调递增，求 m的最大值.(16)(本小题13分)改革开放40

13、年来，体育产业蓬勃发展反映了 “健康中国”理念的普及.下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图.其中条形图为体育产业年增加值(单位：亿元)，折线图为7000.06000.05000.04D00.03000.02000.01000,030.0%25,0%40415740 64752100 2220皿-1555 V11.1%40.0%35.0%犯0号2,0%20.0%15.0%10.0%50%体育产业年增长率().5.0%2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016体育产业期加值产业隼增长率(I )从2007年至20

14、16年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上的概率；(n )从2007年至2016年随机选择3年，设X是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数,求X的分布列与数学期望；(ID)由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育 产业年增加值方差最大？(结论不要求证明)(17)(本小题14分)如图，在棱长均为 2的三棱柱 ABC A1B1cl中，点C在平面 AABB1内的射影。为AB1与AB的交点，E, F分别为BC, AQi的中点.AiA(I)求证：四边形 AABB1为正方形；(n)求直线EF与平面A1ACC1所成角的

15、正弦值；AD ，.(出)在线段 AB1上存在一点D ,使得直线EF与平面A1CD没有公共点，求 的值.DB1(18)(本小题13分)设函数f(x) ax2 (a 2)x Inx的极小值点为x0.(I)若X0 1 ,求a的值f (x)的单调区间；(II)若0 xo 1,在曲线y f(x)上是否存在点P,使得点P位于x轴的下方？若存在，求出一 个P点坐标，若不存在，说明理由.(19)(本小题13分)22-x y已知椭圆C : 1(m 0)与x轴交于两点A1, A2,与y轴的一个交点为 B , BAA 4m m的面积为2.(I )求椭圆C的方程及离心率；(n)在y轴右侧且平行于y轴的直线l与椭圆C交

16、于不同的两点 P,P2,直线AR与直线A2P2交于点P.以原点。为圆心，以A1B为半径的圆与x轴交于M , N两点(点M在点N的左侧)，求PM PN的值.(20)(本小题14分)已知L N，数列A:ab a2,L , an中的项均为不大于 L的正整数.a表示a1,a2,L ,an中k的个数(k 1, 2,L , L).定义变换T , T将数列A变成数列T(A) :t(a1),t(a2),L ,t(an)其中 C c2 L ckt(k) L -一2-nk .(I )若 L 4,对数列 A: 1, 1, 2, 3, 3, 4 ,写出 q(1 i 4)的值；(n)已知对任意的 k(k 1,2,L ,

17、n),存在A中的项am,使得am k.求证：t(a) d (i 1,2,L ,n)的充分必要条件为 c Cj(i, j 1,2,L,L)；(出)若 l n ,对于数列 A:a1,a2,L ,an,令 T(T(A): b ,d,L h ,求证：b t(aj (i 1,2,L , n).北京市东城区2019高三一模数学理科（解析版）北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（一）、选择题（共(1) C(5) D二、填空题（共(9)60(11)(13)2019.4数学8小题，每小题(2) B(6) C6小题，每小题.13+1（0,1）（答案不唯一）（理科）参考答案及评分标准5分,5分,

18、40分)(3) D(4) A(8) D30分)(10)(12)(14)60oA eRB三、解答题（共6小题，共80分）(15)(共 13 分)解：（I）由已知f (一) 1 ,得 4a 3解得a1.f(x)4cos xsin( x )14 / 164cos x1 sin x cos2x)2 3sin xcosx 2cos2x 3 sin 2x cos2x 12sin(2 x -) 1 6以 f(x) 2sin(2 x ) 16(n)由(I)知 f (x) 2sin(2x -) 1. 6当 x 0, m时，2x 一 - ,2m -,666若f (x)在区间0, m上单调递增，则有2m 一，即m6

19、 2的最大13分（16）（共 13 分）解：（I）设A表示事件“从2007年至2016年随机选出1年，该年体育产业年增加值比前一年的 体育产业年增加值多500亿元以上”.由题意可知，2009年，2011年，2015年，2016年满足要求,故P(A)4104分（n）由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2, 3,且P(X 0)C3 _1=C；06P(X 1)c4C1-=一:C302 P(X 2)c2c6CT310c31P(X3)-3L =C1030E(X)1030 510分所以X的分布列为:X0123P1131621030的（出）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大.从

20、2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大.13分(17)(共 14 分)解：(I)连结co .因为C在平面A1ABB1内的射影。为ABi与AB的交点,所以CO 平面A1ABB1 .由已知三棱柱 ABC A1 B1cl各棱长均相等,所以AC BC ,且AiABBi为菱形.由勾股定理得OA OB,即AB1 A1B.所以四边形 A1AB81为正方形.(n)由(I)知 CO 平面 AABB1, CO OA,CO OA1.在正方形 AABB1中，OA1 OA .如图建立空间直角坐标系O xyz .由题意得 O(0,0,0), AC2,0,0), A(0, . 2,0), B(亚,0,0), c(

21、0,0，扬,G(V2, 72,72),E(李。，当F(变冬冬.2222uuir_ _uuir_ _所以 AA (、2、20), AC (0, .2, ,2).设平面AACC1的法向量为m (x, y, z),UULTAA1 0,. 2x 、, 2y 0,uur即 厂yAC 0.、2y 、2z 0.1,则 y 1,z1.m (1,1,1).又因为uuur 3、2EF(3T,设直线EF与平面A1ACC1所成角为，则sinuuir | cos m ,EFuurm EFV3q-uutrm| EF15所以直线EF与平面AAC所成角的正弦值为301510分（出）直线EF与平面ACD没有公共点，即EF /平

22、面 ACD .设D点坐标为(0, y0,0) , D与。重合时不合题意，所以y00 .uuuu -uuir一 一因为 AD ( V2, y0,0) , AC ( J2,0,J2).北京市东城区 2019高三一模数学理科(解析版)18 / 16(xi, v,zi)为平面ACD的法向量,uuuu AD uuur A1C0,.2x1即r0.2x1、。小x2z10,0.令x1zi1.若EFuur 又EF所以此时所以所以y。(1,1).y0/平面A1CD ,uuu EF 0.3.223.22EFADADDB1f0)y。平面A1CD ,DB14.23(18)解:(共13分)(I ) f (x)定义域为(0

23、,).f (x) 2ax (a2)22ax (a 2)x 11.由已知，得f (1)0,解得1.当 a=1时，f(x) (2x 1)(x x所以所以1)x 1 时，f (x) 0 ；当 x 1 时，f (x)f (x)的递减区间为(0,1),单调递增区间为a 1时函数f (x)在x 1处取得极小值.f (x) 的 极 小 值 点(2x 1)(ax 1)x0.(1,+ ?).14分为 1 时 a 的 值(II )当0 Xo 1时，曲线y f(x)上不存在点P位于x轴的下方，理由如下:由(I )知 f (x) (2X 1)(aX 1), X当a 0时，f (x) 0,所以f(x)在(0,)单调递减

24、，f (x)不存在极小值点；(2x 1)(ax 1)1当 a 0时，令 f (x) 0 ,得 x =.xa1 一 一一1当x (0,)时，f (x) 0, f(x)在区间(0,_)上单倜递减； aa1一 .一 一. .1.当x (,)时，f(x) 0, f(x)在区间(一，)上单调递增. aa11所以f (一)=lna+ 1是f (x)在(0,)上的最小值. aa1由已知，右0 x01,则有0 1,即a 1.a.111当 a 1 时，1且0 一 1，1 一 0.In a 0 aa ,1所以f (-) 0. a当0 x0 1时，曲线y f(x)上所有的点均位于 x轴的上方.故当0 x0 1时，曲

25、线y f(x)上不存在点P位于x轴的下方.13分(19)(共 13 分)解：(I)因为m 0,由椭圆方程知:a2 4 m, b2 m,a 20m,b Vm,S baa2-2ab 2x/m Vm 2m 2 ,所以 m 1. 22所以椭圆C的方程为上 y2 1.4由 a 2,b 1 , a2b2 c2,得 c 近,所以椭圆C的离心率为3.20),不妨设 A1( 2,0), A2(2,0),(n)设点 p(xp, yp), p(x0, y0), P2(x0, y0)(x0设 PA : yy x 2 , P2A2 : y-y- x 2 ，xo2xo2xo即V。2 又迎4y0Xo 2y0xo 24xp2

26、 , xp得2 yp4yp xoVp xP 22-2ypxp2yo(-)得上4, xo2yoxo4yP2xp21,2化简得迎yp2 1(xp o).4因为 A( 2,o), B(o,1),所以 A1B75,即 M( V5,o), N(V5,Q).所以点p的轨迹为双曲线1的右支，M ,N两点恰为其焦点,A, A2为双曲线的顶占八、且AA24,所以PM PN 4.13分(2o)(共 14 分)解：(I)G=2G=1C3=2c4=1.(n)由于对任意的正整数3分k(1 k L),存在A中的项am,使得* k.所以c, c2,L ,。均不为零.必要性：若 t(ai) a (1 i n),由于 t(k) L c2 L nCk北京市东城区2019高三一模数学理