北京市延庆区2020-2021学年第一学期高三年级(9月份)统测数学试题(含答案和解析)

1、数学2020-2021学年第一学期高三年级统测试卷2020. 09本试卷共4页，150分°考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后,将答题纸交回.第一部分（选择题，共40分）一、班择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小翘列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项.已知集合/气中:|<3, 8=刈用>11则/Im二(A) R(B) (1,3)(C) (T-DU(L3) <D)卜2, 2高三年级（数学）第1贞（共15页）已知向量a = （l/）0 b =（幺2），若q与方方向相反，则片等于Cd)CA> 1(3)圆门一314

2、（上一力？ 二1上一点到原点的距离的最大值为(A) 4(B)5(C) 6(D>下列函数中.在其定义域上是减函数的是(B) y - tan(-x) (C) f = V(D)V-7-X4 2,x<0-X- 2rx >0若。为第三象限角,则(A) cos2a >0(B) cos2a <0(C) sin2a > 0 (D) sin2a<0 (6)设抛物线歹=4的焦点为产，准线为p是抛物线上的一点，过尸作尸。，X轴于。，若PF = 3,则线段尸。的长为(A)五(B) 2(C) 272(D) 3&C7)已知函数/Xx) = -x + l + log2x,则

3、不等式/(刈0的解集是(A) (0,2)(B) (y,1)U(2,+8)(C) (L2)(D) (0,l)U(2,+8)(8)已知直线兄5,平面a,/7, alia,那么“八/3”是“a_LQ”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(9)在平面直角坐标系xQy中，将点力(2,1)绕原点。逆时针旋转90。到点B，设直线。8与x轴正半轴所成的最小正角为a,则sina等于(A) -(B) -(C) (D)5555(10)某企业生产4B两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和20万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的48

4、两种产品的 年产量的增长率分别为50%和20%,那么至少经过多少年后，工产品的年产量会 超过3产品的年产量(取lg2 = 0.3010 )(A) 2 年(B) 3年(C) 4年(D) 5年第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小5分，共25分.<11）己知复数z = /i 2a i是负实数.则实数a的值为.（12）已知正方形N8CQ的边长为2,点P满足万二;（二+ N万）.则西.而=.一（13）将数列2功1与»曾-2的公共项从小到大排列得到数列向,则优的前4项的和 为（14）将函数v=3sin（2e£）的图象向右平移2个单位长度后得到函数或x）的图象，

5、给出43下列四个结论：g（ £）= - 1；g3在（0, g）上单调递增；o L2Tl TT，g（x）在上有两个零点； 乙 乙g（x）的图象中与y轴最近的对称轴的方程是X二号.24其中所有正确结论的序号是.（15）设。为坐标原点，直线x = 与双曲线。:另-a= l（a>0，b>Q）的两条渐近线分 别交于2E两点，若石的面积为4,则C的焦距的最小值为.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（16）（本小题14分）A. B. C三个班共有18。名学生，为调查他们的上网情况,通过分层抽样获得了部 分学生一周的上网时长，数据如下表（单位：小时）：

6、A班121313182021B班1111.5121315.517.520C班1113.5151616.51921（ I）试估计B班的学生人数；< II）从这180名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率；<m）从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从C班抽出的7名学生中随机选取1 人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率.（17）（本小题14分）如图，在三棱柱力3c中，平面月BC,nC_LBC,47=BC = 2,CC1 = 3,点2 月分别在梭物和棱CC】上，且月。=1 CE = 2,河为梭 的中点.< I > 求证：DELBC,&l

7、t; II）求证：cm平面db】e ：< m）求二面角力一。石一与的余弦值.(18)(本小题14分)设为是公比不为1的等比数列，%=4,再从条件、条件这两个条件中选择 一个作为已知，求：(1)求4的公比；(II)求数列2 + 4的前项和.条件：，为%，%的等差中项；条件：设数列4的前项和为S，$3-5=2.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.(19)(本小题14分)A/15c的内角月，B,。的对边分别为m b, c,己知8=60。.(1 )若sin/ = 2sinC, b = &、求初8。的面积；(II )若 sinC-sin力二也，求角 C.2(20)(本小题14

8、分)22己知椭圆C：二+二= l(a>b >0)过点.4 (-2, 0),点台为其上顶点，且直线力5 cT b斜率为逅.2(1 )求椭圆。的方程；(h)设p为第四象限内一点且在椭圆。上,直线产才与y轴交于点，直线/汨与x轴 交于点n,求四边形的面积.(21 )(本小题15分)已知函数 /(x) = (2-4z)cosx-xsinx.(I)当。=0时，求函数八)在点(0,/(0)处的切线方程；(II)当。4, “£他夕时，求函数f(x)的最大值；(III)当时，判断函数F)的零点个数，并说明理由.高三年级(数学)第1贞(共15页)延庆区2020.2021学年度高三数学统测试

9、卷评分参考一、选择题：（每小题4分，共10小题，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）LA 2,C3.C4.D5. C 6.C7.D8. A 9. D 10. C二、填空题：（每小题5分，共5小题，共25分）11. 1；12. 3：13. 40 ；14；15.14题选对一个给3分,有错误不给分三、解答题：（共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤.）16. （ 1 ）由题意知,抽出的20名学生中.来自B班的学生有7名,根据分层抽样方法，B班的学生人数估计为180，工=63人.3分20只有结手63扣1分高三年级（数学）第1页（共15页）(II)设从选出的20名学

10、生中任选1人，共有20种选法，设此人一周上网时长超过15小时为事件D,其中D包含的选法有3+3+4=10种.由此估计从180名学生中任选1名，该生一周上网时长超过15小时的概率为2只有结果,而无必要的文字说明刃运算步骤,扣2分.(III)从A班的6人中随机选2人，有C；种选法，从C班的7人中随机选1人, 有。;种选法.故选法总数为：=15x7 = 105种10分设事件“此3人中恰有2人一周上网时长超过15小时”为E，则R中包含以下情况：(1)从A班选出的2人超15小时，而C班选出的1人不超15小时，(2)从A班选出的2人中恰有1人超15小时，而C班选出的1人超15小时，11分所以P(£

11、;) =C；C；+C；C；C： 9 + 36- 15x7 -714分只有霭而无文字说明.扣1分17.解:< I ） 因为cq，平面他。，所以CC_LBC1分因为WC J_ 8。所以BC,平面4CG4，2分因为DEu平面力CG4,所以BCJ_DE,3分即 DE J_BC（II） 设4。的中点为A，连接MV,则MNBQ, 4分连接GN,因为CEND且CE = ND,所以C】NDE是平行四边形，5分斫以CN/DE,6分所以平面。也加平面BfiD7分所以C】M 平面DB】E8分(UD以C为原点，分别以51、而、C£的方向为不轴、空间直角坐标系（如图）,y轴、2轴的正方向建立10分9分可

12、得C（0,0,0）、3（020）、4（0,2,3）、。（2,0,1）、小E（0,0,2）.依题意，酝=（0,2,0）是平面ZQE的个法向量,函=(0,2,1).而= (2,0,-1).设=（小乂力为平面。的法向量,nEB. =0 ! .即n, ED = b2y + z = 02x-z = 011分不妨设X = l,可得 = (L-L2).12分cos < CB. n >=.CB-n _ -2 _ V6Cb|- n 2x娓 6因为二面角/一。后一4的平面角是钝角,14分所以，二面角/一。七一用的余弦值为一述 6结昊为述扣一分 618.解：选（1 ）因为q为%、%的等差中项，所以2q=

13、4+42分所以2% = %q十幅,3分因为q H04分所以2 = q + q?所以4 = -2, 4 = 1 （舍）k能只看姑吴；没有4Ho扣一分，没合q 二 i扣一分选（I）因为一$=2,所以q+4+% 一% = % + % = 2 ,2分因为% = 4,所以&=一2.所以乌=殳=一2 6分%(II )设数列2力+勺的前项和为因为数列2力是以2为首项.2为公差的等差数列,等比数列4的首项q =今=1,所以s如型十型3”21-(-2)13分高三年级(数学)第1贞(共15页)14分=力。？+1)+没有证明或转明等差数列扣2分, 19.解:,I、* «° c asinC

14、 、.C 八（I）在A4BC中g因为二二.,所以sin/l = 2smC.1分sin/I sinCc所以a = 2。, 由余弦定理可得= a1 +c2 -2ac- cos60° = 3c2 =3，所以&48C的面积为S =1qcsinB = Lx2xlx;(H)在 A48C 中，因为月+C = 120。,sin C - sin A = sin C -sin(1200 - C),= sinC- - 2cosC-sinC = -sinC-告cosC = sin(C-60°) =当，10 分v O0<C<120。,1. -60。<C-600< 60

15、° ,12分aC-60o = 45°,aC = 105°14分直接写q = 2c扣一分,无角C范围叙述的扣2分20.1?：(I )白题意：设直线,四：y-0 =曰(x+2),.令x = 0,则y =于是.则怛叫=6一%=殍4分5分6分7分8分9分10分11分12分14分所以a = 2,b =百，.椭圆方程为 F = 1. 43（H）设产际%乂%。，稣0），且3片+ 4疗=12, 又力（一2,0）,8（0,JJ）,所以直线力。：七上=立乙%-0 %+2令告2” 二 6% + 26-2% ,3 + 2/ + 2,令y = 0,%N= '%，盟一。3%-百则|

16、= 2 +与=2 += 2y匚2占二 为73所以四边形力8Ml/的面积为S = ；AN|Bm| 2_ 1 2M 2yo 2%-28-房=-XX-=2工+2% 一石; 一3片4y； -12 + 4打 - 12/ + 8布y。2（% - 6% + 2% - 2-75）=4石（% - 邪飞 + 2yo - 2）=2百， 2（工（）为一6飞 + 2yo - 26）所以四边形4BNM的面积为26.结果不对最后2分全扣21.解:(I )当 4 = 0 时，函数 f(x) = 2cosx-xsinx, /(0) = 2 , 1 分/Z(x) = -2sin x - sin x-x cos x = -3 si

17、n x- xcos x.2 分，切线的斜率/=、f'(0) = 0，3分曲线y=/(.t)在原点处的切线方程为y= 24分(II) /x) = (2-4i)(-sinx)-sinx-xcosx = (a-3)sinx-xcosx, 5分令 g(x) = (a-3)sin x - xcosx .则 g'(x) = ( - 3) cos x - cos x+xsin x = (a-4) cos x+xsin x,6 分当a>4,时，g'(x)>0,所以g(x)在上单调递增,7分22所以g(x)Ng(0) = 0. 8p fx) > 0,仅在x=0处/'仕)=0,其余各处厂>07T所以/,(X)在。一上单调递增，8分2所以当 =工时./(X)的最大值为/(2)=一色.9分222UII)由(11)知，/x) = (-3)sinx-xcosx高三年级(数学)第1贞(共15页)因为当K£O,U时，