北京市海淀区高三一模理科数学试卷含答案

1、A. 5 B . 3 C.7 D . 4 22海淀区高三年级2015-2016学年度第二学期期中练习数学试卷（理科）本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1 .函数f（x） J2x 1的定义域为（）A. 0,十）？ ？ B.1,十）？ ？ C. （一 ,0? D. （一 ,12 .某程序的框图如图所示，若输入的 z = i （其中i为虚数单位），则输出的S值为（）A. - 1 B . 1 C.I D.ix y 2

2、 03 .若x,y满足x y 4 0,则z 1 x y的最大值为（2y 04 .某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（）A._33.302.3 C . 5 .已知数列an的前n项和为Sn,则“a为常数列”是“ n N*, & n% ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件6 .在极坐标系中，圆C1 : 2cos与圆G: 2sin相交于A, B两点，则| AB | =（）A. 1 B.2 C. ,3 D. 27 .已知函数f（x）si a），X 0是偶函数，则下列结论可能成立的是（）cos（x b）, x 02A. a - ,b B, a , b44

3、36C a ,b D. a , b36638 .某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示.若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（）机器工二三五r甲1517Hr I?P 151乙tl_232120丙9141。T -_._1111 91113 115修11A.甲只能承担第四项工作 B.乙不能承担第二项工作C.丙可以不承担第三项工作D. 丁可以承担第三项工作二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. r rr r9 .已知向量 a (1,t),b (t,9),若 apb,则 t = .10 .在等比数列an中，

4、32 = 2,且工 工5,则& a3的值为.ai a341111.在三个数1,22log32中，最小的数是222_12 .已知双曲线C：与当i的一条渐近线i的倾斜角为一,且c的一个焦点到i的距离为73, a2 b23则C的方程为.13 .如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1, 2, 3中的一个.(i)当每条边上的三个数字之和为 4时，不同的填法有 种；(ii)当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有 种.14 .已知函数f(x),对于实数t，若存在a0,b 0 ,满足：x t a,t b,使得|f(x) f(t)|2,则记a+b的最大值为H (t ).(i )当 f (x)

5、 =2x时，H (0)=(ii)当f(x)x2且t 1,2时，函数H (t)的值域为三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.15 .(本小题满分13分)如图，在4ABC中，点疏边AB上，且处工.记/AC庆DB 3/ BC氏.(I )求证:AC sin ；BC 3sin(n)若一，一,AB屈，求BC的长.6216 .(本小题满分13分)2004年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广.2015年12月10日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺 贝尔医学奖.目前，国内青蒿人工种植发展迅速.某农科所为了深入研究海

6、拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了 100株青蒿进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株青蒿作为样本,每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（I）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量;（n）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为城，s2,根据样本数据，试估计s2与s2的大小关系（只需写出结论）；（田）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取 1株，记这2株的产量总和为 ，求随机变量的分布列和数学期望.17 .(本小题满分14分)如图，在四棱锥PABC中，PA，平面ABCD四边形ABCD；正方形，点M , N别为线段PB,PC上的点，M

7、NL PB.(I)求证：BC，平面PAB ;(II)求证：当点M不与点P , B重合时，M , N , D , A四个点在同一个平面内；(田)当PA= AB= 2,二面角C- AN D勺大小为一时，求PN的长. 318 .(本小题满分13分)已知函数f (x)1x 1=ln x H1, g(x) (I)求函数 f (x) 的取小值;xIn x(n)求函数g(x)的单调区间;(m)求证：直线y=x不是曲线y =g(x)的切线19 .（本小题满分14分）已知椭圆C:4 / i（a b 0）的离心率为 旦,椭圆C与y轴交于A , B两点，且| AB| a b2=2.（I ）求椭圆C的方程；（II）设

8、点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧.直线PA, PN直线x = 4分别交于M,N两点.若以MN为直径的圆与x轴交于两点E, F,求点嘴坐标的取彳4范围及| EF|的最大值.20 .（本小题满分13分）给定正整数n（n 3）,集合Un 1,2, ,n .若存在集合A, B, C,同时满足下列条件： U n =AU BU C,且 AH B = BAC =AA C=;集合A中的元素都为奇数，集合B中的元素都为偶数，所有能被 3整除的数都在集合C中（集合C中还可以包含其它数）；集合A, B, C中各元素之和分别记为 SA, SB, SC,有SA =SB = SC ;则称集合Un为可分集合.（

9、I）已知U独可分集合，写出相应的一组满足条件的集合A, B, C ;（D）证明：若n是3的倍数，则UQ是可分集合；（田）若Un为可分集合且n为奇数，求n的最小值.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（理科）阅卷须知：1 .评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。2 .其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题（本大题共 8小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案ADCACBCB二、填空题（本大题共 6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空 3分，第二空2分,共30分）19.310 .511.一2212

10、. x3sin-6 L 1313 . 4,614. 2,小 V2,2) U 273,4三、解答题（本大题共6小题，共80分）15.解：(I)4在ACD中,由正弦定理，有嬴焦ADsin在BCD中,由正弦定理，有人BD sin因为 ADCBDC九,所以sin ADCsin BDC因为黎3,所以ACBCsin3sin（n）因为ACBC一. 九 sin2设 AC 2k,BC3k,k 0,由余弦定理,_2_ 2 2AB AC BC 2AC BC cos ACB代入，得到19 4k2 9k22冗2 2k 3k cos 3解得k 1,所以BC 3.16解：（I）由山下试验田4株青蒿样本青蒿素产量数据，得样本

11、平均数- 3.6x 4.4 4.4 3.6 4则山下试验田100株青蒿的青蒿素产量S估算为S 100x 400 g(n)比较山上、山下单株青蒿素青蒿素产量方差s2和s2,结果为s2 s2.(田)依题意，随机变量可以取 7.2, 7.4, 8 8.2, 8.6, 9.4 ,P(17.2) -, P(7.4)P(18) r P(8.2)P(18.6) -, P(89.4)随机变量的分布列为n7. 27.483. 23.811111P48488随机变量的期望 E( ) 7.2 17.4 1+81+8.21+8.61+9.4-=8.48488817解：(I)证明：在正方形 ABCD中，AB BC,因为

12、PA 平面 ABCD , BC 平面 ABCD , 所以PA BC.因为 AB I PA A,且 AB,PA 平面PAB所以BC 平面PAB(n)证明：因为 BC 平面PAB, PB 平面PAB,所以BC PB在 PBC 中，BC PB , MN PB ,所以MN P BC .在正方形 ABCD中，AD P BC ,所以MN P AD ,所以MN, AD可以确定一个平面，记为所以M,N,D,A四个点在同一个平面内(田)因为 PA 平面 ABCD , AB, AD 平面 ABCD ,所以 PA AB, PA AD.又AB AD,如图，以A为原点，AB,AD,AP所在直线为x, y,z轴建立空间直

13、角坐标系 Axyz,所以 C(2,2,0),D(020), B(2Q0),P(0,0,2).r设平面DAN的一个法向量为n (x,y,z),ur平面CAN的一个法向量为 m (a,b,c),uuiiruur设 PN PC,0,1,uuruuir因为PC (2,2, 2),所以AN(2 ,2 ,22 ),uuir又AD(0,2,0),所以uuur rAN n uur r AD n2 x 2 y (2 2 )z2y 00一r取 z 1,得到 n(1,0,1),一，uururnr因为 AP (0,0,2) , AC (2,2,0)所以uuu irAP m 0 uuu irAC m 02c 02a 2

14、b 0ir取 a 1 得，到 m (1, 1,0),ir r兀 1因为二面C AN D大小为3,所以1cos m,n | cos-,ir r 所以 |cos m,n |ir rm n-ir-m |m|n解得 1,所以PN 百x 12x18解：(I)函数f(x)的定义域为(0,),f(x)1 1一 2 x x当x变化时，f (x) , f(x)的变化情况如下表:三(0.1)1(L+x)0+fW极小值/函数f(x)在(0,)上的极小值为f(a) ln1 1 1 0, 1所以f(x)的最小值为0(II)解：函数g(x)的定义域为(0,1) U(1,),g(x)1.1,In x (x 1) In x

15、一 1 x x f (x)ln2 * 4 xln2x ln2x由(I)得，f(x) 0,所以 g(x) 0所以g(x)的单调增区间是(0,1),(1,),无单调减区间.(田)证明：假设直线y x是曲线g(x)的切线.设切点为(xo,yo),则g(%) 1,即In x。 1_x_ 1 ln?x。又y。x。 1In x。, y。x。，则=x。.In x。所以lnx。出 xo11,得 g(x。)xo0,与g(x。)1矛盾所以假设不成立，直线yx不是曲线g(x)的切线19解：(I )由题意可得,1,(II)设 P(xo,yo)(0 x。2),A(0,1),B(0, 1),所以kpA心，直线PA的方程为

16、y Hx 1, XoXo同理：直线PB的方程为y义-x 1,Xo直线PA与直线x 4的交点为M（4,y21）,Xo直线PB与直线x 4的交点为N（4,4y1）, Xo线段MN的中点（4, 4区），Xo所以圆的方程为（x 4）2 （y 也）2 （1 -）2, XoXo令 y o,则（X 4）2 等（1 包）2, Xo4因为或y 1,所以04X24所以（x 4）2 - 5 o, Xo因为这个圆与X轴相交，该方程有两个不同的实数解,所以5 。，解得Xo （- ,2. Xo5设交点坐标（X1,o）,（ x2,o）,则 |X1 x2| 2J5（8xo 2）所以该圆被X轴截得的弦长为最大值为2.B(0,

17、1),方法二：(II)设 P(X0,y0)(O X0 2), A(0,1),所以kpA型，直线PA的方程为y Hx 1,X0X0同理：直线PB的方程为y Tx 1,Xo直线PA与直线x 4的交点为M (4, 4(y0 1) 1), Xo直线PB与直线X 4的交点为N(4,4y21),Xo若以MNKj直径白圆与X轴相交， 则4(y。1) 1 4(yo 1)XoXo216(y2 1) 4(y。1) 4(y。1) 1 02I 0即X0X0X0即当3：1 0.因为由y2 1 ,所以Wj 1,4X04代人得到5 0 ,解得x0 (8,2.X05该圆的直径为|幺%+ 1(弘如)1)|=|26|,X0X0X

18、01)尸中|,X0圆心到X轴的距离为1|4(y。1)+1+(4(y。1)2 x0x0该圆在x轴上截得的弦长为2卜-)2 (竺0)2 2 171,(8 x 2);XoXoXo 5所以该圆被X轴截得的弦长为最大值为 2.方法三：(n)设 P(Xo,yo)(O Xo 2), A(0,1) , B(0, 1),所以kpA W，直线PA的方程为y X_X 1, XoXo同理：直线PB的方程为yx 1, Xo直线PA与直线X 4的交点为M (4, 4(yo 1) 1), Xo直线PB与直线X 4的交点为N(4,431), Xo所以 |MN|=|4(yo 1)+1 (4(yo 1) 1)|=|2 |, Xo

19、XoXo圆心到X轴的距离为1|413+1+(4131)|二|也|, 2 XoXOXO若该圆与X轴相交，则|1仝| |0|, XoXo即(1 -)2 ()2 O, XoXo因为破y2 1,所以理 -,4X24Xoo,解得 Xo (8,25该圆在X轴上截得的弦长为2 (1 A)2 (4&)22 5 -XoXoXo2 J5 2=2;所以该圆被X轴截得的弦长为最大值为2.方法四： 记 D(2,。), H (4,。),设 P(m, yo)M (4, m) N(4, n)由已知可得 A(o,1) B(o, 1),所以AP的直线方程为y y-x 1,XoBP的直线方程为y x 1,Xo令X 4,分别可得m4

20、Xo4(y 1)所以M (4,4( y 1)Xo1),若以MN为直径的圆与因为EH MN , 所以EH2 HN HM(4(y-XoXoN(4,4y-Xox轴相交于E,F ,EH2 HN HM ,1)1) (4(yo 1)Xo216yo 16 8Xo Xo2Xo2-)1)2因为x0y241，所以筌所以 16y02 (% 4)28x0 5x0020xo因为MN/y轴,代人得到EH2所以刈(8,2,5所以EF 2EH所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2.方法五: 设直线OP与x 4交于点TAO OP BP BO OP, TN PT PM TM PT所以AO BO 所以tn TM ,所以T是MN的中点

21、.TN TM又设P(x0,y0)(0X。2),所以直线0P方程为y段x,令X 4,得y 4次，所以T(4,4&) X0x0一4而 r TN 1 x0若以MN为直径的圆与x轴相交于E,F则 d 1% rx04x0因为x2 y2 1 ,所以1，代人得到4X048 .所以5X0 8X0 0 所以X0 -或X0 0 /5因为点0 X。2 ,所以8/25而 EF 2 C 2（40 1）2（4Xy0）2所以该圆被X轴截得的弦长为最大值为2.20解:(I)依照题意，可以取 A 5,7 , B 4,8 , C 1,2,3,6(II )假设存在n是3的倍数且Un是可分集合.设n 3k ,则依照题意3,6, ,3k C ,3k2 3k故 SC3 6 3k ,2而这n个数的和为n(1 n) ,故SC 1 n(1 n)