北京市海淀区高二下学期期中数学理试卷

1、2017海淀区高二（下）期中数学（理科）一.选择题：本大题共 8小题，每小题4分，共32分.1. （4分）复数1-Wi的虚部为（）A."B. 1C.乃 D. - V32. （4 分）J3xdx=（）J 0A. 0 B. 1 C. 1 D. - 13. （4分）若复数Z1, Z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且Z1=1+i ,则Z1?Z2=（A. - 2 B. 2 C. - 2i D. 2i4. （4分）若a, b, c均为正实数，则三个数a+1b+L, c+工这三个数中不小于2的数（ boaA.可以不存在B.至少有1个C.至少有2个 D.至多有2个的图象5. （4分）定义在R上的函

2、数f （x）和g （x）,其各自导函数f ' （x） f和g' （x）如图所示，则函数F （x） =f （x） - g （x）极值点的情况是（）A.只有三个极大值点，无极小值点B.有两个极大值点，一个极小值点C.有一个极大值点，两个极小值点D.无极大值点，只有三个极小值点6. (4分)函数f (x) =lnx与函数g (x) =ax2-a的图象在点(1, 0)的切线相同，则实数 a的值为()A. 1 B. - L C.，D.上或-122227. (4分)函数y=ex (2x-1)的大致图象是()A.B.CD.8. (4分)为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三

3、名同学进行问卷调 查.调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：(1)甲同学没有加入“楹联社”；(2)乙同学没有加入“汉服社”；(3)加入“楹联社”的那名同学不在高二年级;(4)加入“汉服社”的那名同学在高一年级;(5)乙同学不在高三年级.试问：丙同学所在的社团是()A.楹联社B.书法社C.汉服社D.条件不足无法判断二.填空题：本大题共 6小题，每小题4分，共24分.9. (4分)在复平面内，复数 上L对应的点的坐标为10. (4分)设函数f (x), g (x)在区间(0, 5)内导数存在，且有以下数据:x1234f (x

4、)2341f' (x)3421g (x)3142g' (x)2413则曲线f (x)在点(1,f (1)处的切线方程是 ;函数f (g(x)在x=2处的导数值是11. (4分)如图，f (x) =1+sinx ,则阴影部分面积是12. (4分)如图，函数f (x)的图象经过(0, 0), (4, 8), (8, 0), (12, 8)四个点，试用二,V”填空：(1)； f ' (6) f ' ( 10).13. (4 分)已知平面向量a=(X1,y1)，b=(X2,y2),那么a?b=X1X2+y1y2；空间向量=(x1,y1，z1)，b=(x2,y2.Z2),

5、那么 a?b=x1x2+y1y2+Z1Z2.由此推广到 n 维向量：a=(aba2,，a“， b= (b1，b2,，bn),那么 a?b=.14. (4分)函数f (x) =ex- alnx (其中aG R, e为自然常数)？aG R,使得直线y=ex为函数f (x)的一条切线；对？av0,函数f (x)的导函数f' (x)无零点；对？av0,函数f (x)总存在零点;则上述结论正确的是.(写出所有正确的结论的序号)三.解答题：本大题共 4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. (10 分)已知函数 f (x) =x3-3x2-9x+2(I )求函数f (x)的

6、单调区间；(n)求函数f (x)在区间-2, 2上的最小值.16. (10 分)已知数列an满足 ai=1, an+i+an=-/i - Vn-l|, nGN*.(I)求 a2, a3, a4；(n)猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明.17. (12 分)已知函数 f (x) =x- (a+1) lnx其中 aGR.(I )求证：当a=1时，函数y=f (x)没有极值点；(n)求函数y=f (x)的单调增区间.18. (12 分)设 f (x) =et(x1)- tlnx , (t>0)(I )若t=1 ,证明x=1是函数f (x)的极小值点；(n)求证：f (x) > 0

7、.参考答案与试题解析一.选择题：本大题共 8小题，每小题4分，共32分.1 .【解答】复数1-gi的虚部为-V3.故选：D.2 .【解答】x !xdx=Lx2| =, J li 2 1 0 2故选：BZ1=1+i ,3 .【解答】复数zi、Z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,Z2=- 1+i .4' Zi?Z2= (1+i) (1-i) =-2.故选：A4 .【解答】假设a+1, b+工c+上这三个数都小于2, b c aa+g+b+c+v 6 b c aa+_L+b+c+= (a+) + (b+三)+ (c+) > 2+2+2=6, b c a abc这与假设矛盾,故至少有一个

8、不小于 2故选：B5 .【解答】F' (x) =f' (x) - g' ( x),由图象得f ' (x)和g' (x)有3个交点，从左到右分分别令为a, b, c,故 xG (-“，a)时，F' (x) V0, F (x)递减，x (a,b)时，F'( x)>0, F(x)递增，xG (b,c)时，F'(x)V0, F(x)递减，xG (c, +x)时，F' ( x) >0, F (x)递增，故函数F (x)有一个极大值点，两个极小值点，故选：C.6 .【解答】由题意，f' ( x)=，g' (

9、x) =2ax,二函数f (x) =lnx与函数g (x) =ax2-a的图象在点(1,0)的切线相同,1=2a, .金二弓， 故选C.7.【解答】v' =ex (2x1) +2ex=ex (2x+1),令 y' =0 得 x=一y，°,当 x9 时，y，0,y=ex (2x - 1)在(-X上单调递减，在（-冬 +x）上单调递增,当x=0时，y=e （0-1） =- 1,函数图象与y轴交于点（0, - 1）;令 y=ex (2x - 1)=0 得 x=L,2f （x）只有1个零点x=l当x <!时2y=ex (2x - 1) v 0,当 x时，y=ex (2x

10、 - 1) > 0,综上，函数图象为A.故选A.8 .【解答】假设乙在高一，则加入“汉服社”，与（2）矛盾，所以乙在高二，根据（3）,可得乙加入“书法社”，根据（1）甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社，故选A.二.填空题：本大题共 6小题，每小题4分，共24分.9 .【解答】复数皆二1招工=-1-i在复平面内对应的点的坐标（-1, -1）.10 .【解答】(1) =3, f (1) =2, .曲线f (x)在点(1, f (1)处的切线方程是y=3x-1,f (g(x)'=f' (g(x)g' (x), x=2 时，f' (g(2)g&

11、#39; (2) =3X4=12,故答案为y=3x- 1； 1211 .【解答】由图象可得 S= f ； (1+sinx ) dx= (x cosx)| ；=冗cos?t (0cos0) =2+冗，故答案为：+ +212 .【解答】(1)由函数图象可知 K4)=1二=|=2 .24(2) . f (x)在(4, 8)上是减函数，在(8, 12)上是增函数，f ' ( 6) V 0, f ' ( 10) >0,.f ' ( 6) vf ' ( 10).故答案为(1) >, (2) v.13.【解答】由题意可知；a?b=a1b1+a2b2+a3b3+an

12、bn.故答案为：ab+a2b2+a3b3+anbn14 .【解答】对于，函数f (x) =ex-alnx的导数为f' (x) =ex-0设切点为(m, f (成)，贝U e=em ,em=em- alnm,可取m=i, a=0,则？aGR,使得直线y=ex为函数f (x)的一条切线，故正确；对于，？av0,函数f (x)的导函数f' (x) =ex-三，由x>0,可得f' ( x) >0,则导函数无零点，故正确;对于，对？av0,函数 f (x) =ex - alnx ,由 f (x) =0,可得 ex=alnx ,分别画出丫=6、和y=alnx , (av

13、0)的图象，可得它们存在交点,故f (x)总存在零点，故正确.故答案为：.三.解答题：本大题共 4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15 .【解答】(I) f' ( x) =3x2-6x-9=3 (x+1) (x-3),令 f ' ( x) =0,彳4 x= T 或 x=3,当x变化时，f' (x), f (x)在区间R上的变化状态如下:x(-00-1(-1,3)3(3,+1)°°)f'(x)+0-0+f(x)/极大极小/所以f (x)的单调递增区间是(-X,1), (3, +X);单调递减区间是(-1, 3);(n)因

14、为 f ( 2) =0, f (2) =20,再结合f (x)的单调性可知,函数f (x)在区间-2, 2上的最小值为-20.16 .【解答】(I)由题意 a二1, a2+a1 =V2, a3+a2=/-1, a4+a3=2解得：a2= 1, a3= "1-f3 V2, a=2(n)猜想：对任意的 nGN*, an=« - ,7 ,当n=1时，由a1=1=Vl - V1-1,猜想成立.假设当n=k (kGN*)时，猜想成立，即ak=瓜-Vk-l|则由 ak+i +ak= Gk+i - 7kT ,得 ak+i= Vk+1 - Vk, 即当n=k+1时，猜想成立，由、可知，对任

15、意的 nGN*,猜想成立，即数列a n的通项公式为an= Vn - -JnA .17 .【解答】(I)证明：函数f (x)的定义域是(0, +OO).当 a=1 时，f (x) =x2lnx一工，函数 f ' (x) =。-；,70,所以函数f (x)在定义域(0, +x)上单调递增，所以当a=1时，函数y=f (x)没有极值点；(n) f' ( x) =1 亘包+得=_立2_ , xG (0, +oo) 工/ F令 f' ( x) =0,彳x x1=1, x2=a,a00时，由f' (x) >0可得x>1,所以函数f (x)的增区间是(1, +x)

16、;当 0vav 1 时，由 f' (x) >0,可得 0vxva,或 x>1,当a>1时，由f' (x) >0可得0vxv1,或x>a,所以函数f (x)的增区间是(0, 1), (a, +°°);当a=1时，由(I)可知函数f (x)在定义域(0, +8)上单调递增.综上所述，当a00时，函数y=f (x)的增区间是(1, +x);当0<a<1时，所以函数f (x)的增区间是(0, a), (1, +°°);当a=1时，函数f (x)在定义域(0, +°°)上单调递增；当a>1时，所以函数f (x)的增区间是(0, 1), (a, +°°).18.【解答】证明：(I)函数f (x)的定义域为(0, +x),(1分)若 t=1 ,则 f (x) =ex 1 - lnx ,晨(必二匚式-1 .分)因为f' (1) =0,(3分)且 0vxv1 时，即 f' (x) V0,所以f (x)在(0, 1)上单调递减；(4分)x>1 时，-即 f' (x) >0,所以f (x)在(1, +x)上单调递增；(5分)（n）函数 f （x）的定义域为（0, +x） , t >0.1缶）二tJ&Tj二二