导数的应用2理名师课件

1、1 3 x2- -2 x+5. (1)求函数求函数 f(x)的单调递增、递减区间的单调递增、递减区间; 设设f(x)=x - - 2 (2)当当 x? ?- -1, 2 时时, f(x)m 恒成立恒成立, 求实数求实数 m 的取值范围的取值范围. 解解: (1)由已知由已知 f? ?(x)=3 x2- -x- -2, 2 2 令令 f? ?(x)0 得得 - - x0得得x1. 3 3 2 , 1); y=f(x) 的单调递减区间是的单调递减区间是 (- - 3 2 单调递增区间是单调递增区间是 (- -, - - )和和(1, +). 3 (2)命题等价于命题等价于 f(x) 在在 - -1

2、, 2 上的最大值小于上的最大值小于 m . 2 令令 f? ?(x)=0 得得 x=- - 或或1. 3 22 2 1 1 f(1)=3 , f(2)=7, f(- -1)=5 , f(- - )=5 , 3 27 2 2 f(x) 在在 - -1, 2 上的最大值为上的最大值为 7. 导数的应用举例导数的应用举例 1 m的取值范围是的取值范围是 (7, +). 7 m . 故实数故实数 导数的应用举例导数的应用举例 2 设设 f(x)= x+1 - -aln(x+1), a? ?R, 且且 a? ?0, 取取e=2.7. (1)求求 f(x) 的单的单调区间调区间; (2)比较比较 x+1

3、 与与 ln(x+1) 的大小的大小, 并加以证明并加以证明. 解解: (1)函数函数 f(x) 的定义域为的定义域为 (- -1, +). 1 a x+1- -2 a = 又又 f? ?(x)= - - . 2 x+1 x+1 2( x+1) 当当 a0, f(x) 在在 (- -1, +) 上为增函数上为增函数; 当当 a0 时时, 令令 f? ?(x)0 得得 - -1x0 得得 x4 a2- -1. 当当 a0 时时, f(x) 在在 (- -1, 4 a2- -1) 上为减函数上为减函数, 在在 (4 a2- -1, +) 上为增函数上为增函数. 综上所述综上所述, 当当 a0 时时

4、, f(x) 的单调递减区间为的单调递减区间为 (- -1, 4 a2- -1), 单调递增区间为单调递增区间为 (4 a2- -1, +). 导数的应用举例导数的应用举例 2 设设 f(x)= x+1 - -aln(x+1), a? ?R, 且且 a? ?0, 取取e=2.7. (1)求求 f(x) 的单的单调区间调区间; (2)比较比较 x+1 与与 ln(x+1) 的大小的大小, 并加以证明并加以证明. 解解: (2) x+1 ln(x+1), 证明如下证明如下: 设设 g(x)= x+1 - -ln(x+1), 由由(1)知知 g(x) 在在 (- -1, 3) 上为减函数上为减函数,

5、 在在 (3, +) 上为增函数上为增函数, 又又 g(3)= 3+1 - -ln(3+1) =2- -ln40. g(x)g(3)0. 即即 x+1 ln(x+1). 1 3+2 ax2- -3 a2x+b, 0 a1. (1)求函数求函数 f(x)的单调的单调 设函数设函数f(x)=- - x 3 区间、极值区间、极值; (2)若当若当 x? ?a+1, a+2 时时, 恒有恒有 |f? ?(x)|a, 试确定试确定 a的取值范围的取值范围. 解解: (1)由已知由已知 f? ?(x)=- -x2+4 ax- -3 a2, 令令 f? ?(x)=0 得得 x=a 或或 x=3 a. 0a1

6、, a3a. 当当 x 变化时变化时, f? ?(x), f(x) 的变化情况如下表的变化情况如下表: x (- -, a) a (a, 3 a) 3 a (3 a, + ) 0 0 f? ?(x) + - - - - f(x) ? 极小值极小值 ? 极大值极大值 ? 由上表可知由上表可知, f(x) 的单调递增区间是的单调递增区间是 (a, 3 a), 单调递单调递减区间是减区间是(- -, a) 和和 (3 a, + ). 4 3 当当 x=a时时, f(x)取极小值取极小值 f(a) =- - a +b; 3 当当 x=3 a 时时, f(x) 取极大值取极大值 f(3 a)=b. 导数

7、的应用举例导数的应用举例 3 1 3+2 ax2- -3 a2x+b, 0 a1. (1)求函数求函数 f(x)的单调的单调 设函数设函数f(x)=- - x 3 区间、极值区间、极值; (2)若当若当 x? ?a+1, a+2 时时, 恒有恒有 |f? ?(x)|a, 试确定试确定 a的取值范围的取值范围. 解解: (2)0a1, 2 aa+1. 导数的应用举例导数的应用举例 3 f? ?(x)=- -x2+4 ax- -3 a2 在在 a+1, a+2 上为减函数上为减函数. f? ?(x)max=f? ?(a+1)=2 a- -1, f? ?(x)min=f? ?(a+2)=4 a- -

8、4. 当当 x? ?a+1, a+2 时时, 恒有恒有 |f? ?(x)|a, 即即 - -af? ?(x)a 恒成立恒成立. 4 a- -4- -a 且且 2 a- -1a. 4 解得解得 a1. 又又0a1, 5 4 故故a 的取值范围是的取值范围是 , 1). 5 导数的应用举例导数的应用举例 4 已知函数已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 在在 x=0 处取得极值处取得极值, 曲线曲线 y=f(x) 过原点和点过原点和点 P(- -1, 2). 若曲线若曲线 f(x) 在点在点 P 处的切线与直线处的切线与直线 y=2 x的夹角为的夹角为45? ?, 且倾角为钝角且倾角为钝角

9、. (1)求求 f(x) 的解析式的解析式; (2)若若 f(x) 在在区间区间 2 m- -1, m +1 递增递增, 求求 m 的取值范围的取值范围. f(0)=0? ?d=0. 解解: (1)曲线曲线 y=f(x)=ax3+bx2+cx+d 过原点过原点, f(x)=ax3+bx2+cx, f? ?(x)=3 ax2+2 bx+c. 函数函数 f(x)=ax3+bx2+cx 在在 x=0 处取得极值处取得极值, f? ?(0)=0? ?c=0. 过点过点 P(- -1, 2) 的切线斜率为的切线斜率为 f? ?(- -1)=3 a- -2 b, 而曲线而曲线 f(x)在在 点点 P 的切

10、线与直线的切线与直线 y=2 x 的夹角为的夹角为45? ?, 且倾角为钝角且倾角为钝角, 2- -f? ?(- -1) f? ?(- -1)=- -3. 又又f(- -1)=2, | |=1且且f? ?(- -1)0? ?x0, f(x) 的单调递增区间为的单调递增区间为 (- -, - -2 和和 0, +). 函数函数 f(x) 在区间在区间 2 m- -1, m +1 递增递增, 2 m- -1, m +1 (- -, - -2 或或 2 m- -1, m +1 0, +). 2 m- -12 m- -10. 1 解得解得m- -3 或或 m 2. 2 1 即即m的取值范围是的取值范围

11、是(- -, - -3 , 2). 2 导数的应用举例导数的应用举例 5 已知函数已知函数 f(x)=x3- -ax2- -3 x. (1)若若 f(x) 在区间在区间 1, +) 上是增函上是增函1 数数, 求实数求实数 a 的取值范围的取值范围; (2)若若x=- - 是是f(x)的极值点的极值点, 求求f(x) 3 在在 1, a 上的最大值上的最大值; (3)在在(2)的条件下的条件下, 是否存在实数是否存在实数 b, 使得使得函数函数 g(x)=bx 的图象与函数的图象与函数 f(x) 的图象恰有三个交点的图象恰有三个交点, 若存在若存在, 求出实数求出实数 b 的取值范围的取值范围

12、; 若不存在若不存在, 请说明理由请说明理由. 解解: (1)由已知由已知 f? ?(x)=3 x2- -2 ax- -3. f(x) 在区间在区间 1, +) 上是增函数上是增函数, 在在 1, +) 上恒有上恒有 f? ?(x)0, 即即 3 x2- -2 ax- -30 在在 1, +) 上恒成立上恒成立. 由于由于 f? ?(0)=- -30 且且 3+ b? ?0. 解得解得 b- -7 且且 b? ?- -3. 故实数故实数 b 的取值范围是的取值范围是 (- -7, - -3)(- -3, +). 导数的应用举例导数的应用举例 6 已知函数已知函数 f(x)=x2eax, 其中其

13、中 a0, e 为自然对数的底数为自然对数的底数. (1)讨论讨论函数函数 f(x) 的单调性的单调性; (2)求函数求函数 f(x) 在区间在区间 0, 1 上的最大值上的最大值. ax+x2eax? ?a =(ax2+2 x)eax. 2 axf? ?(x)=2 xe解解: (1)f(x)=x e , a0, 对函数对函数 f(x) 的单调性可讨论如下的单调性可讨论如下: 当当 a=0 时时, 由由 f? ?(x)0 得得 x0 得得 x0 . f(x) 在在 (- -, 0) 上单调递减上单调递减, 在在 (0, +) 上单调递增上单调递增; 2 当当 a0 时时, 由由 f? ?(x)

14、0 得得 x- - a ; 2 由由 f? ?(x)0 得得 0 x- - a . 2 f(x)在在 (0, - - a ) 上单调递增上单调递增, 在在 (- -, 0) 上单调递减上单调递减, 2 在在 (- - , +) 上也单调递减上也单调递减. a 导数的应用举例导数的应用举例 6 已知函数已知函数 f(x)=x2eax, 其中其中 a0, e 为自然对数的底数为自然对数的底数. (1)讨论讨论函数函数 f(x) 的单调性的单调性; (2)求函数求函数 f(x) 在区间在区间 0, 1 上的最大值上的最大值. 解解: (2)由由(1)知当知当 a=0 时时, f(x) 在区间在区间

15、0, 1 上为增函数上为增函数; 当当 a=0 时时, f(x) 在区间在区间 0, 1 上的最大值为上的最大值为 f(1)=1; 当当 - -2a0 时时, f(x) 在区间在区间 0, 1 上为增函数上为增函数; 当当 - -2a0 时时, f(x) 在区间在区间 0, 1 上的最大值为上的最大值为 f(1)= ea; 当当 a- -2 时时, f(x) 在区间在区间 0, 1 上先增后减上先增后减, 2 且在且在 x=- - a 时取最大值时取最大值. 当当 a- -2 时时, f(x) 在区间在区间 0, 1 上的最大值为上的最大值为: 2 4 f(- - . a )= 2 2 a e

16、2+ f(x) 2 已知函数已知函数f(x)=lnx. (1)求证求证: 当当 1xe 时时, 有有 xa0时时, 恒有恒有 ax . f(x)- -f(a) 2 证证: (1)xe2, 2+ f(x) f(x)=lnx2. 要证要证 x 成立成立, 2- -f(x) 2( x- -1) 成立成立.只要证明只要证明 x(2- -lnx) x+1 2 2( x- -1) (x- -1)1 4 则则g? ?(x)= - - 记记g(x)=lnx- - . = . 22 x x+1 (x+1) x(x+1) 当当 x1 时时, g? ?(x)0, g(x) 在在 (1, +) 上为增函数上为增函数.

17、 又又 g(x) 在在 x=1 处连续处连续, g(x)g(1)=0. 2( x- -1) lnx 成立成立.x+1 2+ f(x) 2 当当 1xe 时时, 有有 x 成立成立.x+1 x 2( - -1) x x a ln . 当当 xa0时时, x +1 a 1, a a 2( x- -a) x+a x+a x- -a x- -a 即即 . , x+a f(x)- -f(a) 2 lnx- -lna 2 1 2 - - ( x- -1) x- -1 2 记记 h(x)=lnx- - , 则则 h? ?(x)= 0, x x x h(x) 在在 (1, +) 上为减函数上为减函数. h(x

18、)h(1)=0. x- -1 对任意的对任意的 x? ?(1, +), 都有都有 lnx . x x- -a x+a x- -a ax . 同理可证同理可证 ax . f(x)- -f(a) f(x)- -f(a) 2 2+ f(x) 2 已知函数已知函数f(x)=lnx. (1)求证求证: 当当 1xe 时时, 有有 xa0时时, 恒有恒有 ax . f(x)- -f(a) 2 导数的应用举例导数的应用举例 7 式式|f(x1)- -f(x2)|4 2 - -5 恒成立恒成立. 2 2 x n xn2 x 2 n 22(1)解解: f(x)=( + - - - - +2, 2 2 m - -

19、1) +( x - -1) = m mx x2 x 2 n2 2 2 n 2 4 - -m2n2- -mx3 +m2nx) = (xf? ?(x)= - - - - + 2 2 3 mm xxm2x3 2 2- -mx +mn )(x+ mn )(x- - mn) = (x m2x3 1mx0, 0, x+ mn 0. x2 3 mx由由 f? ?(x)0 得得 mx0 得得 mn xn. n 2x 2 已知函数已知函数f(x)=( x - -1) 的定义域为的定义域为 m , n), 且且 1m n m - -1)+( 2. (1)讨论讨论 f(x) 的单调性的单调性; (2)证明证明: 对

20、任意对任意 x1, x2? ?m , n), 不等不等导数的应用举例导数的应用举例 8 f(x) 在在 m , mn ) 上是减函数上是减函数, 在在 mn , n) 上是增函数上是增函数. 导数的应用举例导数的应用举例 8 式式|f(x1)- -f(x2)|4 2 - -5 恒成立恒成立. 2 n x n 2 +1. 1m 2, 令令 t = + , 2 m m m x m x x由由 t? ?0 得得 mx0 得得 mn xn. 2 n 2 +1在在1, +)上是增函数上是增函数, 函数函数 y=(t- -1)- - m f(x) 在在 m , mn ) 上是减函数上是减函数, 在在 mn

21、 , n) 上是增函数上是增函数. n 2x 2 已知函数已知函数f(x)=( x - -1) 的定义域为的定义域为 m , n), 且且 1m n m - -1)+( 2. (1)讨论讨论 f(x) 的单调性的单调性; (2)证明证明: 对任意对任意 x1, x2? ?m , n), 不等不等t(x) 在在 m , mn ) 上是减函数上是减函数, 在在 mn , n) 上是增函数上是增函数. n 2x 2 已知函数已知函数f(x)=( x - -1) 的定义域为的定义域为 m , n), 且且 1m n m - -1)+( 2. (1)讨论讨论 f(x) 的单调性的单调性; (2)证明证明

22、: 对任意对任意 x1, x2? ?m , n), 不等不等n 2 (2)证证: 由由(1)知知 f(x)在在 m , n) 上的最小值为上的最小值为 f( mn )=2( m - -1), n 2. 对任意的对任意的x , x? ?m , n), 有有 最大值为最大值为 f(m )=( - -1)m 12式式|f(x1)- -f(x2)|4 2 - -5 恒成立恒成立. 导数的应用举例导数的应用举例 8 n 2n n n n 22 |f(x1)- -f(x2)|( m - -1)- -2( m m - -1)=( ) - -1. m - -4? ? m +4 n 4- -4 u2+4 u-

23、-1. 令令 u= , h(u)=um n 1m n2, 1 m 2. 10, 2 2 h(u) 在在 (1, 2 上是增函数上是增函数. h(u)h( 2 )=4- -8+4 2- -1 =4 2 - -5. 故对任意故对任意 x1, x2? ?m , n), | f(x1)- -f(x2)|4 2 - -5 恒成立恒成立. 1 已知某厂生产已知某厂生产 x 件产品的成本为件产品的成本为 C=25000+200 x+ x2( (元元) ), 40 问问: (1)要使平均成本最低要使平均成本最低, 应生产多少件产品应生产多少件产品? (2)若产品以每若产品以每件件 500 元售出元售出, 要使

24、利润最大要使利润最大, 应生产多少件产品应生产多少件产品? 解解: (1)设平均成本为设平均成本为 y(元元), 1 2 25000+200 x+ x25000 x 40 则则 y= = + +200 x x 40 x 25000 2 ? ? +200=250. 当且仅当当且仅当x=1000 时取等号时取等号. x 40 故要使平均成本最低故要使平均成本最低, 应生产应生产 1000 件产品件产品. 1 2) (2)利润函数为利润函数为 L=500 x- -(25000+200 x+ x 40 1 1 2L? ?=300- - x. =300 x- - x - -2500. 40 20 令令

25、L? ?=0 得得 x=6000, 当当 x0; 当当 x6000 时时, L? ?0, 当当 x=6000 时时, L 取得最大值取得最大值. 故要使利润最大故要使利润最大, 应生产应生产 6000 件产品件产品. 导数的应用举例导数的应用举例 9 导数的应用举例导数的应用举例 10 某厂生产某种产品某厂生产某种产品, 已知该产品的月产量已知该产品的月产量 x( (吨吨) )与每吨产品与每吨产品1 2, 且生产且生产x 吨的吨的的价格的价格 p( (元元/ /吨吨) )之间的关系式为之间的关系式为 p=24200- - x 5 成本为成本为 R=50000+200 x 元元. 问该厂每月生产

26、多少吨产品才能使问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大利润达到最大? 最大利润是多少最大利润是多少?( (利润利润=收入收入- -成本成本) ) 解解: 设每月生产设每月生产 x 吨的利润为吨的利润为 y 元元, 则则 x0, 且且 1 2y=(24200- - x )x- -(50000+200 x) 5 1 3=- - x +24000 x- -50000. 5 3 2+24000=0 得得 x=200(-(-200舍去舍去) ). 由由y? ?=- - x5 在在 0, +) 上只有一个点上只有一个点 x=200 使使 y? ?=0, 它就是最大值点它就是最大值点, 且最大值为且最大

27、值为 1 3+24000? ?200- -50000 - - ? ?200=3150000( (元元) ). 5 故每月生产故每月生产 200 吨产品时利润最大吨产品时利润最大, 最大利润是最大利润是 315 万元万元. 导数的应用举例导数的应用举例 11 甲方是一农场甲方是一农场, 乙方是一工厂乙方是一工厂, 由于乙方生产需占用甲方的由于乙方生产需占用甲方的资源资源, 因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入收入. 在乙方不赔付甲方的情况下在乙方不赔付甲方的情况下, 乙方的年利润乙方的年利润 x( (元元) )与年产与年产量量 t(

28、 (吨吨) )满足函数关系满足函数关系 x=2000 t . 若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 s 元元( (以下称以下称 s 为赔付价为赔付价格格) ): (1)将乙方的年利润将乙方的年利润 w( (元元) )表示为年产量表示为年产量 t( (吨吨) )的函数的函数, 并并求出乙方获得最大利润的年产量求出乙方获得最大利润的年产量; (2)甲方每年受乙方生产影响甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额的经济损失金额 y=0.002t2( (元元) ), 在乙方获得最大利润的产量进在乙方获得最大利润的产量进行生产的前提下行生产的前提下, 甲方要在索赔中获得最大净收入甲方要在索赔中获得最大净收入, 应向乙方应向乙方要求的赔付价格最大是多少要求的赔付价格最大是多少? 乙方实际年利润乙方实际年利润 解解: (1)