导数小结名师课件

1、小结：导数及其应用小结：导数及其应用 2020年年1月月26日星期日日星期日 一知识串讲一知识串讲 曲线的切线曲线的切线 以曲线的切线为例，在一条曲线以曲线的切线为例，在一条曲线C：y=f(x)上取一点上取一点P(x0，y0)，点，点Q(x0+x，y0+y)是曲线是曲线C上与点上与点P临近的一点，做割线临近的一点，做割线PQ，当点当点Q沿曲线沿曲线C无限地趋近点无限地趋近点P时，割线时，割线PQ便无限地趋近于某一极限位置便无限地趋近于某一极限位置PT，我们就，我们就把直线把直线PT叫做曲线叫做曲线C的在点的在点P处的切线。处的切线。 此时割线此时割线PT斜率的极限就是曲线斜率的极限就是曲线C在

2、点在点P处的切线的斜率，处的切线的斜率，用极限运算的表达式来写出，即用极限运算的表达式来写出，即 f(x0? ?x)?f(x0) k=tan = lim?x?0?x（一）导数的概念：（一）导数的概念： 1导数的定义导数的定义：对函数对函数y=f(x)，在点，在点x=x0处给自变量处给自变量x以增量以增量x，函数，函数y相应有增量相应有增量y=f(x0+ x)f(x0)， f(x? ?x)?f(x )?y00若极限若极限 存在，则此极限称为存在，则此极限称为lim?lim?x?0?x?x?0?xf(x)在点在点x=x0处的导数，记为处的导数，记为f (x0)，或，或y| ； x?x0 2导函数导

3、函数：如果函数：如果函数y=f(x)在区间在区间(a，b)内每一点都可导，内每一点都可导，就说就说y=f(x)在区间在区间(a，b)内可导即对于开区间内可导即对于开区间(a，b)内每一个内每一个确定的确定的x0值，都相对应着一个确定的导数值，都相对应着一个确定的导数f (x0)，这样在开区，这样在开区间间(a，b)内构成一个新函数，把这一新函数叫做内构成一个新函数，把这一新函数叫做f(x)在在(a，b)内内的导函数简称导数记作的导函数简称导数记作f (x)或或y. f (x? ?x)?f (x)即即f (x)=y= lim? x?0?x 3导数的几何意义导数的几何意义：函数：函数y=f(x)在

4、点在点x0处的导数的几何意处的导数的几何意义，就是曲线义，就是曲线y=f(x)在在P(x0，f(x0)处的切线的斜率，即曲线处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点在点P(x0，f(x0)处的切线斜率为处的切线斜率为kf (x0)所以曲线所以曲线 yf(x)在点在点 P(x0，f(x0)处的切线方程为处的切线方程为 y? ?y0=f (x0)(xx0) 4导数的物理意义导数的物理意义：物体作直线运动时，路程：物体作直线运动时，路程s关于时间关于时间t的函数为：的函数为：s=s(t)，那么瞬时速度，那么瞬时速度 v 就是路程就是路程 s 对于时间对于时间t的导数，的导数，即即v(t)=s(t).

5、（二）常见函数的导数：（二）常见函数的导数： (C) ? ? 0, ( c为常数为常数)； (xn) ? ? mxn? ?1 ； (sin x) ? ? cosx； (cosx)?sinx； (ex) ? ? ex； (ax) ? ? axlna； 11(lnx) ? ? ； (logax) ? ? logaexx（三）导数的运算（三）导数的运算 ： 1函数的和或差的导数函数的和或差的导数 法则：两个函数的和或差的导数，等于两个函数的导数法则：两个函数的和或差的导数，等于两个函数的导数的和或差，即的和或差，即(uv)uv. 2函数的积的导教函数的积的导教 法则：两个函数的积的导数，等于第一个函

6、数的导数乘法则：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即 (uv)uv+vu. 3函数的商的导数函数的商的导数 法则：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，法则：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方即减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方即 uuv?vu ( )= (v0) . 2vv4复合函数复合函数y=fg(x)的导数的导数 法则：设函数法则：设函数ug(x)在点在点x处有导数处有导数uxg(x)，函数，函数f(u)在点在

7、点x处的处的u处有导数处有导数yu=f (u)；则复合函数；则复合函数y=fg(x)在点在点x处处也有导数，且也有导数，且 yxyuux，也可简述为：复合函数对自变量，也可简述为：复合函数对自变量x的导数，等于已知函数对中间变量的导数，等于已知函数对中间变量u的导数乘以中间变量的导数乘以中间变量u对对自变量自变量x的导数。的导数。 （四）函数的单调性：（四）函数的单调性： 设函数设函数y=f(x)在某个区间在某个区间(a, b)内可导，内可导， 1）如果）如果f (x)0，则函数，则函数y=f( x)在区间在区间(a, b)内为增函数；内为增函数； 2）如果）如果f (x)0，右侧右侧f (x

8、)0，那么，那么f(x0)是极大值；是极大值； 如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧f (x)0，那么，那么f(x0)是极小值是极小值 （五）函数的最大值与最小值：（五）函数的最大值与最小值： 1定义：最值是一个整体性概念，是指函数在给定区定义：最值是一个整体性概念，是指函数在给定区间间(或定义域或定义域)内所有函数值中最大的值或最小的值，最大数内所有函数值中最大的值或最小的值，最大数值叫最大值，最小的值叫最小值，通常最大值记为值叫最大值，最小的值叫最小值，通常最大值记为M，最小，最小值记为值记为m. 2存在性：在闭区间存在性：在闭区间a，b上连续函数上连续函数f(x)在在a，b上必上必有最大

9、值与最小值有最大值与最小值 3求最大（小）值的方法：函数求最大（小）值的方法：函数f(x)在闭区间在闭区间a，b上最上最值求法：值求法： 求出求出f(x)在在(a，b)内的极值；内的极值； 将函数将函数f(x)的极值与的极值与f(a)，f(b)比较，其中较大的一个是比较，其中较大的一个是最大值，较小的一个是最小值最大值，较小的一个是最小值. 二例题讲解二例题讲解 ? ?12(x? ?1)x1? ? ? 2例例1、已知函数、已知函数f(x)= , ? ? ?1(x? ?1)x? ?1? ? ?2判断判断f(x)在在x1处是否可导？处是否可导？ 分析：函数在分析：函数在x=1的左右两侧的函数表达式

10、是不同的，要判断的左右两侧的函数表达式是不同的，要判断 f(x) 在在x=1处的可导性，就要分两侧研究极限，比较它处的可导性，就要分两侧研究极限，比较它 们的极限值是否相同们的极限值是否相同. 解：f(1)=1, 1(1? ?x)2?1?1?y12lim?lim?lim?(1?x)?1?x?0?x?x?0?x?0?x21(1? ?x?1)?1?y12lim?lim?x?0?x?x?0?x2?y?ylim?lim?x?0?x?x?0?x? 函数y=f(x)在x1处不可导 ? ?3例例2、设曲线、设曲线ycosx在在A( ， )点处的切线倾斜角点处的切线倾斜角26? ?为为，求，求cot( ? ?

11、)的值的值. 4?分析：要求分析：要求cot( )的值，就必须求出的值，就必须求出角的一个三角函数角的一个三角函数 4 值，由于值，由于是切线的倾斜角，所以，切线的斜率是切线的倾斜角，所以，切线的斜率k=tan . 解：解：y ? ? cos x, ? ? y ? ? ? ? sin x, ?1? 当当x ? ? 时时, k ? ? ? ?sin ? ? ? ? , 2661， ? ? tan? 211?11?tan?12 ? ? cot( ? ? ) ? ? . ?131?tan?4tan(?)1?42例例3、证明：若函数、证明：若函数y=f(x)是可导奇函数，那么它的导数是可导奇函数，那么

12、它的导数 y=f (x)是偶函数是偶函数. 证明：定义法：证明：定义法： 设设f(x)为可导奇函数，则为可导奇函数，则f(x)f(x), f(?x? ?x)?f(?x)?f(x? ?x)?f(x)lim?lim ? ? f (x) = ?x?0?x?0?x?xf (x? ?x)?f (x) = lim? x? 0?x = f (x). 即即f (x)=f (x)? ? 导函数为偶函数导函数为偶函数. 同理可证：可导的偶函数的导函数是奇函数同理可证：可导的偶函数的导函数是奇函数 例例4、求函数、求函数ysin(log3ex)的导数的导数 分析一：将其变形为分析一：将其变形为ysin( x log

13、3e)，其中，其中log3e是常数，那么是常数，那么此函数是由此函数是由uxlog3e与与ysinu构成的复合函数；构成的复合函数； 解法一：由解法一：由ysin(log3ex) 得得ysin( xlog3e), ? ? y=cos(xlog3e)log3e= cos(log3ex)log3e . 分析二：将原函数看作是由函数分析二：将原函数看作是由函数ysinu, u=log3v，v=ex，三个，三个 函数构成的复合函数函数构成的复合函数 解法二：原函数可看成解法二：原函数可看成y=sin u, u=log3v，v=ex，三个函数复合，三个函数复合 1x 而成，而成， ? ? y= cos

14、u( )e?log3ev = cos(logx)elog3e 3 说明：说明： 在求复合函数的导数时，应首先对函数解析式作认在求复合函数的导数时，应首先对函数解析式作认真的分析，经过合理的变形，使求解的过程达到简便准确的真的分析，经过合理的变形，使求解的过程达到简便准确的目的目的 复合函数的求导法则可推广用于多层复合函数的情形，复合函数的求导法则可推广用于多层复合函数的情形，如如y=f(u)，u=g(v)，v=h(x)，那么，那么y(x)=f (u) g(v) h(x) . 23例例5、设、设 a f(a)，f(1) f(1)， 3 需要比较需要比较f(0)与与f(1)的大小，的大小， 13

15、又f(?1) ? f(a)? ( a? 3 a ? 2) 2 f(x)的最大值为的最大值为f(0)b=1， 1 ? ( a?1)2(a ? 2)0， ? f(x)|min ? f(? 1)， 363 ? ? a ? 1?b ? ? a ? ? , 2226? a ? ，b ? 1. 3 说明：这是一个确定最大值的问题说明：这是一个确定最大值的问题;在确定最大值时，应在确定最大值时，应求出所有的极值（包括极大值与极小值），然后将它们与函求出所有的极值（包括极大值与极小值），然后将它们与函数在区间的端点值的大小进行比较，其中最大的值是函数的数在区间的端点值的大小进行比较，其中最大的值是函数的最大值

16、，最小的值是函数的最小值最大值，最小的值是函数的最小值;一定要注意：不能直接将一定要注意：不能直接将极值作为最值极值作为最值. 例例6、已知实数、已知实数x, y，满足，满足x2y22 x，求，求x2y2的取值范的取值范围围 解：本题主要考查函数最值的一般求法，关键要注意变量的取值范围 x2y2=x2(2 xx2)2 x3x4 设 f(x)2 x3x4 (0 x2)， 则 f (x)6 x24 x3=2 x2(32 x) f (x)2 x2(32 x) 3当0 x0， 23函数f(x)在0， )上单调递增； 23当 x2时，f (x)0， 23函数f(x)在( ，2上单调递减， 23所以当x= 时，函数取得极大值； 2 当 x0时，f(0)0，当x2时，f(2)0， 273? 函数f(x)的最大值为f( ) = , 16227? 函数f(x)的值域为0， ， 16272 2 即0 x y 16三三 小结小结: （1）正确理解导数的概念和意义，导数是一个函数的改变量）正确理解导数的概念和意义，导数是一个函数的改变量与自变量的改变量的比值的极限，它反映的是函数的变化率，与自变量的改变量的比值的极限，它反映的是函数的变化率，即函数值在即函数值在x=x0点附近的变化快慢