北师大版八年级数学上册实数知识点及习题

1、实数知识点一、【平方根】如果一个数X的平方等于a,那么，这个数x就叫做a的平方根;也即，当/ =4（ NO）时，我们称x是a的平方根，记做：x = Vda 0） o因此：1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；2、当a0时，也就是a为正数时。，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：x = G。3、当a V0时，也即a为负数时，它不存在平方根。例1.（1）的平方是64,所以64的平方根是：（2） 的平方根是它本身。（3）若C的平方根是2,则乂=： M 的平方根是（4）当x 时，行工有意义。（5） 一个正数的平方根分别是m和m-4,则m的值是多少？这个正数是多少？知识点二、【算术

2、平方根】：1、如果一个正数x的平方等于a,即/ =。，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“口, 读作，根号a，其中，a称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。2、算术平方根的性质:具有双重非负性，即:y0（a0）o3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平 方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：右；而平方根具有两个 互为相反数的值，表示为：&。例2.&（1）下列说法正确的是 （）A. 1的立方根是1； B. %/? = 2；（C）、的平方根是3；（ D）、。没有平方根；（2）下列各式正确的是（）A、质=9 B

3、、|3.14-吊=4-3.14 C、=D、圾-耳=垃（3） 户产的算术平方根是 二（4）若正十匚7有意义，则y/x+ =O（5）已知 ABC的三边分别是4,4C,且“涉满足加1不+ （-4）2 =0,求c的取值范围。（7）如果x、y分别是4一黄的整数部分和小数部分。求x y的值.(8)求下列各数的平方根和算术平方根.4964；：0.0004；(-25)-；11.1211.44,0, 8,441,196,1049(9)(扃尸等于多少？(“尸等于多少？(10)(阮尸等于多少？(11)对于正数a, (小尸等于多少？我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算，乘与除互为逆运算，乘方

4、与开方互为逆运算.知识点三、【开平方性质】(1).(2)a/4x V9 =, J4x9 =：(3) (2) V16 xM =， J16x9 =：知识点四、【立方根】：1、如果x的立方等于a,那么，就称x是a的立方根，或者三次方根。记做：读作，3次根号 a。注意：这里的3表示的是根指数。一般的，平方根可以省写根指数，但是，当根指数在两次 以上的时候，则不能省略。2、平方根与立方根：每个数都有立方根，并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方 根，只有非负数才能有平方根。例3.(1) 64的立方根是根？?？?(2)若妫=2.89,逐= 28.9,则b等于()A. 1OOOOOO B. 1

5、000 C. 10 D. 10000(3)下列说法中：土3都是27的立方根，V7 = y,扃的立方根是2,后铲=4。其中正确的有()A、1个 B、2个 C、3个 D、4个知识点五、【无理数】：1、无限不循环小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及不循环“这两个条件。在初中阶段，无理数的 表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率乃以及含有不的一些数，如：2乃， 3乃等；（2）开方开不尽的数，如:后,后我等；（3）特殊结构的数：如：2.010010001000 0L.（两个1之间依次多1个0）等。应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：囱等; 无理数也不一定带根号，如：2、有理

6、数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循 环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理 数则不能写成分数形式。例4. （1）下列各数：3.141、0.33333眄-日、元、热而、- 34,a,正其中无理数有（）个A2 B3 C 4 D5知识点六、【实数】：1、有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数 是。，最大的负整数是1,最小的正整数是1.2、实数的性质：实数。的相反数是a：实数。的倒数是1 （0）；实数a的绝对值|a|=, a一。（忖，则化简疗-卜，+|的结果为（）

7、A 2a + bB. - 2a + bC . b D. 2 - b .（5）比较大小（填或。 b3 M,-y/3V20 ,7-x/6677 ,1, 2 2（6）将下列各数：2,Q,VI-1-逐，用V连接起来； O（7）若同=3,7石=2,且 40,贝lj： a-b-o（8）计算：（9）已知：（x 7 =121,（y + l）3 =-0.064 ,求代数式771 - Jx+10y+3245），的值。基础练习一 一、选择题23 B. C. 0 D. 22 22.下列说法中正确的是（）3.下列语句正确的是（）C.无限小数不能化成分数4. 在直角力比中，ZC=90 , A（=-2A.整数B.分数5.

8、面积为6的长方形，长是宽的2倍,6. J（-2尸的化简结果是（） A.7. 9的算术平方根是（）A. 38. （一11尸的平方根是A. 1210）的平方根是士卬，那么（）A. a三土卬B. a=土后C. 6二土勿 D. 土八=m19 .若正方形的边长是a,面积为S,那么（）A. S的平方根是aB.a是S的算术平方根C. a=土 V? D.罪八二、填空题1 .在。351, -2 , 4.969696中，无嬲的个数有32 .小数或 小数是有理数，小数是无理数.3 .丘8,则x 分数，整数，有理数.（填“是”或“不是”）4 .面积为3的正方形的边长 有理数；面积为4的正方形的边长 有理数.（填“是”

9、或“不是）5 . 士的平方根是:6. （一!尸的算术平方根是；12147.一个正数的平方根是2a1与一行2,则炉,这个正数是：8. V25的算术平方根是9.9-2的算术平方根是10.VJ的值等于，V?的平方根为： 11.（一4”的平方根是，算术平方根是 三.判断题1. 一0.01是0. 1的平方根.（）2. 5,的平方根为-5.（）3. 0和负数没有平方根.（）4 .因为二的平方根是_L,所以=L（）164 V1645 .正数的平方根有两个，它们是互为相反数.（）四、解答题1 .已知：在数一三，一 142,再 3. 1416, 2,0,4* （1）%中, 43*（1）写出所有有理数；（2）写出

10、所有无理数；2 .要切一块面积为36 m二的正方形铁板，它的边长应是多少？3 .已知某数有两个平方根分别是a+3与2a15,求这个数.分母有理化1 .分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。2 .有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式 互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：单项二次根式：利用来确定，如：4与&, yja + byja+b , a-b与a-b等分别互为 有理化因式。两项二次根式：利用平方差公式来确定。如 + /与4-6，&+/与6-夕， ay/x+ byfyciyfx - by/y分别互为有理化因式。例题：找出下列各式

11、的有理化因式3 .分母有理化的方法与步骤：(4)3四+#(5)而K(6)a-V7二户(x)(1)先将分子、分母化成最简二次根式；(2)将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；(3)最后结果必须化成最简二次根式或有理式。例题：把下列各式分母有理化例题：把下列各式分母有理化:(3)b + y/a2 +h2【练习】L找出下列各式的有理化因式2 .把下列各式分母有理化3 .计算1 1(2 +厨+(2国转4 4)+茬乎 4 .比较大小号后与总?5 .把下列各式中根号外而的因式适当改变后移到根号里面:(1) 2遥；(2) 一5行；1.计算I 0.01x640.36x324(2)6 + (4-

12、3病；(3) (14 + 675)-(3 + 75)；(4) 1 5 42专题讲解：类型一.有关概念的识别1、实数的有关概念无理数即无限不循环小数，初中主要学习了四类：含乃的数，如：2乃乃等，开方开不尽的数，如 2VI#等；特定结构的数，例0.010 010 001等；某些三角函数，如Sin60o, COS45。等。判断一个 数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如;r0,J正是有理数，而不是无理数。22例1.下面几个数：0.1237，-W%4 , 3n, T, 75,其中，无理数的个数有（）A、1 B、2 C、3 D、4例2. （2010年浙江省东阳县）,是A.无理数B.有理数 C.整

13、数 D.负数举一反三： 91 .在实数中一可,0, , -3. 14, /中无理数有（）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2、平方根、算术平方根、立方根的概念若a20,则a的平方根是土a的算术平方根&；若水0,则a没有平方根和算术平方根；若a 为任意实数，则a的立方根是比；。【例1】历的平方根是Y【例2】 赤 的平方根是例3下列各式属于最简二次根式的是（）A. Vx2 + 1 B.Jx2ys C.V12 D.ToT【例4】（2010山东德州）下列计算正确的是（A） 20 =0（B） 3_, =-3（C） 79=3（D）近 +也=小【例5】（2010年四川省眉山市）计算贿产的结果是

14、A. 3B. -3C. 3D. 9 举一反三：1 .下列说法中正确的是（）A、质的平方根是3 B、1的立方根是1 C、VT = 1 D、一方是5的平方根的相反2. 1.25的算术平方根是;平方根是.-27立方根是类型二.计算类型题L估算、比较大小正数大于0,负数小于0,正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小，常用有理数来估计无理 数的大致范围，要想正确估算需记熟0-20之间整数的平方和0-10之间整数的立方.例1.设廊=口，则下列结论正确的是（）A. 4,5 a 5,0B. 5.0 a 5.5q 5.5 a 6.0D. 6.0 a 6.5解析：例2. （2010年浙江省金华）在-3, 一。

15、， -1, 0这四个实数中，最大的是（）A. -3 B. / C. 1D. 02.二次根式的运算二次根式的加、减、乘、除运算方法类似于整式的运算，如：二次根式加、减是指将各根式化 成最简二次根式后，再利用乘法的分配律合并被开方数相同的二次根式；整式的运算性质在这里同样适 用，如：单项式乘以多项式、多项式乘以多项式、乘法公式等.实数的混合运算经常把零指数、负整数 指数、绝对值、根式、三角函数等知识结合起来.解决这类问题应明确各种运算的含义 （=1（。0）。二二（4工0,是整数），运算时注意各项的符号，灵活运用运算法则，细心计算。a1例1、计算行+不行所得结果是.例2、阅读下面的文字后，回答问题：

16、小明和小芳解答题目：“先化简下式，再求值：a+应才其中a二9时，得出了不同的答案，小明的解答：原式二a+Jl-Za+a=a+（l a）=1,小芳的解答：原式=a+（a-l）=2a-l=2X9-l=17是错误的；错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：例 3、计算：（1） （3 &-2。）2-（30fc+2逐）（2）（/严|（也+严 %例4、二次根式J匚中，字母a的取值范围是（）A. a 1举一反三：1 .求下列各式中的x（1）犬=25（2）（无一1）2 = 9（3）? = -64类型三.数形结合例1.点a在数轴上表示的数为工行，点8在数轴上表示的数为一方，则48两点的距离为 举一反三：1 .

17、如图，数轴上表示1,血的对应点分别为A, B,点B关于点A的对称点为C,则点C表示的 数是（）.? 1应 上一一 dr 1一， C A BA. V2 -1 b. 1 V2 c. 2V2 d. V2 -22。已知实数以、5、c在数轴上的位置如图所示：S4-01*化简也一。|+卜一+|以+MTc_司3.如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画 弧，交数轴正半轴于点A,则点A表示的数是（）-101 A 2A、12B、1.4 C、贬 D、后类型四.实数绝对值的应用例4.化简下列各式： （1） 12-1.42 |（2） | n-3.142|（3） /向 （4）

18、 |x-|x-3| （x3）（5） |x2+6x+10| 举一反三：【变式1】化简：2一2阕+幽+丹田-阕类型五.实数非负性的应用若a为实数，则a I,Gm 2 0）均为非负数。非负数的性质：几个非负数的和等于0,则每个非负数都等于0。W-b+H -49|例5.已知： k =0,求实数a, b的值。举一反三：1.已知（x-2）”|y-4|+a-6=0,求 xyz 的值. 2、已知（x-6尸+巧宙 + |y+2z|=0,求仅-犷人的值。3、已知石与+ 0+* +卜+h那么a+b-c的值为类型六.实数应用题例6.有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一，个面积为这两

19、 个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。基础训练二一、选择题1 .下列各式中正确的是（）2 . J记的平方根是（）A. 4 B. 4 C. 2 D. 23 .下列说法中无限小数都是无理数无理数都是无限小数-2是4的平方根带根号的数都 是无理数。其中正确的说法有（）A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个4 .和数轴上的点一一对应的是（）A.整数B.有理数C.无理数 D.实数5 .对于应一g来说（）A.有平方根 B,只有算术平方根C.没有平方根D.不能确定,0,-5s/00i,3,14,-,0.1010010001-6 .在723（两个“1”之间依次多1个“0”）中，无理数的个数有

20、（）A. 3个 B.4个 C. 5个 D. 6个7 .面积为11的正方形边长为X,则x的范围是（）A. 1 a 3B 3 x 4 c 5 x 10D. 10 x 1008 .下列各组数中，互为相反数的是（）二1 . -2与万8 . | -V2 | 与北9 .-8的立方根与4的平方根之和是（）A. 0B.4C.0 或-410 .已知一个自然数的算术平方根是a ,c. J（-2）与 3D.与一3花D.0或4则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（）A.仪+1C. 丁+1D. &2 +1二、填空题11 . 一痴的相反数是，绝对值等于血的数是, I 3-笈| =。r-3Jl+2-12 . J81的算术

21、平方根是, V 8=o13 .的平方根等于它本身，的立方根等于它本身，的算术平方根等于它本身。14 .已知| x |的算术平方根是8,那么x的立方根是 o15 .填入两个和为6的无理数，使等式成立：+=6。16 .大于一血，小于而的整数有 个。17 .若| 2a-5 |与石互互为相反数，则=, b=o18 .若 I a | =6, & =3,且 abO,则 a-b=。19 .数轴上点A,点B分别表示实数6，小一2,则八、B两点间的距离为 o20 . 一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4,则a=, x=。三、解答题21 .计算（1） +VaO9（2） -V82 +152（3）37729 r

22、p（4） | -加 | + | 血-2 |（-2）x J（T）+ J（Y）x2j（6） 4X9 + 2X （新-2）（结果保留3个有效数字）参考答案:一：1、22.在数轴上表示下列各数和它们的相反数，并把这些数和它们的相反数按从小到大的顺序排列, 用号连接:一1.2。2一衣-B2、D3、B4、D5、C6、A7、B8、C9、C 10. D二：11、扬士、回，冗-3312、3, 2130； 0,1； 0,114、415、答案不唯一如：6-a点20、 1, 916、17、18、-1519、2三：21、加3(2)-17-9(4)2 (5)-36(6)37.922、I义：电 也允 F I-4- 3-2口

23、,5012 g 45-2 -1.5 -2 0 V2 1,5 2 B. a ci C. u D. a与xla的关系不确定6 . 不是（）A.分数 B.小数 C.无理数 D.实数7 .下列说法正确的是（）B.无理小数是无限小数D.无理数的平方不是整数A.无限小数都是无理数C.无理数的平方是无理数8 .下列等式正确的是（）-1图2-6-29 实数a在数轴上的位置如图2-6-2,则a, - a, 1的大小关系是（）.aB 一。 C. -n n/ 的值是（）A. -1 B. 1 C. 5-2、疗D. 2后一5 11.下列各语句中错误的个数为（）.最小的实数和最大的实数都不存在；任何实数的绝对值都是非负数

24、：任何实数的平方根都是互为相反数：若两个非负数的和为零，则这两个数都为零.A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题1、2的算术平方根是.（- L 44尸的算术平方根为.可的算术平方根为,国二9后的平方根是; 9一是的算数平方根；5、（一1尸的算术平方根是：42 .等腰三角形的两条边长分别为26和5,那么这个三角形的周长等于。3 .负数a与点的差的绝对值是.4、若a、6都是无理数，且a+反2,则a、6的值可以是 （填上一个满足条件的值即可）.5、实数a在数轴上的位置如图所示，则而二方=.-JK-6. （V2-V3 ） 2007 （ V2-V3 ） * =. -7. 实数P在数轴上的位置如图1所

25、示，化简而二+麻万7 = 0第6喇囹8. 一个负数a的倒数等于它本身，则而I二 ；若一个数a的相反数等于它本身，则y3a 5 42a + 1 + 2 yja -8 =。9 .数轴上的点与 一一对应关系，10 .比较大小：（1） 37253回 （2三、判断（1）无理数都是开方开不尽的数。（3）无限小数都是无理数。（5）不带根号的数都是有理数。（7）有理数都是有限小数0（9）所有的有理数都可以在数轴上表示, 四、解答题3. 14在数轴上的点在表示一人的点的 侧。）/，33（）（2）无理数都是无限小数。（）（）（4）无理数包括正无理数、零、负无理数。（）（）（6）带根号的数都是无理数。（）（）（8）

26、实数包括有限小数和无限小数.（）反过来，数轴上所有的点都表示有理数 （）1.实数a、b、c在数轴上的对应关系如图2-5-1,化简耳-卜-。|+收-。卜同。2.求 Ja + 4 J9 - 2a + Jl -34 + Ja2 的值综合练习一、易考题：1 . -1的相反数的倒数是2 .已知I a+3”向 =0,则实数（a+b）的相反数3 .数一3. 14与一九的大小关系是4 .和数轴上的点成一一对应关系的是5 .和数轴上表示数一3的点A距离等于2. 5的B所表示的数是6 . /7 .在实数中，一 |,0,m,-3. 14, 无理数有（）（A） 1 个 （B） 2 个 （C） 3 个 （D） 4 个7

27、 . 一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（）（A）非负数 （B）非正数 （C）负数 （D）正数8 .若 xV 3,则 I x+3 I 等于（）（A） x + 3（B） x 3（C） x+3（D） x39 .下列说法正确是（）（A）有理数都是实数（B）实数都是有理数（B）、带根号的数都是无理数 （D）无理数都是开方开不尽的数10 .实数在数轴上的对应点的位置如图，比较下列每组数的大小：（1） c-b 和 d-a（2） be 和 ad1-S,二、考点训练：*1.判断题：（1）如果a为实数，那么一a一定是负数；（）（2）对于任何实数a与b, a-b=b-a恒成立；（）（3）两个无理数之和一

28、定是无理数；（）（4）两个无理数之积不一定是无理数；（）（5）任何有理数都有倒数；（）（6）最小的负数是一1；（）（7） a的相反数的绝对值是它本身；（）(8)若 a 二2,上|二3 且 ab0,则 ab=-l；()2.把下列各数分别填入相应的集合里2233 , 21. 3, -1. 234, ,0,-18乖,（小一木）。，3二无理数集合负分数集合整数集合非负数集合*3.已知lx2,则lx -3|林等于(A) -2x(B) 2(C) 2x (D) -24.下列各数中,哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数?3,1, 3, 0. 3,3：1 +2 ,3-互为相反数:;互为倒数:互为负倒数:

29、*5.已知x、y是实数，且（X嫄）二和I y+2 I互为相反数，求x , y的值6若a, b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值是2,则盖+4m-3cd二*7.已知(a -3 b ) :+ I a 24 I=0,三、解题指导:1 .下列语句正确的是（）（A）无尽小数都是无理数（B）无理数都是无尽小数（C）带报号的数都是无理数（D）不带报号的数一定不是无理数。2 .和数轴上的点一一对应的数是（A）整数（B）有理数（C）无理数（D）实数4.如果a是实数，下列四种说法:（1）a?和I a I都是正数;(2) II =-a,那么a一定是负数,a的倒数是1（4） a和一a的两个分别在原点的两侧，几个是正确的（）(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3 ab 时，；*5 .比较下列各组数的大小:343 r-/(1) 4 5(2) 26.若a, b满足ra：?尽 =0,则尘士 的值是 a+za*7.实数a, b,c在数轴上的对应点如图，其中0是原点，且a二c（6）判定a+b, a+c, c-b的符号（7）